1、甘谷一中20192020学年第二学期高一第一次月考数学试题一、选择题（每小题5分，本大题共60分，每小题所给四个选项中，只有一个是正确选项）1.已知全集，集合，则的非空真子集有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】【分析】由题意先计算出，再计算其补集，再写出的非空真子集即可得到答案.【详解】由题意，所以，全集，所以，的非空真子集有，共2个.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本关系和基本运算，属于基础题.2.已知，则的值是（ ）A. B. C. D. 8【答案】A【解析】【分析】由题意先求出，从而，由此可计算得到答案.【详解】由题意，所以，所以.故选：A【点睛】本题主
2、要考查函数值的求法，属于基础题.3.设，则这四个数大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，所以，故选B4.已知直线与直线平行，则 的值为( )A. B. C. 1D. 【答案】D【解析】由题意可得：，解得故选5.与终边相同的角是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据与终边相同的角可以表示为这一方法，即可得出结论【详解】与角终边相同的角为：， 当时， 故选C【点睛】本题考查终边相同的角的表示方法，考查了数学运算能力.当然本题也可以采用这样的方法来解：让与选项中的四个角作差，如果差是的整数倍，就说明这两个角的终边相同.6.若扇形的中心角为120，半径为，则此
3、扇形的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出扇形的弧长，再由扇形面积公式求解即可.【详解】由题意，扇形的中心角为，半径为，所以弧长，所以扇形面积.故选：D【点睛】本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，属于基础题.7.函数的一个零点所在的大致区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，再利用零点存在定理，只要找到区间端点函数值异号即可.【详解】因为在单调递增，又，所以一个零点所在的大致区间是.故选：B【点睛】本题考查零点存在定理运用，考查数形结合思想的运用，求解时注意找到两个端点的函数值相乘小于0即可.8.已知函数，若，则此函数的
4、单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先令，求出函数的定义域，再由得到，再根据复合函数的单调性即可求出函数的单调递增区间.【详解】由题意，令，解得，或，故函数的定义域为，得，令，则，根据复合函数的单调性，即求在定义域内的增区间，由二次函数的性质，的增区间为，所以函数的单调递增区间为.故选：D【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数和二次函数的性质，注意求解函数的定义域，属于中档题.9.已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）A. B. C. D. 都不对【答案】B【解析】【分析】根据长方体的对角线长等于
5、其外接球的直径，求得，再由球的表面积公式，即可求解【详解】设球的半径为，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得，解得，所以球的表面积为.故选B【点睛】本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题10.设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】利用可能平行判断，利用线面平行的性质判断，利用或与异面判断，与可能平行、相交、异面，判断.【详解】，则可能平行，错；，由线面平行的
6、性质可得，正确；，则， 与异面；错，与可能平行、相交、异面，错，.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.11.在长方体中，则二面角的大小是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】A【解析】【分析】取中点为，平面，所以即在平面上的投影，易知，再利用线面垂直证明，得到即二面角，再计算二面
7、角大小即可.【详解】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、，因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，所以，.故选：A【点睛】本题主要考查二面角的求法和线面垂直的判定定理和性质，考查学生空间想象能力，属于中档题.12.已知点为圆的弦的中点，则直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】圆心，整理得二、填空题（每小题5分，本大题共20分，将正确答案写在相应横线上）13.在中，则的值是_.【答案】.【解析】【分析】两边平方，解得，再利用同角三角函数关系求解正切值.【详解】因为，两边平方后故可得
8、：0，因为，故可得，则角为钝角.因为因为，故则，联立可得故可解的.故答案为：.【点睛】本题考查与之间的关系，本题的难点在于，对公式的熟练应用.14.圆心在x轴上，且过两点，的圆的方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意，圆心在轴上，设圆心坐标，半径，写出圆的方程，再把点和点的坐标代入，求出和，即可得到圆的方程.【详解】根据题意，圆心在轴上，设圆心坐标，半径，则圆的方程为：，又圆经过点和点，所以，解得，所以圆的方程为：.故答案为：【点睛】本题主要考查利用待定系数法求圆的标准方程，考查学生计算能力，属于基础题.15.已知直线l经过点，并且与点和点的距离相等，则直线l的方程为_【答案】或【解析】【分
9、析】当经过点的直线斜率不存在时，直线：，易知成立；当斜率存在时，设直线方程，由点到直线的距离公式求解即可.【详解】当经过点的直线斜率不存在时，直线：，此时点和点到直线距离都为1，故成立；当经过点直线斜率存在时，设直线：，整理成一般式为：，直线l与点和点的距离相等，由点到直线距离公式：，解得，所以直线：.综上：直线的方程为或.故答案为：或【点睛】本题主要考查直线方程和点到直线距离公式的应用，考查学生分类讨论的思想和计算能力，属于中档题.16.下列各式：（1）；（2）已知，则.（3）函数的图象与函数的图象关于原点对称；（4）函数=的定义域是，则的取值范围是；（5）函数的递增区间为.正确的有_（把你
10、认为正确的序号全部写上）【答案】（3）【解析】（1），所以错误；（2），当时，恒成立；当时，综上，或，所以错误；（3）函数上任取一点，则点落在函数上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为，当时，成立；当时，得，综上，所以错误；（5）定义域为，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为，所以错误；所以正确的有（3）三、解答题（本大题共70分，要求写出关键步骤和计算结果）17.已知角的终边经过点，且（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）角的终边经过点，所以可以得到，而，所以可以求出的值；（2）由（1）可以求出的值，然后把写成分母为1的形式，再用进行代换，最后
11、分子、分母同除以，求出代数式的值.【详解】（1）因为已知角的终边经过点，且，所以有，求得；（2）由（1）可得，原式=【点睛】本题考查了余弦函数的定义、同角三角函数关系中的正弦、余弦平方和为1的关系和商关系，考查了数学运算能力.18.（1）化简：.（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简表达式.（2）利用诱导公式化简已知条件，求得的值，根据同角三角函数的基本关系式求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】（1）原式（2）由，所以，【点睛】本小题主要考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化简求值，属于基础题.19
12、.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式；（2）在上图直角坐标系中画出的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结果）.的单调增区间；若方程有三个不等实根，实数的取值范围【答案】（1）当时，；（2）的单调增区间；的取值范围.【解析】【分析】（1）当时，即可得解；（2）根据二次函数作图方式作图，结合图象可得单调增区间和实数的取值范围【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，当时，所以当时，；（2）如图所示： 的单调增区间；若方程有三个不等实根，实数的取值范围.【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式，作函数图象并根据图象得单调区间，根据根的个数求参数取值范围.2
13、0.设函数，且（1）求值；（2）令，将表示成以t为自变量的函数；并由此，求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值【答案】（1）6；（2）；，此时；，此时【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则直接求解即可；（2），由求出；根据对数的运算法则将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质求得最值，再根据对数运算求出相应的即可.【详解】（1）；（2）令，又，即由令，当时，即，则，此时；当时，即，此时【点睛】本题主要考查对数的运算法则、函数求值和二次函数的性质，考查学生转化和计算能力，属于中档题.21.已知的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC边上的高BH所在直线方程为求：顶点C的坐标；直线BC
14、的方程【答案】(1)；(2)【解析】【分析】先求直线AC的方程，然后求出C的坐标；设出B的坐标，求出M代入直线方程为，与直线为联立求出B的坐标然后可得直线BC的方程【详解】由及AC边上的高BH所在的直线方程得AC所在直线方程又AB边上的中线CM所在直线方程为由得设，又是AB的中点，则由已知得得又得直线BC的方程为【点睛】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题22.如图所示，在正三棱柱中，D点为棱AB的中点（1）求证：平面（2）求与平面所成角的正切值【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，利用三角形中位线证明，再由线面平行判定定理证明线面平行即可；（2）先证明平面平面，过作，则即与平面所成的角，再计算二面角的正切值即可.【详解】（1）证明：连接交于点，连接，又是的中点，所以，又平面，平面，平面（2）由题意，平面，平面，所以，又是的中点，所以，且，所以平面，又平面，所以平面平面，平面平面，过作，则平面所以即与平面所成的角，由，得即与平面所成角的正切值为【点睛】本题主要考查空间线线、线面、面面的关系，考查线面平行，线面垂直已经线面角的求法，考查学生空间想象能力，属于中档题.