1、第三章 概率 章末综合提升 巩 固 层 知 识 整 合 提 升 层 题 型 探 究 用频率估计概率【例 1】为了为奥运会做准备，某射击运动员在相同条件下进行射击训练，结果如下表：射击次数 n102050100200500 击中靶心次数 m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了 300 次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假设该射击运动员射击了 10 次，前 9 次中有 8 次击中靶心，那么第 10 次一定击中靶心吗？解(1)由表可知，击中靶心的频率在 0.9 附近
2、，故击中靶心的概率大约是 0.9.(2)击中靶心的次数大约是 3000.9270(次)(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化最后一次击中靶心的概率仍是 0.9，所以不一定击中靶心概率是一个常数，但除了特殊几类概型，概率并不易知，故可以用频率来估计.跟进训练1对一批 U 盘进行抽检，结果如下表：抽出件数 a50100 200 300 400 500 次品件数 b345589 次品频率ba(1)计算表中次品的频率；(2)从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售 2 000 个 U 盘，至少需进货多少个 U 盘？解(1)
3、表中次品频率从左到右依次为 0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数 a 越来越大时，出现次品的频率在 0.02 附近摆动，所以从这批 U 盘中任意抽取一个是次品的概率约是 0.02.(3)设需要进货 x 个 U 盘，为保证其中有 2 000 个正品 U 盘，则x(10.02)2 000，因为 x 是正整数，所以 x2 041，即至少需进货2 041 个 U 盘互斥事件与对立事件的概率【例 2】某商场有奖销售中，购满 100 元商品得一张奖券，多购多得，每 1 000 张奖券为一个开奖单位设特等奖 1 个，一等奖 10个，二等奖 50 个设 1 张奖券
4、中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取 1 张奖券中奖的概率；(3)抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率解 由题意事件 A、B、C 为互斥事件(1)每 1 000 张奖券中设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50个，P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.(2)设“抽取 1 张奖券中奖”为事件 D，则 P(D)P(A)P(B)P(C)11 000 1100 120 611 000.(3)设“抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 E，则 P(E)1P(A)P(B)111
5、 000 1100 9891 000.求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，若 A 与 B 互为对立事件，则利用公式 PA1PB求解.跟进训练2根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3.(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)求该地 1 位车主甲、乙两种保险都不购买的概率解 记 A 表示事件：该车主购买甲种保险；B 表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种；D 表示事件：该车主甲、乙两
6、种保险都不购买(1)由题意得 P(A)0.5，P(B)0.3，又 CAB，所以 P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8.(2)因为 D 与 C 是对立事件，所以 P(D)1P(C)10.80.2.古典概型 【例 3】从含有两件正品 a1，a2 和一件次品 b 的三件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次(1)求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)如果将“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，则取出的两件产品中恰有一件次品的概率是多少？解(1)每次取一件，取出后不放回，则连续取两次的所有基本事件共有 6 个，分别是(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a
7、1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出的产品，右边的字母表示第 2 次取出的产品可以确定这些基本事件的出现是等可能的用 A 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则 A 包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)因为 A 中的基本事件的个数为 4，所以 P(A)4623.(2)有放回地连续取出两件，则所有的基本事件共有 9 个，分别是(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以确定这些基本事件
8、的出现是等可能的用 B 表示“取出的两件产品中恰有一件次品”，则 B 包含的基本事件是(a1，b)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)因为 B 中的基本事件的个数为 4，所以 P(B)49.古典概型求解需注意的问题解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特点，即有限性和等可能性另外，在求古典概型问题的概率时，往往需要我们将所有基本事件一一列举出来，以便确定基本事件总数及事件所包含的基本事件数这就是我们常说的穷举法在列举时应注意按一定的规律、标准，不重不漏跟进训练3甲、乙二人用 4 张扑克牌(分别是红桃 2、红桃 3、红桃 4、方片 4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上甲先抽，乙后
9、抽，各抽一张，抽到的牌不放回(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；(2)若甲抽到红桃 3，则乙抽出的牌的牌面数字比 3 大的概率是多少？(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；反之，则乙胜你认为此游戏是否公平，说明你的理由解(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情况(方片 4 用 4表示，红桃 2、红桃 3、红桃 4 分别用 2,3,4 表示)为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 12种情况(2)甲抽到 3，乙抽到的牌只能是 2 或
10、4 或 4，因此乙抽到的牌的牌面数字大于 3 的概率为23.(3)甲抽到的牌的牌面数字比乙抽到的牌的牌面数字大的情况有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共 5 种，所以甲胜的概率为 p1 512，乙胜的概率为 p21p1 712.因为 512BC.记事件 A弦长超过圆内接等边三角形的边长，劣弧 CD 的弧长是圆周长的13，所以由几何概型的概率计算公式得 P(A)13.1过半径为 1 的圆内一条直径上的任意一点作垂直于该直径的弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率解 记事件 A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，不妨在过圆内接等边三角形BCD 的顶点 B 的直
11、径 BE 上任取一点作垂直于直径的弦，显然当弦为 CD 时等于边长，弦长大于 CD 的条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF，由几何概型的概率公式得 P(A)1222 12，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是12.2.以半径为 1 的圆内任一点为中点作弦，求弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率解 记事件 A弦长超过圆内接等边三角形的边长，如图所示，作圆内接等边三角形 BCD 的内切圆，当以内切圆(小圆)上任一点为中点作弦时，弦长等于圆(大圆)内接等边三角形 BCD 的边长，所以弦长超过圆(大圆)内接等边三角形的边长时，弦的中点在小圆内，易得小圆半径为12，所以由几何概型的概率公式得 P(A)12212 14，即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是14.几何概型问题的解题方法 1由于基本事件的个数和结果的无限性，其概率就不能应用PAmn求解，因此需转化为几何度量如长度、面积、体积等的比值求解.2在解题时要准确把握，要把实际问题作合理的转化；要注意古典概型和几何概型的区别，正确地选用几何概型的类型解题.Thank you for watching!