1、课时跟踪检测（十六） 点到直线的距离A级基础巩固1点P(1，1)到直线l：3y2的距离是()A3 BC1 D解析：选B点P(1，1)到直线l的距离d，故选B.2已知点M(1，4)到直线l：mxy10的距离为3，则实数m()A0 BC3 D0或解析：选D点M到直线l的距离d，所以3，解得m0或m，故选D.3(多选)与两平行直线l1：3x4y50和l2：3x4y70距离之比为12的直线方程为()A3x4y10 B3x4y30C3x4y170 D3x4y190解析：选AC设所求直线方程为3x4yC0(C5且C7).由题意可得12.|C7|2|C5|.C1或17.所求的直线方程为3x4y10或3x4y
2、170.4已知点A(1，3)，B(3，1)，C(1，0)，则ABC的面积等于()A3 B4C5 D6解析：选C设AB边上的高为h，则SABC|AB|h.|AB| 2，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离AB边所在的直线方程为，即xy40.点C到直线xy40的距离为，因此，SABC25.5已知两平行直线l1，l2分别过点P(1，3)，Q(2，1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是()A(0，) B0，5C(0，5 D0，解析：选C当直线l1，l2与直线PQ垂直时，它们之间的距离d达到最大，此时d5，0d5.6已知A(2，4)，B(1，5)两点到直线l：a
3、xy10的距离相等，则实数a的值为_解析：由题意得，解得a3或3.答案：3或37已知直线3xy30和6xmy10互相平行，则m_，它们之间的距离是_解析：3xy30和6xmy10互相平行，m2.直线6x2y10可以化为3xy0，由两条平行直线间的距离公式，得d.答案：28若两平行直线3x2y10，6xayc0之间的距离为，则的值为_解析：由题意知，a4，c2，则6xayc0可化为3x2y0，于是，解得c2或6，1.答案：19求过点P(0，2)且与点A(1，1)，B(3，1)等距离的直线l的方程解：法一：点A(1，1)与B(3，1)到y轴的距离不相等，直线l的斜率存在，设为k.又直线l在y轴上的
4、截距为2，则直线l的方程为ykx2，即kxy20.由点A(1，1)与B(3，1)到直线l的距离相等，得，解得k0或k1.直线l的方程是y2或xy20.法二：当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等AB的中点是(1，1)，又直线l过点P(0，2)，直线l的方程是xy20；当直线lAB时，直线l与点A，B的距离相等直线AB的斜率为0，直线l的斜率为0，直线l的方程为y2.综上所述，满足条件的直线l的方程是xy20或y2.10已知直线l过点P(0，1)，且分别与直线l1：2xy80和l2：x3y100交于B，A两点，线段AB恰被点P平分(1)求直线l的方程；(2)设点D(0，m)，且A
5、Dl1，求ABD的面积解：(1)点B在直线l1上，可设B(a，82a).又P(0，1)是AB的中点，A(a，2a6).点A在直线l2上，a3(2a6)100，解得a4，即B(4，0).故直线l的方程是x4y40.(2)由(1)，知A(4，2).又ADl1，kAD2，m6.点A到直线l1的距离d，|AD| 4，SABD|AD|d428.B级综合运用11(2021海南华侨中学高一月考)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐
6、标系中，设军营所在位置为B(2，0)，若将军从山脚下的点A(2，0)处出发，河岸线所在直线方程为xy3，则“将军饮马”的最短总路程为()A4 B5C D3解析：选C根据题意，作图如下：因为点A(2，0)，设其关于直线xy3的对称点为A1(x0，y0)，故可得解得x03，y01，即A1(3，1)，故“将军饮马”的最短总路程为|A1B|.故选C.12(多选)如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若p，q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对(p，q)是点M的“距离坐标”则下列四个命题中正确的为()A若pq0，则“距离坐标”为(0，0)的点有且仅有1个B若pq0
7、，且pq0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有2个C若pq0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个D若pq，则点M在一条过点O的直线上解析：选ABCA项，若pq0，则“距离坐标”为(0，0)的点是两条直线的交点O，因此有且仅有1个，故正确B项，若pq0，且pq0，则“距离坐标”为(0，q)或(p，0)的点有且仅有2个，故正确C项，若pq0，则“距离坐标”为(p，q)的点有且仅有4个，如图，故正确D项，若pq，则点M的轨迹是两条过点O的直线，分别为交角的平分线所在直线，故不正确故选A、B、C.13点(5，2)到直线(m1)x(2m1)ym5的距离的最大值为_解析：直线(m1)x(2m1
8、)ym5，即m(x2y1)xy50.联立解得直线(m1)x(2m1)ym5过定点(9，4)，点(5，2)到直线(m1)x(2m1)ym5的距离的最大值为 2.答案：214在直线l：xy10上求两点P，Q，使得：(1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大；(2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小解：(1)如图，设点B关于l的对称点B的坐标为(a，b)，连接BB，则kBBkl1，即11，ab40.BB的中点在直线l上，10，即ab60.由得点B的坐标为(5，1).于是AB所在直线的方程为，即2xy90.易知|PB|PA|PB|PA|，且当P，B，A三点共线时|PB|PA|最大联立
9、直线l与AB的方程，解得x，y，即l与AB的交点坐标为.故点P的坐标为.(2)如图，设点C关于l的对称点为C，可求得C的坐标为(1，2)，AC所在直线的方程为x3y70.易知|QA|QC|QA|QC|，且当Q，A，C三点共线时，|QA|QC|最小联立直线AC与l的方程，解得x，y，即AC与l的交点坐标为.故点Q的坐标为.C级拓展探究15已知三条直线：l1：2xya0(a0)，l2：4x2y10，l3：xy10，且l1与l2之间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：P是第一象限的点；P点到l1的距离是P点到l2的距离的；P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是 .若能，求P点坐标；若不能，请说明理由解：(1)l2可化为2xy0，l1与l2的距离d，.a0，a3.(2)设点P(x0，y0)，若点P满足条件，则点P在与l1，l2平行的直线l：2xyC0上 ，且，即C或C.2x0y00或2x0y00.若点P满足条件，由点到直线的距离公式有，即|2x0y03|x0y01|.x02y040或3x020.点P在第一象限，3x020不合题意，舍去由解得不合题意，舍去由解得即点P同时满足三个条件
