1、第三章 概率 3.3 几何概型 3.3.1 几何概型 3.3.2 均匀随机数的产生 学 习 目 标核 心 素 养 1通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义(重点)2会求一些简单的几何概型的概率(重点、难点)3会用随机模拟的方法近似计算事件的概率(重点)1通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养2借助面积、体积等问题，养成直观想象素养.自 主 预 习 探 新 知 1几何概型的概念(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型(2)几何概型的特点试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 每个基本事件出现的可能性 构成该事件区域的长
2、度(面积或体积)无限多个相等2几何概型的概率公式：P(A)_构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积3均匀随机数(1)均匀随机数的概念在随机试验中，如果可能出现的结果有 ，并且这些结果都是 发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数等可能无限多个(2)均匀随机数的产生计算器上产生0,1的均匀随机数的函数是函数Excel 软件产生0,1区间上均匀随机数的函数为“”(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果计算机模拟的方法：用 Excel 软件产生0,1区间上均匀随机数进行模拟(注
3、意操作步骤)rand()RAND(4)a，b上均匀随机数的产生利用计算器或计算机产生0,1上的均匀随机数 xRAND，然后利用伸缩和平移交换，x_就可以得到a，b内的均匀随机数，试验的结果是a，b上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的x1*(b-a)+a1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10,10上任取一个数，求取到的数在0,1内的概率；从区间10,10上任取一个数，求取到绝对值不大于 1 的数的概率；从区间10,10上任取一个整数，求取到大于 1 而小于 3 的数的概率；向一个边长为 4 cm 的正方形内投一点，求点离中心不超过 1 cm 的概率A1B2 C3D4C 中
4、的概率模型是几何概型，因为区间10,10上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；中的概率模型不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有21 个，是有限的；中的概率模型是几何概型，因为在边长为 4 cm 的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同2在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为()A.45B.35C.25D.15B 区间2,3的区间长度为 5，在上面随机取一数 X，使 X1，即2X1.其区间长度为 3，所以概率为35.3.如图，一颗豆子随机扔到桌面上，则它落在非阴影区域的概率为()A.19B.16C.23D.13C 试验发生的范围是整个桌面，非阴影部分
5、面积占桌面的23，而豆子落在任一点是等可能的，所以豆子落在非阴影区域的概率为23.4如图 AB 是圆 O 的直径，OCAB，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为_1 设圆的半径为 R，则圆的面积为 SR2，阴影的面积 S 阴122RRR2，故所求概率 PS阴S R2R21.合 作 探 究 释 疑 难 与长度、角度有关的几何概型探究问题1几何概型与古典概型的区别是什么？提示 几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的2解决几何概型问题概率的关键是什么？提示 确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关3“P(A)0A 是不可能事件”，“P(A)1A 是必然
6、事件”，这两种说法是否成立？提示(1)无论是古典概型还是几何概型，若 A 是不可能事件，则 P(A)0 肯定成立；若 A 是必然事件，则 P(A)1 肯定成立(2)在古典概型中，若事件 A 的概率 P(A)0，则 A 为不可能事件；若事件 A 的概率 P(A)1，则 A 为必然事件(3)在几何概型中，若事件 A 的概率 P(A)0，则 A 不一定是不可能事件，如：事件 A 对应数轴上的一个点，则其长度为 0，该点出现的概率为 0，但 A 并不是不可能事件；同样地，若事件 A 的概率 P(A)1，则 A 也不一定是必然事件【例 1】在等腰直角三角形 ABC 中，在斜边 AB 上任取一点 M，求
7、AM 小于 AC 的概率思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？解 点 M 随机地落在线段 AB 上，故线段AB 的长度为试验的全部结果所构成的区域长度在 AB 上截取 ACAC，当点 M 位于图中的线段 AC上(不包括点 C)时，AMAC，故线段 AC即为构成事件 A 的区域长度 于是 P(AMAC)P(AMAC，故线段 CB 即为构成事件的区域长度 P(AMAC)P(AMAC)CBAB1 22.求解与长度有关的几何概型的关键点 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域 D，这时区域 D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件 A 发生对应的区域 d，在找
8、 d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到不会影响事件 A 的概率.与面积、体积有关的几何概型【例 2】(1)如图所示，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边 BC，直角边 AB，AC.ABC 的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为 p1，p2，p3，则()Ap1p2 Bp1p3Cp2p3Dp1p2p3(2)在一个球内有一棱长为 1 的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A.6 B.32 C.3 D.2 33思路点拨：(1)根
9、据几何图形特征分别计算区域、的面积应用面积型几何概型定义判断(2)所求概率涉及到体积问题应用与体积有关的几何概型公式求解(1)A(2)D(1)法一：设直角三角形 ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则区域的面积即ABC 的面积，为 S112bc，区域的面积 S212c2212b22a22212bc 18(c2b2a2)12bc12bc，所以 S1S2，由几何概型的知识知 p1p2，故选 A.法二：不妨设ABC 为等腰直角三角形，ABAC2，则 BC2 2，所以区域的面积即ABC 的面积，为 S112222，区域的面积 S3 22222，区域的面积 S212(2)2.根据几何
10、概型的概率计算公式，得 p1p2 22，p322，所以 p1p3，p2p3，p1p2p3，故选 A.(2)由题意可知这是一个几何概型问题，棱长为 1 的正方体的体积 V11，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径 R 32，球的体积 V243323 32，则此点落在正方体内部的概率 PV1V22 33.解与面积体积相关的几何概型问题的三个关键点 1根据题意确认是否是与面积体积有关的几何概型问题；2找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积体积；3套用公式，从而求得随机事件的概率.跟进训练1(1)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中，其中AB2，BC1，则
11、质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是()A.2 B.4 C.6 D.8(2)有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_(1)B(2)23(1)设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A，则P(A)阴影面积长方形面积1212124.(2)先求点 P 到点 O 的距离小于 1 或等于 1 的概率，圆柱的体积V 圆柱1222，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积 V 半球12431323.则点 P 到点 O 的距离小于 1 或等于 1 的概率为：23213，故点 P 到点
12、O 的距离大于 1 的概率为：11323.均匀随机数与随机模拟方法 【例 3】利用随机模拟方法计算由 y1 和 yx2 所围成的图形的面积解 以直线 x1，x1，y0，y1 为边界作矩形，(1)利用计算器或计算机产生两组 01 区间的均匀随机数，a1RAND，bRAND；(2)进行平移和伸缩变换，a2(a10.5)；(3)数出落在阴影内的样本点数 N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积 例如做 1 000 次试验，即 N1 000，模拟得到 N1698，所以 PN1N 阴影面积矩形面积 6981 000，即阴影面积 S矩形面积 6981 0002 6981 0001.396.用随机模拟方法估计
13、几何概型的步骤 确定需要产生随机数的组数，如长度、角度型只用一组，面积型需要两组；由基本事件空间对应的区域确定产生随机数的范围；由事件 A 发生的条件确定随机数应满足的关系式；统计事件 A对应的随机数并计算 A 的频率来估计 A 的概率.跟进训练2现向图中所示正方形内随机地投掷飞镖，试用随机模拟的方法求飞镖落在阴影部分的概率解(1)利用计算器或计算机产生两组 0 至 1 区间内的均匀随机数 a1，b1(共 N 组)；(2)经过平移和伸缩变换，a2(a10.5)，b2(b10.5)；(3)数出满足不等式 b4 的数组数 N1.所求概率PN1N.可以发现，试验次数越多，概率 P 越接近 25144
14、.课 堂 小 结 提 素 养 1几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型2几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题3注意理解几何概型与古典概型的区别4理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P(A)构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)几何概型的基本事件有无数多个()(2)几何概型的概率与构成事件的区域形状无关()(3)随机数只能用计算器或计算机产生()(4)x 是0,1上的均匀随机数，则利用变量代换 y(ba)xa 可得a，b上的均匀随机数()答
15、案(1)(2)(3)(4)2已知地铁列车每 10 min 一班，在车站停 1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是()A.110 B.19C.111D.18A 试验所有结果构成的区域长度为 10 min，而构成事件 A 的区域长度为 1 min，故 P(A)110.3.如图，在平面直角坐标系内，射线 OT 落在60角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在xOT 内的概率为_16 记“射线 OA 落在xOT 内”为事件 A.构成事件 A 的区域最大角度是 60，所有基本事件对应的区域最大角度是 360，所以由几何概型的概率公式得 P(A)6036016.4在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 M，并以线段 AM 为边长作一个正方形，求作出的正方形面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间的概率解 如图所示，点 M 落在线段 AB 上的任一点上是等可能的，并且这样的点有无限多个 设事件 A 为“所作正方形面积介于 36 cm2 与 81 cm2 之间”，它等价于“所作正方形边长介于 6 cm 与 9 cm 之间”取 AC6 cm，CD3 cm，则当 M 点落在线段 CD 上时，事件 A发生，所以 P(A)|CD|AB|31214.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
