1、4.1.2圆的一般方程1了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径(重点)2会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题(重点)3初步掌握求动点的轨迹方程的方法(难点、易错点)基础初探教材整理圆的一般方程阅读教材P121至P122“例4”以上部分，完成下列问题1圆的一般方程的概念当D2E24F0时，二元二次方程x2y2DxEyF0叫做圆的一般方程2圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)表示的圆的圆心为，半径长为.3对方程x2y2DxEyF0的说明方程条件图形x2y2DxEyF0D2E24F0不表示任何图形D2E24F0表示一个点D
2、2E24F0表示以为圆心，以为半径的圆判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程()(2)圆的一般方程和标准方程可以互化()(3)方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆心为，半径为的圆()(4)若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则xyDx0Ey0F0.()【解析】(1)正确圆的方程都能写成一个二元二次方程(2)正确圆的一般方程和标准方程是可以互化的(3)错误当a2(2a)24(2a2a1)0，即2a，即xyDx0Ey0F0.【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型圆的一般方程的概念辨析若方程x2y22mx2ym25m0表示圆，求：(1)实
3、数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径【精彩点拨】(1)根据表示圆的条件求m的取值范围；(2)将方程配方，根据圆的标准方程求解【自主解答】(1)据题意知D2E24F(2m)2(2)24(m25m)0，即4m244m220m0，解得m，故m的取值范围为.(2)将方程x2y22mx2ym25m0写成标准方程为(xm)2(y1)215m，故圆心坐标为(m,1)，半径r.形如x2y2DxEyF0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2E24F0，成立则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x
4、2y2DxEyF0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.再练一题1下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)；(3)2x22y22ax2ay0(a0)【解】(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，方程不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，方程表示点(a,0)(3)两边同除以2，得x2y2axay0，Da，Ea，F0，D2E24F2a20，方程表示圆，它的圆心为，半径r|a|.求圆的一般方程圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程. 【精彩点拨】由条件，所
5、求圆的圆心、半径均不明确，故设出圆的一般方程，用待定系数法求解【自主解答】设所求圆的方程为x2y2DxEyF0.圆过A(1,2)，B(3,4)，D2EF5，3D4EF25.令y0，得x2DxF0.设圆C与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1x2D，x1x2F.|x1x2|6，(x1x2)24x1x236，即D24F36.由 得D12，E22，F27，或D8，E2，F7.故所求圆的方程为x2y212x22y270，或x2y28x2y70.1利用待定系数法，先设出圆的方程，再根据条件列出方程组求出未知数，这是求方程问题的常用方法2如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用设圆的一般方程，
6、再用待定系数法求D、E、F.再练一题2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程【解】设三角形ABC外接圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得即三角形ABC的外接圆方程为x2y28x2y120.探究共研型求动点的轨迹方程探究1已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点M的轨迹方程吗？【提示】设M(x，y)，则2，整理可得点M的轨迹方程为x2y216.探究2已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，请求出直角顶点C的轨迹方程【提示】设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|
7、AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，2)，且圆心C在直线l：xy10上(1)求圆C的方程；(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程【精彩点拨】(1)利用圆的有关几何性质，确定圆心坐标与半径可求得圆C的方程(2)点M随点Q运动而运动，将Q点坐标用P、M两点坐标表示，再将Q点坐标代入(1)中的圆的方程，即得M点的轨迹方程【自主解答】(1)设点D为
8、线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.又kAB3，所以km，所以直线m的方程为x3y30.由得圆心C(3，2)，则半径r|CA|5，所以圆C的方程为(x3)2(y2)225.(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)因为点P的坐标为(5,0)，所以即又点Q(x0，y0)在圆C：(x3)2(y2)225上运动，所以(x03)2(y02)225，即(2x53)2(2y2)225.整理得(x1)2(y1)2.即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x1)2(y1)2.求与圆有关的轨迹问题常用的方法1直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式2
9、定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程3相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程再练一题3已知定点A(4,0)，P点是圆x2y24上一动点，Q点是AP的中点，求Q点的轨迹方程【解】设Q点坐标为(x，y)，P点坐标为(x，y)，则x且y，即x2x4，y2y.又P点在圆x2y24上，x2y24，将x2x4，y2y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.故所求的轨迹方程为(x2)2y21.1圆x2y24x6y0的圆心坐标是()A(2,3)B(2,
10、3)C(2，3)D(2，3)【解析】圆的方程化为(x2)2(y3)213，圆心为(2，3)，选D.【答案】D2已知方程x2y22x2k30表示圆，则k的取值范围是()A(，1)B(3，)C(，1)(3，) D.【解析】方程可化为：(x1)2y22k2，只有2k20，即k1时才能表示圆【答案】A3若方程x2y2DxEyF0表示以(2，4)为圆心，4为半径的圆，则F_.【解析】以(2，4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x2)2(y4)216，即x2y24x8y40，故F4.【答案】44设A为圆(x1)2y21上的动点，PA是圆的切线且|PA|1，则P点的轨迹方程是_【解析】设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x1)2y21的圆心为B(1,0)，则|PA|21|PB|2，(x1)2y22.【答案】(x1)2y225求经过三点A(1，1)，B(1,4)，C(4，2)的圆的一般方程. 【解】设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，B，C三点的坐标代入方程整理可得解得故所求的圆的一般方程为x2y27x3y20.