1、课时跟踪检测（二十五） 双曲线的标准方程 A级基础巩固1设F1，F2分别是双曲线x21的左、右焦点，若点P在双曲线上，且|PF1|5，则|PF2|()A5 B3C7 D3或7解析：选D由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a，即5|PF2|2，所以|PF2|3或|PF2|7.故选D.2下列选项中的曲线与1共焦点的双曲线是()A1 B1C1 D1解析：选D与1共焦点的双曲线系方程为1(1224)，对比四个选项，只有D符合条件(此时2).3(多选)已知双曲线8kx2ky28的焦距为6，则k的值为()A1 B2C1 D2解析：选AC由8kx2ky28得1，焦距为6，c3.若焦点在x轴上，则c29，k
2、1.若焦点在y轴上，故方程可化为1，k0，9，k1.4(多选)已知方程1表示的曲线为C.给出以下四个判断正确的是()A当1t4或t1时， 曲线C表示双曲线C若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1t4解析：选BCDA错误，当t时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则(4t)(t1)0，t4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4tt10，1t4.5(2020全国卷)设F1，F2是双曲线C：x21的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|2，则PF1F2的面积为()A B3C D2解析：选B法一：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|
3、2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|216.不妨令点P在双曲线C的右支上，则有|PF1|PF2|2，两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，又|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|6，则SPF1F2|PF1|PF2|63，故选B.法二：设F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，则由题意可知F1(2，0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以SPF1F23(其中F1PF2)，故选B.6设m是常数，若点F(0，5)是双曲线1的一个焦点，则m_解析
4、：由点F(0，5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.答案：167.如图所示，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且双曲线过C，D两顶点若AB4，BC3，则此双曲线的标准方程为_解析：设双曲线的标准方程为1(a0，b0).由题意得B(2，0)，C(2，3)，解得双曲线的标准方程为x21.答案：x218设点P在双曲线1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|PF2|13，则F1PF2的周长等于_，cos F1PF2_解析：由题意知|F1F2|210，|PF2|PF1|6，又|PF1|PF2|13，|PF1|3，|PF2|9，F1PF2的周长为3
5、91022.cos F1PF2.答案：229求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a2，经过点A(5，2)，焦点在x轴上；(2)与椭圆1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.解：(1)因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为1(a0，b0).由题设知，a2，且点A(5，2)在双曲线上，所以解得故所求双曲线的标准方程为1.(2)椭圆1的两个焦点为F1(0，3)，F2(0，3)，双曲线与椭圆的一个交点为(，4)(或(，4).设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则解得故所求双曲线的标准方程为1.10在ABC中，已知|AB|4，内角A，B，C满足2sin Asin C2sin B，
6、建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(2，0)，B(2，0).设ABC的外接圆半径为R.由正弦定理得sin CAB，sin CBA，sin C.2sin CABsin C2sin CBA，2|CB|AB|2|CA|，|CA|CB|AB|2|AB|.由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支a，c2，b2c2a26.顶点C的轨迹方程为1(x).B级综合运用11在平面直角坐标系xOy中，已知ABC顶点A(5，0)和B(5，0)，点C在双曲线1的右支上，则()A BC D解析：选D因为点C在双曲线的右支
7、上，且A(5，0)和B(5，0)为双曲线的两个焦点，所以|CA|CB|8；又因为|AB|10，所以由正弦定理得，故选D.12设F1，F2是双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，当F1PF2的面积为2时，的值为()A2 B3C4 D6解析：选B设点P(x0，y0)，依题意得|F1F2|24，SPF1F2|F1F2|y0|2，|y0|1.又y1，x3(y1)6.(2x0，y0)(2x0，y0)xy43.13椭圆1与双曲线y21有公共点P，则P与椭圆两焦点连线构成三角形的周长为_，P与双曲线两焦点连线构成三角形面积为_解析：由已知椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)，F2(0，5)，由椭圆与双
8、曲线的定义可得所以或又|F1F2|10，所以PF1F2为直角三角形，F1PF290，所以周长为|PF1|PF2|F1F2|141024，SF1PF2|PF1|PF2|24.答案：242414在m0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3；C的焦距为6；C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中问题：已知双曲线C：1，_，求C的方程注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：若选，因为m0，所以a2m，b22m，c2a2b23m，所以a，c.因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为ac，所以(1)3，解得m3，故C的方程为1.若选，则c3.若m0，则a2m，b22m，c2a2b23m，解得m3，则C的方程为1；若m0，则a2m, 所以a2，解得m4，则C的方程为1；若m0，则a22m，所以a2，解得m2，则C的方程为1.C级拓展探究15已知椭圆1与双曲线1有交点P，且有公共的焦点F1，F2，且F1PF22，求证：tan .证明：如图所示，设|PF1|r1，|PF2|r2，|F1F2|2c，则在PF1F2中，对于双曲线有|r2r1|2m，cos 21.1cos 2，sin .在PF1F2中，对于椭圆有r1r22a，cos 21，1cos 2，cos .tan .