1、2.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.体会等差数列前n项和公式的推导过程(难点)；2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外两个(重点).预习教材P1517，完成下列问题：知识点一等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数选用公式SnSnna1【预习评价】(1)Sn123n_.(2)已知等差数列an的首项a11，公差d2，则前n项和S10()A.20 B.40 C.60 D.80答案(1)(2)D知识点二等差数列前n项和性质(1)等差数列an中，其前n项和为Sn，则an中连续的n项之和构成的数列Sn，S2nSn，S3nS2n，也为等
2、差数列，其公差为n2d的等差数列.(2)等差数列an中，其前n项和为Sn，则S2n1(2n1)an.(3)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，则.【预习评价】(1)在等差数列an中，已知a1310，则S25()A.230 B.240 C.250 D.260(2)在等差数列an中，已知S22，S48，则S6_.答案(1)C(2)18题型一等差数列的基本运算【例1】在等差数列an中，(1)a1105，an994，d7，求Sn；(2)a15，d3，求S20；(3)d，n37，Sn629，求a1及an.解(1)由ana1(n1)d，且a1105，d7，即994105(n1)7，解得n12
3、8.Sn70 336.(2)由Snna1d，得S202053670.(3)由Snna1d，得37a1629，得a111，又Sn629，得an23.规律方法等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq，常与求和公式Sn结合使用.【训练1】在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17
4、.解(1)解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)S17340.题型二由数列的前n项和求an【例2】已知数列an的前n项和Sn2n2n2.(1)求an的通项公式；(2)判断an是否为等差数列？解(1)因为Sn2n2n2，所以当n2时，Sn12(n1)2(n1)22n25n1，所以anSnSn1(2n2n2)(2n25n1)4n3.又a1S11，不满足an4n3，所以数列an的通项公式是an(2)由(1)知，当n2时，an1an4(n1)3(4n3)4，但a2a15164，所以an不满足等差数列的定义，an不是等差数列.规律方法已知数列an的前n项
5、和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.(3)如果a1也满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；如果a1不满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an【训练2】已知数列an的前n项和Sn2n23n.求an的通项公式.解因为Sn2n23n，所以当n2时，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，anSnSn14n5，又当n1时，a1S11，满足an4n5，所以an4n5.方向1利用S2n1(2n1)an解题【例31】(1)在等差数列an中，求的值；
6、(2)在等差数列an，bn中，Sn，Tn分别是an，bn的前n项和，且，求.解(1)an为等差数列，S55a3，S99a5，1.(2)a5是数列an中前9项的等差中项，S99a5，同理T99b5，.方向2利用S奇与S偶的关系解题【例32】一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差及项数.解由题意知把d，k4代入S奇(a1a2k1)24，可得a1.首项，公差，项数为8.方向3利用等差数列的和生成等差数列解题【例33】在等差数列an中，S10100，S10010，求S110.解数列an为等差数列，S10，S20S10，S30
7、S20，S110S100也成等差数列.设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10(S20S10)(S30S20)(S100S90)S100，即10S10dS10010.又S10100，代入上式，得d22，S110S100S10(111)d10010(22)120，S110120S100110.规律方法巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.若an为等差数列，前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n，构成公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.Sn.(3)项的个数的“奇偶”性质.an为等差数列，公差为d.若共有2n项，则S2nn(anan1)；S偶S奇nd
8、；.若共有2n1项，则S2n1(2n1)an1；S偶S奇an1；.(4)等差数列an中，若Snm，Smn(mn)，则Smn(mn).(5)等差数列an中，若SnSm(mn)，则Smn0.课堂达标1.若等差数列an的前5项和S525，且a23，则a7等于()A.12 B.13C.14 D.15解析法一由解得所以a7a16d13.故选B.法二由S55a325，得a35，所以da3a22，所以a7a25d13.故选B.答案B2.若两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，则等于()A.7 B.C. D.解析因为a5，b5，所以.故选D.答案D3.设Sn是等差数列an的前n项和，a12，
9、a53a3，则S9等于_.解析由a12，a53a3得a14d3(a12d)，即da12，所以S99a1d929854.答案544.若数列an的前n项和Snn210n(n1，2，3，)，则a10_.解析a10S10S9(102102)(92109)9.答案95.在等差数列an中，a610，S55，求a8和S8.解法一设数列an的首项a1，公差d，由已知，得得a8a17d57316.S8(a1a8)(516)44.法二由已知，得S6S5a651015，S615，a15，2d3，a8a17d57316，S844.课堂小结1.求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法.2.等差数列的两个求和公式中，一
10、共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量.在求等差数列的和时，一般地，若已知首项a1及末项an，用公式Sn较好，若已知首项a1及公差d，用公式Snna1d较好.3.数列an的前n项和为Sn，则an基础过关1.等差数列an的前n项和为Sn，且S36，a34，则公差d等于()A.1 B. C.2 D.3解析设an首项为a1，公差为d，则S33a1d3a13d6，a3a12d4，a10，d2.答案C2.已知等差数列an的前n项和Snn2n，则过P(1，a1)，Q(2，a2)两点的直线的斜率是()A.1 B.2 C.3 D.4解析Snn2n，a1S12，a2S2S162
11、4.过P、Q两点直线的斜率k2.答案B3.记等差数列an的前n项和为Sn，若a1，S420，则S6()A.16 B.24 C.36 D.48解析S426d20，d3.故S6315d48.答案D4.等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35，则a4_.解析由题意知6515a145d15(a13d)15a45，故a4.答案5.在等差数列an中，aa2a3a89，且an0，则S10_.解析由aa2a3a89得(a3a8)29，an0，a3a83，S1015.答案156.已知等差数列an的前n项和记为Sn，a515，a1025.(1)求通项an；(2)若Sn112，求n.解(1)设等差数列an的首
12、项为a1，公差为d，a515，a14d15a1025，a19d25，解组成的方程组得：a17，d2.an7(n1)22n5.(2)Sn112，7nn(n1)2112.即n26n1120，解之得n14(舍去)或n8，故n8.7.等差数列an的前n项和为Sn，若S1284，S20460，求S28.解法一设an的公差为d，则Snna1d.由已知条件，得整理得解得Sn15n42n217n，S28228217281 092.法二设Snan2bn.S1284，S20460，整理得解得Sn2n217n，S281 092.法三an为等差数列，是等差数列.12，20，28成等差数列，成等差数列，2，解得S281
13、 092.能力提升8.设Sn是等差数列an的前n项和，若，则等于()A.1 B.1 C.2 D.解析1.答案A9.等差数列an的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为()A.5 B.6 C.7 D.8解析由题意知a1a2a3a4124，anan1an2an3156，4(a1an)280，a1an70.又S70210，n6.答案B10.一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为3227，则公差d_.解析S12354，S奇354162，S偶354192，S偶S奇306d，d5.答案511.等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a
14、11，aka40，则k_.解析法一S9S4，即，所以9a52(a1a4)，即9(14d)2(23d)，所以d，由1(k1)130，得k10.法二S9S4，所以a5a6a7a8a90，所以a70，从而a4a102a70，所以k10.答案1012.设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1n(n1)d.由S77，S1575，得即解得a1(n1)d2(n1)，数列是首项为2，公差为的等差数列.根据题意得Tn2nn(n1)n2n.即Tnn2n.13.(选做题)在数列an中，a11，an(n2)，求数列an的通项公式.解anSnSn1，SnSn1，即(SnSn1)(2Sn1)2S，即Sn1Sn2SnSn1，即2，为等差数列，且1，12(n1)，即Sn.anSnSn1(n2)，又a11，an