1、1.1正弦定理(一)学习目标1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法(难点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点).预习教材P58，完成下面问题：知识点1在RtABC中的有关定理在RtABC中，C90，则有：1.AB90，0A90，0B0)，则aksin A，bksin B，cksin C，故abcsin Asin Bsin C，故正确.当A30，B60时，sin 2Asin 2B，此时ab，故错误.根据比例式的性质易得正确.大角对大边，故正确.答案规律方法如果，那么(b，d0)(合比定理)；(b，d0)(分比定理)；(ab，cd
2、)(合分比定理)；可以推广为：如果，那么.【训练1】在ABC中，下列关系一定成立的是_.absin A；absin A；a0).2.正弦定理的应用：已知两角与任一边，求其他两边与一角.已知两边与其中一边的对角，求另一边和两角.3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.基础过关1.在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.解析由正弦定理得，即，所以AC2.答案22.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A，a1，b，则B_.解析由正弦定理得，sin B.又ba，B或.答案或3
3、.在ABC中，BCa5，ACb3，C120，则sin Asin B的值是_.解析.答案4.在ABC中，AB，则下列不等式中不一定正确的是_(填序号).sin Asin B；cos Asin 2B；cos 2ABabsin Asin B，正确；由于(0，)上，ycos x单调递减，cos Asin B0，sin2Asin2B，又由公式cos 212sin2，cos 2Acos 2B，正确；当A120，B30时，有sin 2Asin 2B，故不正确.答案5.在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B30，c150，b50，则ABC的形状是_三角形.解析由得sin C，又C(0，1
4、80)，C60或120，A90或30，ABC为等腰或直角三角形.答案等腰或直角6.在ABC中，已知下列条件，解三角形：(1)a7，b8，A105；(2)a10，b20，A60；(3)b10，c5，C60.解(1)a7，b8，ab，AB.又A10590，三角形无解.(2)由正弦定理，得sin B1，三角形无解.(3)由正弦定理，得sin B，B45或135.又bc，BC，B45，A180(BC)75，a5(1).7.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c，A45，a2，解这个三角形.解，sin C，C60或C120.当C60时，B75，b1；当C120时，B15，b1.能力提升8.
5、在ABC中，A60，a3，则_.解析利用正弦定理及比例性质，得2.答案29.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若已知acos Absin B，那么sin Acos Acos2B_.解析acos Absin B，sin Acos Asin2B，sin Acos Acos2Bsin2Bcos2B1.答案110.在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcos Cccos B2b，则_.解析因为bcos Cccos B2b，由正弦定理，得sin Bcos Csin Ccos B2sin B，故sin(BC)2sin B.因为ABC，所以sin A2sin B.由正弦定理
6、得a2b，即2.答案211.在ABC中，若sin Asin Bsin Ck(k1)2k，则k的取值范围为_.解析由正弦定理知sin Asin Bsin Cabc，abck(k1)2k.又由三角形两边之和大于第三边可得解得k.答案12.在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判断ABC的形状.解方法一根据正弦定理.sin2Asin2Bsin2C，a2b2c2，A是直角，BC90，2sin Bcos C2sin Bcos(90B)2sin2Bsin A1，sin B.0B90，B45，C45，ABC是等腰直角三角形.方法二根据正弦定理.sin2Asin2
7、Bsin2C，a2b2c2，A是直角.A180(BC)，sin A2sin Bcos C，sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，sin(BC)0.又90BC90，BC0，BC，ABC是等腰直角三角形.13.(选做题)已知在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且方程x2(acos Abcos B)xccos C0的两根之和等于两根之积，试判断ABC的形状.解设方程的两根分别为x1，x2，则x1x2acos Abcos B，x1x2ccos C.由已知条件可知acos Abcos Bccos C.又由正弦定理2R0，a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，代入中得2Rsin Acos A2Rsin Bcos B2Rsin Ccos C，即sin Acos Asin Bcos Bsin Ccos C.由二倍角公式得sin 2Asin 2Bsin 2C，即sin(AB)(AB)sin(AB)(AB)2sin Ccos C，2sin(AB)cos(AB)2sin Ccos C.ABC，ABC，sin(AB)sin C0，cos(AB)cos C，cos(AB)cos(AB)0，2cos Acos B0cos A0或cos B0，即A90或B90，ABC是直角三角形.