1、第 1 页 2020 届高三第六次模拟考试 数学（文科）试题 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 1A ，0，1，2，3，2|20Bx xx，则 AB A.3 B.2，3 C.1，3 D.0，1，2 2.若复数21aii（aR）为纯虚数，则|3|ai A.13 B.13 C.10 D.10 3.设等差数列 na的前 n 项和为nS，若28515aaa，则9S 等于A.18B.36C.45D.604.已知4cos()25，322，则sin2 的值等于A.1225 B.1225 C.2425 D.2425
2、5.若实数 x，y 满足001xyxy，则2zyx的最小值为A.2B.2C.1D.16.新中国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，尤其是党的十八大以来，文化事业发展更加迅速，下图是从2014 年到 2019 年六年间我国公共图书馆业机构数（个）与对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2014年编号为 1，2015 年编号为 2，2019年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作为自变量进行回归分析），得到回归直线 13.7433095.7yx，其相关系数0.9817r，给出下列结论，其中正确的个数是公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强；公共图书馆业机
3、构数平均每年增加 13.743 个；可预测 2020 年公共图书馆业机构数约为 3192 个.A.0 B.1 C.2 D.3第 2 页 7.已知11ln 2x，122xe，3x 满足方程lnxex，则 A.123xxx B.132xxx C.213xxx D.312xxx 8.如图，在棱长为 a 的正方体1111ABCDA BC D中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1/B F面1A BE，则 F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是 A.a B.2a C.2a D.22a 9.已知函数()3sin()f xx（0，22），1(,0)3A为()f x 图象的对称
4、中心，B，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC，则()f x 的单调递增区间是 A.2(23k，42)3k，kZ B.2(23k，42)3k，kZ C.2(43k，44)3k，kZ D.2(43k，44)3k，kZ 10.已知定义在 R 上的偶函数()f x 满足(1)(1)xxff，当0,1x时，()f xx.函数|1|()xxge，(1,3)x，则()f x 与()g x 的图象所有交点的横坐标之和为A.3B.4C.5D.611.一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄 a 元一年定期，若年利率为 r 保持不变，且每年到期时存款（含利息
5、）自动转为新的一年定期，当孩子 18 岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为A.17(1)ar B.18(1)ar C.17(1)(1)arrr D.18(1)(1)arrr 12.已知函数244()()lnxf xkxkx，4,)k ，曲线()yf x上总存在两点11)(,M x y，22)(,N xy，使曲线()yf x在 M，N 两点处的切线互相平行，则12xx的取值范围为A.8(,)5 B.16(,)5 C.8,)5 D.16,)5 第 3 页 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13.已知向量(3,2)a，(,1)bm若(2)/abb，则 m
6、.14.已知数列 na满足11a ，111nnaaa （*nN，2n），则 na的通项公式na .15.如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距30 2 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 45、相距 20 海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB 前往 B 处救援，则cos 的值为 .16.已知直三棱柱111ABCA B C外接球的表面积为52，1AB ，2AC 若 ABC外接圆的圆心在 AC 上，则直三棱柱111ABCA B C的体积为 .三、解答题：17.（本小题满分 12 分）某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试
7、情况，从学校的 2000 名学生中随机抽取 50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于 65 分到 145 分之间（满分 150 分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组65,75)，第二组75,85)，第八组135,145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分（）求第七组的频率；（）用样本数据估计该校的 2000 名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取 2 名，求他们的分差的绝对值小于 10 分的概率 第 4 页 18.（本小题满分 12 分）在 ABC中，角 A、B、C 所对的边
8、分别为 a、b、c，且22sin2 2cos30CC（）求角C 的大小；（）若2ba，ABC的面积为2 sinsin2AB，求sin A 及 c 的值 19.（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 PABCD的底面 ABCD 是矩形，侧面 PAB 是正三角形，2AB，2BC，6PC E、H 分别为 PA、AB 的中点（）求证：PHAC；（）求点 P 到平面 DEH 的距离 第 5 页 20.（本小题满分 12 分）已知点(1,0),(1,0)MN若点(,)P x y 满足|4PMPN.（）求点 P 的轨迹方程；（）过点(3,0)Q 的直线l 与（）中曲线相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求
9、AOB面积的最大值及此时直线l 的方程.21.（本小题满分 12 分）已知函数2()f xlnxmx，21()2g xmxx，mR，()()()F xf xg x（）讨论函数()f x 的单调区间及极值；（）若关于 x 的不等式()1F xmx 恒成立，求整数 m 的最小值 第 6 页 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为cos3sin(sin3cosxy 为参数），坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为cos()26（）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（）直线 l 与 y 轴的交点为 P，经过点 P 的动直线 m 与曲线 C 交于 A、B 两点，证明：|PAPB为定值 23（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数()|1|2|()f xxxmmR（）若2m 时，解不等式()3f x；（）若关于 x 的不等式()|23|f xx 在0 x，1上有解，求实数 m 的取值范围