1、第4讲万有引力定律及应用一、开普勒三定律定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等k，k是一个与行星无关的常量自测1(2016全国卷14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出
2、了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案B解析开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律二、万有引力定律1内容自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比2表达式FG，G为引力常量，G6.671011 Nm2/kg2.3适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离4天体运动问题分析(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向
3、心力由万有引力提供(2)基本公式：Gma自测2(2018四川省第二次“联测促改”)在距地面不同高度的太空有许多飞行器其中“天舟一号”距地面高度约为393 km，哈勃望远镜距地面高度约为612 km，“张衡一号”距地面高度约为500 km.若它们均可视为绕地球做圆周运动，则()A“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度B哈勃望远镜的线速度大于“张衡一号”的线速度C“天舟一号”的周期大于哈勃望远镜的周期D哈勃望远镜的角速度大于“张衡一号”的角速度答案A解析根据万有引力提供飞行器的向心力，ma，a，“天舟一号”的加速度大于“张衡一号”的加速度，故A正确； 根据万有引力提供飞行器的向心力，m，v
4、，哈勃望远镜的线速度小于“张衡一号”的线速度，故B错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，mr，T ，“天舟一号”的周期小于哈勃望远镜的周期，故C错误；根据万有引力提供飞行器的向心力，m2r， ，哈勃望远镜的角速度小于“张衡一号”的角速度，故D错误三、宇宙速度1第一宇宙速度(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度(4)第一宇宙速度的计算方法由Gm得v ；由mgm得v.2第二宇宙速度使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 k
5、m/s.3第三宇宙速度使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.自测3(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是()A发射速度只要大于第一宇宙速度即可B发射速度只有达到第三宇宙速度才可以C发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度D火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的答案CD解析根据三个宇宙速度的定义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火，R火，则 ，选项D正确.命题点一开普勒三定律的理解和应用1行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理2开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动3
6、开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间例1(多选)(2017全国卷19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中()图1A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案CD解析由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到
7、M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确变式1火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积答案C解析由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误火
8、星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D错误变式2如图2所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点下列说法中正确的是()图2A卫星在A点的角速度大于B点的角速度B卫星在A点的加速度小于B点的加速度C卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加D卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大答案B解析由开普勒第二定律知，卫星与地球的连
9、线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，选项A错误；设卫星的质量为m，地球的质量为M，卫星的轨道半径为r，由万有引力定律得Gma，解得a，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在A点的加速度小于B点的加速度，选项B正确；卫星由A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D错误命题点二万有引力定律的理解1万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向(1)在赤道上：Gmg1m2R.(2)在两极上：Gm
10、g0.(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即mg.2星球上空的重力加速度g星球上空距离星体中心rRh处的重力加速度为g，mg，得g.所以.3万有引力的“两点理解”和“两个推论”(1)两点理解两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力(2)两个推论推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即F引0.推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对
11、其的万有引力，即FG.例2若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体“蛟龙”号下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的重力加速度之比为()A. B.C. D.答案C解析设地球的密度为，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：gG.由于地球的质量为：MR3，所以重力加速度的表达式可写成：gGR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(Rd)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度gG(Rd)，所以有.根据万有引力提供向心力Gma，“天宫一号”所在处的重力加速度
12、为a，所以，故C正确，A、B、D错误变式3(2019广东省东莞市调研)“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0 B. C. D.答案B命题点三天体质量和密度的估算天体质量和密度常用的估算方法使用方法已知量利用公式表达式备注质量的计算利用运行天体r、TGmrM只能得到中心天体的质量r、vGmMv、TGmGmrM利用天体表面重力加速度g、RmgM密度的计算利用运行天体r、T、RGmrMR3当rR时利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、RmgMR3例3
13、(2018全国卷16)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253”，其自转周期T5.19 ms.假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.671011 Nm2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为()A5109 kg/m3 B51012 kg/m3C51015 kg/m3 D51018 kg/m3答案C解析脉冲星自转，边缘物体m恰对球体无压力时万有引力提供向心力，则有Gmr，又知Mr3整理得密度 kg/m35.21015 kg/m3.变式4(多选)(2018广东省汕头市第二次模拟)“嫦娥三号”在月球表面释放出“玉兔”号月球车开展探
14、测工作，若该月球车在地球表面的重力为G1，在月球表面的重力为G2，已知地球半径为R1，月球半径为R2，则()A地球表面与月球表面的重力加速度之比为B地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为C地球与月球的质量之比为D地球与月球的平均密度之比为答案BD解析地球表面的重力加速度为g1，月球表面的重力加速度g2，地球表面与月球表面的重力加速度之比为，故A错误根据第一宇宙速度公式v，得 ，故B正确根据mg，得M，地球质量M1，月球的质量M2，所以地球与月球质量之比为，故C错误平均密度，得，故D正确变式5(多选)(2018山东省青岛市二模)利用探测器探测某行星，探测器在距行星表面高度为h1的轨道上做匀
15、速圆周运动时，测得周期为T1；探测器在距行星表面高度为h2的轨道上做匀速圆周运动时，测得周期为T2，万有引力常量为G，根据以上信息可求出()A该行星的质量B该行星的密度C该行星的第一宇宙速度D探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力答案ABC解析探测器在距行星表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动时，有：Gm(Rh)解得：M则有M，M联立两式即可求出行星的质量M和行星的半径R，A正确；行星的密度：，可以求出行星的密度，B正确；根据万有引力提供向心力，得第一宇宙速度v ，C正确；由于不知道探测器的质量，所以不可求出探测器贴近行星表面飞行时行星对它的引力，D错误命题点四卫星运行参量的分析卫星运行参量相关
16、方程结论线速度vGmv r越大，v、a越小，T越大角速度Gm2r 周期TGm2r T2 向心加速度aGmaa例4(2018全国卷15)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍P与Q的周期之比约为()A21 B41C81 D161答案C解析由Gmr知，则两卫星.因为rPrQ41，故TPTQ81.变式6(2018山东省临沂市上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测设
17、海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n倍，下列说法正确的是()A在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等B海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比C海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为1D海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1答案B解析根据Gm2rmr，可得T2 ， ，卫星到地心的连线扫过的面积为Sr2r2t，半径不同，则面积不同，A错误；由T2可知，是一个定值，B正确；根据可知角速度之比为1，C错误；根据T2可知周期之比为1，D错误变式7(201
18、8广东省揭阳市期末)如图3所示是北斗导航系统中部分卫星的轨道示意图，已知a、b、c三颗卫星均做圆周运动，a是地球同步卫星，则()图3A卫星a的角速度小于c的角速度B卫星a的加速度大于b的加速度C卫星a的运行速度大于第一宇宙速度D卫星b的周期大于24 h答案A解析根据公式Gm2r可得 ，运动半径越大，角速度越小，故卫星a的角速度小于c的角速度，A正确；根据公式Gma可得a，由于a、b的轨道半径相同，所以两者的向心加速度大小相同，B错误；第一宇宙速度是近地轨道卫星做圆周运动的最大环绕速度，根据公式Gm可得v ，半径越大，线速度越小，所以卫星a的运行速度小于第一宇宙速度，C错误；根据公式Gmr可得T
19、2 ，故轨道半径相同，周期相同，所以卫星b的周期等于24 h，D错误1(2018江西省南昌市第二次模拟)为“照亮”“嫦娥四号”“驾临”月球背面之路，一颗承载地月中转通信任务的中继卫星将在“嫦娥四号”发射前半年进入到地月拉格朗日点L2，如图1.在该点，地球、月球和中继卫星始终位于同一直线上，且中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期相同，则()图1A中继卫星绕地球做圆周运动的周期为一年B中继卫星做圆周运动的向心力仅由地球提供C中继卫星的线速度小于月球运动的线速度D中继卫星的向心加速度大于月球运动的向心加速度答案D解析中继卫星绕地球做圆周运动的周期与月球绕地球运动的周期相等，都约
20、为27.3天，故A错误；中继卫星做圆周运动的向心力由月球和地球引力的合力提供，故B错误；中继卫星与地球同步绕地球运动，角速度相等，根据vr，知中继卫星的线速度大于月球的线速度，故C错误；根据a2r知，中继卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正确2(2018河南省鹤壁市调研)我国在酒泉卫星发射中心采用长征四号乙运载火箭成功发射首颗X射线调制望远镜卫星“慧眼”它在距离地面550公里的轨道上运行，其运动轨道可近似看成圆轨道根据上述信息可知下列说法中正确的是()A该卫星的运行速度大于7.9 km/sB该卫星的运行周期小于低轨道近地卫星的运行周期C该卫星的发射速度大于7.9 km/sD该卫星所在轨
21、道的重力加速度大于地球表面的重力加速度答案C解析离地球越远的卫星运行越慢，故该卫星的运行速度一定小于第一宇宙速度7.9 km/s，选项A错误；该卫星的运行周期一定大于低轨道近地卫星的运行周期，选项B错误；第一宇宙速度是最小发射速度，故该卫星的发射速度大于7.9 km/s，选项C正确；离地球越远重力加速度越小，故该卫星所在轨道的重力加速度小于地球表面的重力加速度，选项D错误3(2018山东省临沂市上学期期末)2018年1月13日15时10分，我国在酒泉卫星发射中心用长征二号丁运载火箭，成功将“陆地勘查卫星三号”发射升空，卫星进入预定轨道这是我国第三颗低轨陆地勘查卫星关于“陆地勘查卫星三号”，下列
22、说法正确的是()A卫星的发射速度一定小于7.9 km/sB卫星绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大C卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度小D卫星在预定轨道上没有加速度答案B4(多选)(2019广东省珠海市质检)已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s，航天器与月球的中心连线扫过角度为，万有引力常量为G，则()A航天器的轨道半径为B航天器的环绕周期为C月球的质量为D月球的密度为答案BC解析r，故A错误；经过时间t，得：T，故B正确；mr，所以：M，故C正确；人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动
23、，月球的半径等于r，则月球的体积：Vr3，月球的密度为，故D错误5(多选)(2018江西省新余市上学期期末)已知月球的半径为R，月球表面的重力加速度为g，引力常量为G，“嫦娥四号”离月球中心的距离为r，绕月周期为T.根据以上信息可求出()A“嫦娥四号”绕月运行的速度为 B“嫦娥四号”绕月运行的速度为 C月球的平均密度为D月球的平均密度为答案AD解析Gmg，则有GMR2g，“嫦娥四号”绕月运行时，Gm，解得v ，联立解得v，故A正确，B错误；“嫦娥四号”绕月运行时有，Gmr，解得：M，故C错误，D正确6(多选)(2018河北省张家口市上学期期末)宇航员站在某一星球上，将一个小球距离星球表面h高度
24、处由静止释放使其做自由落体运动，经过t时间后小球到达星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，则下列选项正确的是()A该星球的质量为B该星球表面的重力加速度为C该星球表面的第一宇宙速度为D该星球的密度为答案ACD解析hgt2，g，星球表面的物体受到的重力等于万有引力， 即Gmg，解得质量为：M，故A正确，B错误；Gm，v ，故C正确；在星球表面有：Gmg，星球的密度为：，联立以上解得：，故D正确7(多选)(2018安徽省芜湖市上学期期末)假设宇宙中有两颗相距足够远的行星A和B，半径分别为RA和RB.各自相应的两颗卫星环绕行星运行周期的平方与轨道半径的三次方的关系如图2所示，两颗卫星环绕相应
25、行星表面运行的周期都为T0.则()图2A行星A的质量大于行星B的质量B行星A的密度小于行星B的密度C行星A的第一宇宙速度等于行星B的第一宇宙速度D当两行星的卫星轨道半径相同时，行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度答案AD解析Gmr，解得M，从题图中可知斜率越小，越大，质量越大，所以行星A的质量大于行星B的质量，A正确；根据题图可知，在两颗行星表面做匀速圆周运动的周期相同，密度，所以行星A的密度等于行星B的密度，B错误；第一宇宙速度v，A的半径大于B的半径，卫星环绕行星表面运行的周期相同，则A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度，C错误；根据Gma得aG，当两行星的卫星轨道半径相同
26、时，A的质量大于B的质量，则行星A的卫星向心加速度大于行星B的卫星向心加速度，D正确8(2018福建省三明市上学期期末)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B1 C5 D10答案B解析mr，解得M，“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，所以该中心恒星与太阳的质量比约为1.9(2018福建省龙岩市上学期期末)已知“天宫二号”空间站在
27、低于同步卫星的轨道上绕地球做匀速圆周运动，经过时间t(t小于其运行周期T)运动的弧长为s，对应的圆心角为弧度已知万有引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下面说法正确的是()A“天宫二号”空间站的运行速度为B“天宫二号”空间站的环绕周期TC“天宫二号”空间站的向心加速度为gD地球质量M答案A解析“天宫二号”空间站的运行速度为v，选项A正确；角速度，则周期T，选项B错误；根据a可知，“天宫二号”空间站的向心加速度小于g，选项C错误；根据Gmv，vr，解得：M，选项D错误10(2018湖南省益阳市4月调研)2018年2月12日，“长征三号乙”运载火箭以“一箭双星”的形式将北斗三号第五颗、第六颗全球
28、组网导航卫星成功送入预定轨道，这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，即采用圆轨道，轨道高度低于同步卫星的轨道高度，万有引力常量为已知，下列说法正确的是()A这两颗卫星在其轨道上运行的速率小于同步卫星的速率B如果已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期可以计算出地球质量C如果已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径可以计算出地球密度D这两颗卫星在其轨道上运行的速率小于第一宇宙速度的大小答案D解析Gm，解得v，由于r同r中r近，所以这两颗卫星在其轨道上运行的速率大于同步卫星的速率，小于第一宇宙速度的大小，故A错误，D正确；Gmr，解得M，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期和万有引力常量，不知这两颗卫星的轨
29、道半径，所以不能求出地球质量，故B错误；Gmr，解得M，已知这两颗卫星在其轨道上运行的周期与轨道半径，能求出地球质量，地球密度，地球的半径不知道，不能求出地球密度，故C错误11(多选)(2018山东省济宁市上学期期末)如图3所示，A为置于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点，已知A、B、C绕地心运动的周期相同，下列说法正确的是()图3A卫星C的运行速度小于物体A的速度B物体A和卫星C具有相同大小的加速度C卫星B和卫星C在P点的加速度大小相等D卫星B运动轨道的半长轴与卫星C运动轨道的半径相等答案CD解析物体A和卫星C的周期相等，
30、则角速度相等，根据vr知，半径越大，线速度越大，所以卫星C的运行速度大于物体A的速度，故A错误；物体A静止于地球赤道上随地球一起自转，卫星C绕地球做圆周运动，根据a2r，卫星C的加速度较大，故B错误；根据a知，两卫星在P点到地心的距离相等，则加速度大小相等，故C正确；卫星B、C绕地心运动的周期相同，根据开普勒第三定律得卫星B运动轨道的半长轴与卫星C运动轨道的半径相等，故D正确12(2018吉林省长春市八中模拟)如图4，假设某星球表面上有一倾角为37的固定斜面，一质量为m2.0 kg的小物块从斜面底端以速度9 m/s沿斜面向上运动，小物块运动1.5 s时速度恰好为零已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，该星球半径为R1.2103 km(sin 370.6，cos 370.8)，试求：图4(1)该星球表面上的重力加速度g的大小；(2)该星球的第一宇宙速度答案(1)7.5 m/s2(2)3.0103 m/s解析(1)由牛顿第二定律得：mgsin mgcos maa m/s26 m/s2联立可得：g7.5 m/s2(2)对该星球表面的物块：mg对在该星球表面附近运行的卫星：m故：v，代入数据得v3.0103 m/s.