1、（总分160分，时间120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1命题“存在正实数，使得”的否定是 .2= .3抛物线的焦点坐标为 .4集合，则 .5,则= .6. 右图给出了红豆生长时间（月）与枝数（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝”的红豆生长时间与枝数的关系用下列函数模型拟合最好的是 .（只填序号） 指数函数： 对数函数： 幂函数： 二次函数：7已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为 .8已知平面，满足，则与的夹角为 .9已知圆 ：恰好经过椭圆：的焦点，则椭圆的离心率为 .10已知等比数列的各项均为正数，且3是和的等比中项，则
2、 .11设函数，其中，则导数的取值范围范围是 .12已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m= .13点P在直径为4的球面上，过P作两两垂直的三条弦PA,PB,PC，用分别表示、的面积，则的最大值是 . 14对任意xR，函数满足，设数列的前15项和为= 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15(本题满分14分) 已知，且；求：的值；若为的三个内角，为锐角，且，求的值；16(本题满分14分)已知等差数列，等比数列，求：以为前三项的等差数列的通项公式；已知数列的前项和为，且其通项，求17. (本题满分14分)如图，正方体中，为的中点
3、，求证：平面；平面平面；18(本题满分16分)已知点，圆：与椭圆：有一个公共点，是椭圆的左、右焦点，直线与圆相切(1)求的值与椭圆的方程；(2)设为椭圆上的一个动点，求的取值范围19. (本题满分16分)某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：（其中为小于6的正常数）（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产
4、量（万件）的函数；（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？20(本题满分16分)已知函数(1)当时，求函数的单调区间；(2)求函数在区间上的最小值及相应的的值；(3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 2012届高三年级第三次阶段考试数 学 试 题第二部分（加试部分）（总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷密封线内解答过程应写在答题卷的相应位置上，在其它地方答题无效。【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21A.选修41：几何证明选
5、讲（本小题满分10分）ABCDEF如图，在中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值B.选修42：矩阵与变换（本小题满分10分）设是把坐标平面上的点横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换所对应的矩阵(1)求矩阵的特征值和相应的特征向量；(2)求逆矩阵以及椭圆在作用下的新的曲线方程.C.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 （为参数），求：(1)曲线和直线的普通方程；(2)求直线被曲线所截得的弦长D.选修45：不等式选讲已知函数（为实数）的最小值为，若，求的最
6、小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22 （本小题满分10分）某校从名男教师和名女教师中任选人参加全县教育系统举行的“我的教育故事”演讲比赛如果设随机变量表示所选人中女教师的人数求：(1)的分布列；(2)的数学期望；(3)“所选3人中女教师的人数”的概率23（本小题满分10分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，(1) 求直线与平面所成角的正弦值；(2) 在线段AC上找一点P，使与所成的角为，试确定点P的位置BEAFDC第23题图命题人：刘永林 审核：王怀学 孟庆峰 2012届高三试
7、题数学试卷参考答案第卷（必做题）13.8. 解析：设,两两垂直，补形成长方体,根据长方体对角线性质，有。，又，当且仅当取等号。的最大值是8.14。 分析：关键之一：不要误入化简函数式的误区；关键之二：能否看出；关键之三： 得，从而，反代可得二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15(本题满分14分)解：(1) (2) 因为，所以，因为为锐角，所以，所以17. (本题满分14分)证明：连结交于点，则为中点，连结为中点，为的中点，又，平面，又，.同理.，由知，平面平面18(本题满分16分)解：(1)因为点在圆上，所以，解得或因为，所以设
8、则直线的方程为；即为；因为直线与圆相切，且所以，解得又因为椭圆过所以 解得，所以所求椭圆方程为；19(本题满分16分)解：（1）当时，当时，综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0 当时，当且仅当时取等号所以当时，此时 当时，由知函数在上递增，此时综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润 若，则当日产量为万件时，可获得最大利润(2) ，当时，若，在上非负(仅当时，)，故函数在区间上是增函数，此时，若，当时，当时，此时是减函数；当时，此时是增函数故若时，在上非正(仅当时，)，故函数在区间上是减函数，此时，综上可知，当时，的最小值为1，相应
9、的的值为1；当时，的最小值为，相应的的值为；当时，的最小值为，相应的的值为(3)不等式，可化为，且等号不能同时成立，所以，即，因而()令()，又，当时，从而(当且仅当时取等号)，所以在上是增函数，故的最小值，所以的取值范围是 2012届高三年级第三次阶段考试数学试题第二部分（加试部分）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每题10分，共计20分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修41：几何证明选讲（本小题满分10分）过D点作DMAF交BC于M，因为DMAF，所以，分因为EFDM，所以，即分又，即，分所以，因此10分B.选修42：矩阵与变换（本小
10、题满分10分）解：(1)由条件得矩阵 ，它的特征值为2和3，对应的特征向量为和；(2) ，椭圆在作用下的新的曲线方程为C.选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：(1)曲线的普通方程为：直线的普通方程为：(2)D.选修45：不等式选讲（本小题满分10分）因为，2分所以时，取最小值，即，5分因为，由柯西不等式得，8分所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22（本小题满分10分）解：(1)易知可能的取值为0,1,2.所以得分布列为011(2)的数学期望为
11、：；(3) “所选3人中女教师的人数”的概率为：+23（本小题满分10分）(1) 以为正交基底，建立如图空间直角坐标系，BEAFCD则，因为，所以是平面法向量， 又因为，所以，故直线与平面所成角正弦值为(2)设因为，所以解得，故存在满足条件的点P为AC的中点 备用题：某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：（单位：万美元）项 目类 别年固定成本来每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计另外，年销售件B产品时需上交万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去（1）写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润与生产相应产品的件数之间的函数关系并指明其定义域；（2）如何投资最合理（可获得最大年利润）？请你做出规划 解：（1）由年销售量为件，按利润的计算公式，有生产A、B两产品的年利润分别为且） （2分） = （4分）（2），为增函数. (6分)时，生产A产品有最大利润为（万美元）。 （8分）又时，生产B产品有最大利润为460（万美元） （10分）因为（12分） 所以，当时，可投资生产A产品200件； 当时，生产A产品与生产B产品均可； 当时，可投资生产B产品100件 （14分）