1、31函数与方程31.1方程的根与函数的零点1理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系(易混点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数(难点)基础初探教材整理1函数的零点阅读教材P86P87“探究”以上部分，完成下列问题1二次函数yax2bxc(a0)的图象与根的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点2.函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点3方程、函数、函数图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)
2、函数f(x)3x2的零点是.()(2)函数yf(x)零点的个数与方程f(x)0根的个数相等()(3)函数y2x1，x2,3的零点为0.()【解析】(1).函数的零点是使f(x)0的实数x，而不是点；(2).由函数零点与方程根的关系可知(2)正确；(3).因为02,3，所以(3)错【答案】(1)(2)(3)教材整理2函数零点存在性定理阅读教材P87“探究”P88“例1”以上部分，完成下列问题如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，方程x27x120有两个不相等的实数根3,4.函数f(x)有两个零点(2)法一令f(x)0，即x20.x0，x310.(x
3、1)(x2x1)0.x1或x2x10.方程x2x10的根的判别式12430，方程x2x10无实数根函数f(x)只有一个零点法二由x20，得x2.令h(x)x2(x0)，g(x).在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示可知两函数图象只有一个交点，故函数f(x)x2只有一个零点判断函数存在零点的3种方法1方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数2图象法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数3定理法：函数yf(x)
4、的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由f(a)f(b)0，fe220，所以f(1)f0，由零点的存在性定理可知函数f(x)ex的零点所在的区间是，故选B.法二令f(x)ex0可得ex，在同一坐标系内画出函数g(x)ex和h(x)的图象，如图所示，由图得一个交点，因为gh(1)1，所以两函数图象交点的横坐标在内，即函数f(x)ex的零点所在的区间是，故选B.【答案】B确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反再练一题3函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间() 【导学号：97030129】A
5、(5,6) B(3,4)C(2,3) D(1,2)【解析】f(3)log3382310，f(4)log34824log340，f(3)f(4)0.又函数f(x)log3x82x为连续函数，故函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间(3,4)故选B.【答案】B探究共研型函数零点的应用探究1设F(x)f(x)g(x)，则F(x)的零点与函数yf(x)与yg(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数yf(x)与yg(x)的图象的交点的横坐标探究2若函数f(x)x22xa有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】法一：若函数f(x)x22xa有零点，则方程x22xa0有根故(2)24a0，故a
6、1.法二：由f(x)0有解可知ax22x(x1)211，即a的范围为a1法三：在同一坐标系中分别画出ya及yx22x的图象，数形结合得a的范围为a1.(2015湖南高考)若函数f(x)|2x2|b有两个零点，则实数b的取值范围是_【精彩点拨】把问题转化为y|2x2|与yb图象的交点个数问题【自主解答】由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b Ba或a1C1a Da1【解析】要使函数f(x)在区间(1,1)上存在一个零点，则有f(1)f(1)0，即(a1)(5a1)0，即或解得a，或a1.【答案】B1函数f(x)4x2x2
7、的零点是() A(1,0) B1 C. D1【解析】由f(x)4x2x2(2x2)(2x1)0，得2x2，解得x1.【答案】B2函数f(x)ex2x3的零点所在的一个区间是()A. B.C. D.【解析】因为fe20，f(1)e10，所以零点在区间上，故选C.【答案】C3已知0a1，则方程ax|logax|0的实根个数为() 【导学号：97030130】A1个 B2个 C3个 D4个【解析】由ax|logax|0，得ax|logax|，0a1，作出两个函数yax与y|logax|的图象，如图由图象知，两个图象的交点个数为2个，即方程ax|logax|0的实根个数为2个，故选B.【答案】B4若f(x)xb的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为_【解析】f(x)xb是增函数，又f(x)xb的零点在区间(0,1)内，1b0.【答案】(1,0)5已知函数f(x)x2x2a.(1)若a1，求函数f(x)的零点(2)若f(x)有零点，求实数a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)x2x2.令f(x)x2x20，得x1或x2.即函数f(x)的零点为1与2.(2)要使f(x)有零点，则18a0，解得a.所以a的取值范围是a.