1、第一阶段 专题二 知识载体 能力形成 创新意识 配套课时作业 考点一 考点二 考点三 第二节 1“死记”两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sin cos cos sin.cos()cos cos sin sin.tan()tan tan 1tan tan.(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin cos.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2 2tan 1tan2.2“熟记”两个定理(1)正弦定理asin Absin Bcsin C2R(2R 为ABC 外接圆的直径)变形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin
2、 A a2R，sin B b2R，sin C c2R；abcsin Asin Bsin C.(2)余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C.推论：cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab.变形：b2c2a22bccos A，a2c2b22accos B，a2b2c22abcos C.考情分析三角恒等变换是三角运算的核心和灵魂，特别是和与差的三角函数公式与三角恒等变换的灵活运用高考对该内容的考查，一般多以选择题、填空题的形式考查三角变换在求值、化简等方面的简单应用，解答题往往与向量交汇命题例
3、1(2011广东高考)已知函数 f(x)2sin13x6，xR.(1)求 f(0)的值；(2)设，0，2，f32 1013，f(32)65，求 sin()的值思路点拨(1)可以直接代入求值(2)首先要化简条件得 sin，cos，然后用和角公式 sin()计算解(1)f(0)2sin6 212 1.(2)由 f32 1013，即 2sin 1013，所以 sin 513.由 f(32)65，得 2sin2 65，即 2cos 65，所以 cos 35.，0，2，cos 1sin21213，sin 1cos245.sin()sin cos cos sin 513351213456365.类题通法三
4、角函数恒等变换的基本策略(1)常值代换特别是“1”的代换，如 1cos2sin2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑如分拆项：sin2x2cos2x(sin2xcos2x)cos2x1cos2x；配凑角：()，2 2 等(3)降次与升次，即半角公式降次与倍角公式升次(4)化弦(切)法将三角函数利用同角三角函数的基本关系化成弦(切)(5)引入辅助角asin bcos a2b2sin()，这里辅助角 所在的象限由 a，b 的符号确定，的值由 tan ba确定冲关集训1(2012深圳调研)已知直线 l：xtan y3tan 0 的斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1，则 tan()()A73 B.
5、73C.57D1解析：选 依题意得，tan 2，3tan 1，即 tan 13，tan()tan tan 1tan tan 2131231.D2(2012哈师大附中模拟)设，都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525解析：选 依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin245；又，均为锐角，因此 0cos()，注意到45 55 45，所以 cos()45.cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.A3(2012德州模拟)已知函数 f(x)2cos
6、2x2 3sin x.(1)求函数 f(x)的最小正周期和值域；(2)若 为第二象限角，且 f3 13，求cos 21cos 2sin 2的值解：(1)f(x)2cos2x2 3sin x1cos x 3sin x12cosx3，周期 T2，f(x)的值域为1,3(2)f3 13，12cos 13，即 cos 13.为第二象限角，sin 2 23.cos 21cos 2sin 2cos2sin22cos22sin cos cos sin 2cos 132 232312 22.考情分析正弦定理和余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形是高考的一个热点问题高考对该内容的考查可以是选择题或填空题，直
7、接利用正弦定理和余弦定理的公式去求解三角形问题，多属于中档题；也可以是解答题，多是交汇性问题，常常是与三角函数或平面向量结合例 2(2012新课标全国卷)已知 a，b，c 分别为ABC 三个内角 A，B，C 的对边，acos C 3asin Cbc0.(1)求 A；(2)若 a2，ABC 的面积为3，求 b，c.思路点拨(1)由题设以及正弦定理得到关于 A 的三角函数值，进而求得 A 的值(2)由面积公式以及余弦定理得到 b 与 c的方程组，进而求得 b 与 c 的值解(1)由 acos C 3asin Cbc0 得sin Acos C 3sin Asin Csin Bsin C0.因为 BA
8、C，所以 3sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于 sin C0，所以 sinA6 12.又 0A，故 A3.(2)ABC 的面积 S12bcsin A 3，故 bc4.而 a2b2c22bccos A，故 b2c28.解得 bc2.类题通法解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由ABC求C，由正弦定理求a，b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可
9、能有多种情况(4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.解析：选 由 C2B 得 sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及 8b5c 得 cos B sin C2sin B c2b45，所以 cos Ccos 2B2cos2 B124521 725.冲关集训4(2012天津高考)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，已知 8b5c，C2B，则 cos C()A.725 B 725C 725D.2425A5(2012北京高考)在ABC 中，若 a3，b 3，A3，则C 的大小为_解析：由正弦定理可知 sin Bbsin Aa3sin 3312，所以
10、B6或56(舍去)，所以CAB362.答案：26(2012江西高考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3cos(BC)16cos Bcos C.(1)求 cos A；(2)若 a3，ABC 的面积为 2 2，求 b，c.解：(1)由 3cos(BC)16cos Bcos C，得 3(cos Bcos Csin Bsin C)1，即 cos(BC)13，从而 cos Acos(BC)13.(2)由于 0A，cos A13，所以 sin A2 23.又 SABC2 2，即12bcsin A2 2，解得 bc6.由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 b2c213.
11、解方程组bc6，b2c213，得b2，c3，或b3，c2.考情分析 由于正、余弦定理是解斜三角形的工具，而解斜三角形应用问题中的测量问题、航海问题等常常是高考的热点，其主要要求是：会利用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些测量和几何计算有关的实际问题例3 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内
12、(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由思路点拨 第(1)步设相遇时小艇航行的距离为S，利用余弦定理把S表示为关于t的函数，利用二次函数求解S的最小值，并求解此时的速度；第(2)步利用余弦定理表示出v，t的关系式，并利用函数知识求解；第(3)步把问题转化为二次函数根的分布问题解(1)设相遇时小艇航行距离为 S 海里，则S 900t2400230t20cos9030 900t2600t400900t132300，故当 t13时，Smin10
13、3，v30 3，即小艇以每小时 30 3海里的速度航行，相遇时距离最小(2)若轮船与小艇在 B 处相遇，由题意可得：(vt)2202(30t)2220(30t)cos(9030)，化简得 v2400t2 600t 9004001t342675，由于 00)，于是有 4002600900v20，小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇等价于上述方程有两个不等正根，所以60021 600900v20，900v20，解得：15 3vACBC，且CD，所以 SABDSABC.故选择ABC 的形状建造环境标志费用较低因为 ADBDAB7，所以ABD 是等边三角形，DC60.故 SABC12ACBCsin
14、C10 3，所以所求的最低造价为5 00010 350 000 386 600元透视三角函数的求值、求角问题许多考生对三角函数恒等变换中的求值、求角问题一筹莫展，其原因在于：未能牢记三角公式；不知如何根据三角函数的形式选择合适的求值、求角的方法三角函数的求值、求角问题包括：（1）“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变换求三角函数式的值；（2）“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；（3）“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角典例(2011天津高考)已知函数 f(x)tan2x4，(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)设 0，4，若 f2 2
15、cos 2，求 的大小思路点拨(1)根据正切函数的有关概念和性质求解；(2)根据三角函数的有关公式进行变换、化简求值解(1)由三角函数的定义得 2x42k，kZ，即 x8k2，kZ.f(x)的定义域为x|x8k2，kZ，f(x)的最小正周期为2.(2)由 f2 2cos 2，得 tan4 2cos 2，即sin4cos42(cos2sin2)，整理得：sin cos sin cos 2(sin cos)(sin cos)0，4，sin cos 0.(sin cos)212.sin 212.由 0，4，得 20，2，26，12.名师支招利用三角恒等变换求值与求角，其实质是对两角和与差以及二倍角的
16、正弦、余弦、正切公式的应用求解此类问题，不仅对公式的正用、逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉，同时要善于拆角、拼角，注意角的范围总之，“变”是三角恒等变换的主题，在三角恒等变换中，角的变换、名称的变换、次数的变换、表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化“变”的意识是关键，但要注意其中的不变，即公式不变、方法不变，最好能够将习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律，这样才能以不变应万变高考预测已知向量OA(cos，sin)(，0)，向量 m(2,1)，n(0，5)，且 m(OAn)(1)求向量OA；(2)若 cos()210，0，求 cos(2)解：(1)OA(cos，sin)，OAn(cos，sin 5)，m(OAn)，m(OAn)0，即 2cos(sin 5)0，又 sin2cos21，由联立方程解得cos 2 55，sin 55，OA2 55，55.(2)cos()210，cos 210，又0，sin 7 210，且2.又sin 22sin cos 2 55 2 5545，cos 22cos21245135，cos(2)cos 2cos sin 2sin 35 210 457 210 25 250 22.配套课时作业