1、高考资源网（） 您身边的高考专家高中同步测试卷(十四)高考微专题空间向量与立体几何1(2014高考湖北卷)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(02)(1)当1时，证明：直线BC1平面EFPQ；(2)是否存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由2.如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正
2、弦值3.(2014高考浙江卷)如图，在四棱锥ABCDE中，平面ABC平面BCDE，CDEBED90，ABCD2，DEBE1，AC.(1)证明：DE平面ACD；(2)求二面角BADE的大小4.如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值5.如图，在等腰直角三角形ABC中，A 90，BC6，D，E分别是AC，AB上的点，CDBE，O为BC的中点将ADE沿DE折起，得到如图所示的四棱锥ABCDE，其中AO.(1)证明：AO平面BCDE；(2)求二面角ACDB的平面角的余弦值6.
3、如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E为棱AA1的中点(1)证明B1C1CE；(2)求二面角B1CEC1的正弦值；(3)设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长7.如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值8.(2014高考江西卷)如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形平面PAD平面ABCD.(1)
4、求证：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2.问AB为何值时，四棱锥PABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值参考答案与解析1导学号：22280090【解】法一：(1)证明：如图(1)，连接AD1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知BC1AD1.当1时，P是DD1的中点，又F是AD的中点，所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)如图(2)，连接BD.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，且EFBD.又DPBQ，DPBQ，所以四边形PQBD是平行四边形，故PQBD，且PQBD，从而EFPQ，
5、且EFPQ.在RtEBQ和RtFDP中，因为BQDP，BEDF1，于是EQFP，所以四边形EFPQ是等腰梯形同理可证四边形PQMN是等腰梯形分别取EF，PQ，MN的中点为H，O，G，连接OH，OG，则GOPQ，HOPQ，而GOHOO，故GOH是面EFPQ与面PQMN所成的二面角的平面角若存在，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则GOH90.连接EM，FN，则由EFMN，且EFMN，知四边形EFNM是平行四边形连接GH，因为H，G分别是EF，MN的中点，所以GHME2.在GOH中，GH24，OH2122，OG21(2)2(2)2，由OG2OH2GH2，得(2)224，解得1，故存在
6、1，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角法二：向量方法：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴建立如图(3)所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得图(3)B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，)，(2，0，2)，(1，0，)，(1，1，0)(1)证明：当1时，(1，0，1)，因为(2，0，2)，所以2，即BC1FP.而FP平面EFPQ，且BC1平面EFPQ，故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n(x，y，z)，则由可得于是可取n(，1)同理可得平面MNPQ的一个法向量为m(2，2，1)若存在
7、，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则mn(2，2，1)(，1)0，即(2)(2)10，解得1.故存在1，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角2【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2
8、，2，1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.3导学号：22280091【解】(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DEBE1，CD2，得BDBC.由AC，AB2，得AB2AC2BC2，即ACBC.又平面ABC平面BCDE，从而AC平面BCDE，所以ACDE.又DEDC，从而DE平面ACD.(2)法一：如图，作BFAD，与AD交于点F，过点F作FGDE，与AE交于点G，连接BG，由(1)知DEAD，则FGAD.所以BFG是二面角B
9、ADE的平面角在直角梯形BCDE中，由CD2BC2BD2，得BDBC，又平面ABC平面BCDE，得BD平面ABC，从而BDAB.由于AC平面BCDE，得ACCD.在RtACD中，由DC2，AC，得AD.在RtAED中，由ED1，AD，得AE.在RtABD中，由BD，AB2，AD，得BF，AFAD，从而GF.在ABE，ABG中，利用余弦定理分别可得cosBAE，BG.在BFG中，cosBFG.所以，BFG，即二面角BADE的大小是.法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0
10、)，A(0，2，)，B(1，1，0)设平面ADE的法向量为m(x1，y1，z1)，平面ABD的法向量为n(x2，y2，z2)，可算得(0，2，)，(1，2，)，(1，1，0)由得可取m(0，1，)由得可取n(1，1，)于是|cosm，n|.由题意可知，所求二面角是锐角故二面角BADE的大小是.4.【解】(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0，0，0)，B(t，0，0)，B1(t，0，3)，C(t，1，0)，C1(t，1，3)，D(0，3，0)，D1(0，3，3)从而(
11、t，3，3)，(t，1，0)，(t，3，0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1，0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0，3，3)，(，1，0)，(0，1，0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|，即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.5【解】(1)在折叠前的图形中，在等腰直角三角形ABC中，因为BC6，O为BC的中点，所以ACAB3，OCOB3.又因为CDBE，所以ADAE2.如题图，连接OD(图略)，在OCD中，由余弦定理可得OD
12、.在折叠后的图形中，因为AD2，所以AO2OD2AD2，所以AOOD.同理可证AOOE.又ODOEO，所以AO平面BCDE.(2)以点O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示(F为DE的中点)，则A(0，0，)，C(0，3，0)，D(1，2，0)，所以(0，0，)，(0，3，)，(1，2，)设n(x，y，z)为平面ACD的一个法向量，则令z，得n(1，1，)，|n|.由(1)知，(0，0，)为平面CDB的一个法向量又|，n010(1)3，所以cosn，即二面角ACDB的平面角的余弦值为.6导学号：22280092【解】如图，以点A为原点，以AD，AA1，AB所在直线为x轴、y轴、z轴建立
13、空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，B(0，0，2)，C(1，0，1)，B1(0，2，2)，C1(1，2，1)，E(0，1，0)(1)证明：易得(1，0，1)，(1，1，1)，于是0，所以B1C1CE.(2)(1，2，1)设平面B1CE的法向量m(x，y，z)，则即消去x，得y2z0，不妨令z1，可得一个法向量为m(3，2，1)由(1)知，B1C1CE，又CC1B1C1，可得B1C1平面CEC1，故(1，0，1)为平面CEC1的一个法向量于是cosm，从而sinm，.所以二面角B1CEC1的正弦值为.(3)(0，1，0)，(1，1，1)设(，)，01，有(，1，)可取(0，0，2)为平面
14、ADD1A1的一个法向量设为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sin |cos，|.于是，解得(负值舍去)，所以AM.7【解】(1)证明：如图，因为D、C、F分别是AQ，BQ、AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.又EF平面PCD，DC平面PCD.所以EF平面PCD.又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系设BABQBP2，则E(1，0
15、，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，所以(1，2，1)，(0，2，1)，(1，1，2)，(0，1，2)设平面EFQ的一个法向量为m(x1，y1，z1)，由m0，m0，得取y11，得m(0，1，2)设平面PDC的一个法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0，得取z21，得n(0，2，1)所以cosm，n.因为二面角DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为.8导学号：22280093【解】(1)证明：因为四边形ABCD为矩形，故ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG.在RtBPC中，PG，GC，BG.设ABm，则OP，故四棱锥PABCD的体积为Vm，因为m，故当m，即AB时，四棱锥PABCD的体积最大此时，建立如图所示的坐标系，各点的坐标为O(0，0，0)，B，C，D，P.故，(0，0)，.设平面BPC的法向量n1(x，y，1)，则由n1，n1得解得x1，y0，n1(1，0，1)同理可求出平面DPC的法向量n2.从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为cos .高考资源网版权所有，侵权必究！