1、第四节空间几何体的表面积与体积课时作业练1.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知一个圆锥的母线长为2,其侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为.答案33解析设圆锥底面圆的半径为r,则2r=2,r=1,则圆锥的高为3,体积为33.2.(2018江苏,10,5分)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.答案43解析本题考查组合体体积的计算.多面体由两个完全相同的正四棱锥组合而成,其中正四棱锥的底面边长为2,高为1,其体积为13(2)21=23,多面体的体积为43.3.(2018常州教育学会学业水平检测)已知圆锥的高为6,体积为8,用平行于圆锥底面的平面截圆锥,得到的圆台
2、的体积是7,则该圆台的高为.答案3解析设小圆锥的高为h,由题意知其体积是1,则h63=18,h=3,则圆台的高为3.4.(2017镇江高三期末)已知正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为6,则该正四棱锥的体积为.答案83解析正四棱锥的高h=(6)2-(2)2=2,则体积V=13222=83.5.(2018江苏高考信息预测)将两个大小相同的正方体石块分别打磨成体积最大的球和圆柱,则得到的球的表面积与圆柱的侧面积之比为.答案11解析设正方体的棱长为2,则体积最大的球的半径为1,球的表面积为4,体积最大的圆柱的底面圆半径为1,高为2,则圆柱的侧面积为4,所以球的表面积与圆柱的侧面积之比为11.6.(201
3、8苏锡常镇四市高三调研)在棱长为2的正四面体PABC中,M,N分别为PA,BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD=2DN,则三棱锥D-MBC的体积为.答案29解析VD-MBC=VM-BDC=13VM-BPC=16VA-PBC=1621223=29.7.(2018江苏无锡高三期中)半径为1的球O内有一个内接正三棱柱,当正三棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是.答案4-33解析设正三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的中心分别为O1,O2(如图).设正三棱柱的底面边长和高分别为x和h,则O2A=33x.在RtOAO2中,14h2+13x2=1,即h2=4-43x2,则正三棱柱
4、的侧面积S=3xh=3x24-43x2=23x2(3-x2)23x2+3-x22=33,当且仅当x2=3-x2,x=62时取等号,则正三棱柱的侧面积S的最大值是33,此时球的表面积与该正三棱柱的侧面积之差是4-33.8.(2018江苏高考数学模拟)四面体ABCD中,AB平面BCD,CD平面ABC,且AB=BC=CD=1 cm,则四面体ABCD的外接球的表面积为cm2.答案3解析四面体ABCD中,AB平面BCD,则ABBD,CD平面ABC,则CDBC,CDAC,又AB=BC=CD=1 cm,则BD=2 cm,AD=3 cm,由题意可知四面体ABCD的外接球的球心在AD的中点,即球的直径2R=AD
5、=3 cm,则表面积为4R2=3 cm2.9.(2017江苏盐城高三模拟)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,P,Q分别为棱CC1,BC的中点,则三棱锥A1-B1PQ的体积为.答案32解析取棱B1C1的中点E,连接A1E,由A1B1C1是等边三角形得A1EB1C1,A1E=3,又ABC-A1B1C1是直三棱柱,则B1B平面A1B1C1,则B1BA1E,又B1BB1C1=B1,B1B,B1C1平面B1BCC1,则A1E平面B1C1CB,B1PQ的面积为4-21221-1211=32,则三棱锥A1-B1PQ的体积为13SB1PQA1E=13323=32.10.直三棱柱ABC-A1B1
6、C1的侧棱长为a,底面ABC为直角三角形,ACB=90,AC=2BC,A1BB1C,求此三棱柱的表面积.解析连接BC1.三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,A1C1C1C.ACBC,ACA1C1,BCB1C1,A1C1B1C1.B1C1C1C=C1,B1C1平面B1BCC1,C1C平面B1BCC1,A1C1平面B1BCC1,又B1C平面B1BCC1,A1C1B1C.B1CA1B,A1C1A1B=A1,A1C1平面A1BC1,A1B平面A1BC1,B1C平面A1BC1,又BC1平面A1BC1,B1CBC1.四边形B1BCC1是矩形,四边形B1BCC1是正方形,BC=B1B=a,AC=2BC=2
7、a,AB=a2+(2a)2=5a,S直棱柱表=S直棱柱侧+2SABC=(a+2a+5a)a+2a2=(5+5)a2.11.(2017江苏盐城下学期期末)如图,已知平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在的平面与平面ABCD垂直,G、H分别是DF、BE的中点.(1)求证:GH平面CDE;(2)若CD=2,DB=42,求四棱锥F-ABCD的体积.解析(1)证明:连接FC,由题意知EFAD,ADBC,EFBC.又EF=AD=BC,四边形EFBC是平行四边形,又H为BE的中点,H为FC的中点.又G是FD的中点,HGCD.HG平面CDE,CD平面CDE,GH平面CDE.(2)平面ADEF平面A
8、BCD,交线为AD,且FAAD,FA平面ADEF,FA平面ABCD.AD=BC=6,FA=AD=6.CD=2,DB=42,CD2+DB2=BC2,BDCD.SABCD=CDBD=82,VF-ABCD=13SABCDFA=13826=162.12.如图,四棱锥P-ABCD中,PD平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,ABDC,BCD=90.(1)求证:PCBC;(2)求点A到平面PBC的距离.解析(1)证明:因为PD平面ABCD,BC平面ABCD,所以PDBC.由BCD=90,得BCDC.又PDDC=D,PD平面PCD,DC平面PCD,所以BC平面PCD.又PC平面PCD,故PCBC.(
9、2)如图,连接AC.设点A到平面PBC的距离为h.因为ABDC,BCD=90,所以ABC=90.又因为AB=2,BC=1,所以SABC=1.由PD平面ABCD及PD=1,得V三棱锥P-ABC=13SABCPD=13.因为PD平面ABCD,DC平面ABCD,所以PDDC.又因为PD=DC=1,所以PC=PD2+DC2=2.由PCBC,BC=1,得SPBC=22.由V三棱锥P-ABC=13SPBCh=1322h=13,得h=2,故点A到平面PBC的距离为2.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.命题“x0,x20”的否定是.答案x0,x202.已知函数f(x)=2x+xln x,则曲线y=f(x)在x
10、=1处的切线方程为.答案x+y-3=0解析因为f(1)=2, f (x)=-2x2+ln x+1,所以f (1)=-2+1=-1,则切线方程为y-2=-(x-1),即为x+y-3=0.3.已知集合A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,则实数m的取值范围为.答案(-,3解析BA,若B=,则2m-1m+1,此时m0时, f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.答案(-5,0)(5,+)解析作出f(x)=x2-4x(x0)的图象,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以利用奇函数的图象关于原点对称作出xx,观察图象易得解集为(-5,0)(5,+).6.设D,E分别是A
11、BC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC,若DE=1AB+2AC(1,2为实数),则1+2的值为.答案12解析DE=DB+BE=12AB+23BC=12AB+23(BA+AC)=-16AB+23AC=1AB+2AC,又AB,AC不共线,所以1=-16,2=23,1+2=12.7.已知实数x,y满足约束条件x+y3,y3,x3.则z=5-x2-y2的最大值为.答案12解析作出不等式组对应的平面区域,是一个三角形区域,所以(x2+y2)min是原点O到直线x+y=3的距离的平方,即(x2+y2)min=322=92,所以zmax=5-(x2+y2)min=5-92=12.8.(20
12、18江苏南京多校高三段考)已知等差数列an的首项为a,公差为-4,其前n项和为Sn,若存在mN*,使得Sm=36,则实数a的最小值为.答案15解析Sm=ma+m(m-1)2(-4)=36,即ma=36+2m(m-1),a=36m+2m-2,mN*,当m=4时,a取得最小值15.9.(2018南京高三学情调研)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos B=45.(1)若c=2a,求sinBsinC的值;(2)若C-B=4,求sin A的值.解析(1)因为在ABC中,cos B=45,所以a2+c2-b22ac=45.因为c=2a,所以c22+c2-b22cc2=45,即b2c2=920,所以bc=3510.又由正弦定理得sinBsinC=bc,所以sinBsinC=3510.(2)因为cos B=45,所以cos 2B=2cos2B-1=725.又0B,所以sin B=1-cos2B=35,所以sin 2B=2sin Bcos B=23545=2425.因为C-B=4,即C=B+4,所以A=-(B+C)=34-2B,所以sin A=sin 34-2B=sin 34cos 2B-cos34sin 2B=22725-222425=31250.