1、高考热点追踪(五)圆锥曲线交汇大观交融性试题是高考数学试题中“抢眼”的一种题型，它多姿多彩的格调、清新优美的风采，构成了高考试题中一道亮丽的风景 圆锥曲线是中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系多项内容的媒介，下面例析圆锥曲线与其他知识的交汇一、圆锥曲线与导数交汇 (2019扬州期末)已知抛物线C1：yx22x和C2：yx2a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段(1)a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；(2)若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分【解】(1)函数yx22x的导数y2x
2、2，曲线C1在点P(x1，x2x1)的切线方程是：y(x2x1)(2x12)(xx1)，即y(2x12)xx，函数yx2a的导数y2x, 曲线C2在点Q(x2，xa)的切线方程是y(xa)2x2(xx2)，即y2x2xxa，如果直线l是过P和Q的公切线，则式和式都是l的方程，所以，消去x2得方程2x2x11a0，若判别式442(1a)0时，即a时解得x1，此时点P与Q重合即当a时C1和C2有且仅有一条公切线，由得公切线方程为yx(2)证明：由(1)可知当ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e，右准线为l，M，N是l上的两个动点，0(1)若|2，求a，b的值；(2)证明：当MN取最小值时
3、，与共线【解】由a2b2c2与e，得a22b2，a22c2，F1，F2，l的方程为xa，设M(a，y1)，N(a，y2)，则，由0得y1y2a2r时，直线与圆相离，当dr时，直线与圆相切，当d0)内不同于圆心的一点，试判断直线x0xy0ya2与该圆的位置关系【解】因为点M(x0，y0)是圆x2y2a2(a0)内不为圆心的一点，所以0xya，所以该直线与圆相离名师点评 通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系是判断直线与圆位置关系最常用的方法，同学们要切实掌握二、代数法直线l与圆C的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程
4、组有两组不同的解，则直线与圆相交 求直线4x3y40和圆x2y2100的公共点坐标，并判断它们的位置关系【解】直线4x3y40和圆x2y2100的公共点坐标就是方程组的解解这个方程组，得或所以公共点坐标为(10，0)，直线4x3y40和圆x2y2100有两个公共点，所以直线和圆相交名师点评判断直线与圆的位置关系，一般不用解方程组的方法，但要理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系三、特殊点法 (2019南通市模拟)对于任意实数k，判断直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20的位置关系【解】直线(3k2)xky20可化为k(3xy)2(x1)0
5、，所以直线(3k2)xky20恒过定点(1，3)，而(1，3)在圆上，故直线(3k2)xky20与圆x2y22x2y20相交或相切名师点评若能知道直线过一个定点，通过定点与圆的位置关系进而确定直线与圆的位置关系，这种方法避免了运算，具有一定的灵巧性四、数形结合法 若直线yxb与x恰有一个公共点，求实数b的取值范围【解】由题意x可化为x2y24(x0)，表示一个右半圆，如图所示直线l1的方程为：yx2，直线l2的方程为：yx2，因为直线l3与半圆相切，所以2，解得|b|2，所以直线l3的方程为：yx2，由图可知位于l1和l2之间的直线都与半圆只有一个交点，且l3与半圆相切，所以实数b的取值范围为
6、20，b0)的渐近线为l1，l2，直线l：1分别与l1，l2交于A，B，若线段AB中点横坐标为c，则双曲线的离心率为_解析 依题意l1，l2的方程为0，联立消去y得x2x10，即x2x10，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，因为线段AB中点横坐标为c，所以x1x22c，所以a2b2，故双曲线的离心率为答案 7(2019南京四校第一学期联考)已知圆C：(x1)2(y2)24，若直线l：3x4ym0上存在点P，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则实数m的取值范围是_解析 圆C的圆心C(1，2)，半径r2连接PC，AC，则在RtPCA中，APC30，AC
7、2，所以PC4，这样就转化为直线l上存在点P，且点P到圆心C的距离为4，也就是直线l与以C为圆心，4为半径的圆有公共点，所以4，解得15m25，因此实数m的取值范围是15，25答案 15，258(2019无锡市高三模拟)已知圆C：(x2)2y24，线段EF在直线l：yx1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得0，则线段EF长度的最大值是_解析 由0得APB90，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当APB90时，MPN90，sinMPCsin 45，所以PC2另当过点P，C的直线与直线l：yx1垂直时，P
8、Cmin，以C为圆心，CP2为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax2答案 9(2019苏州高三模拟)已知经过点P(1，)的两个圆C1，C2都与直线l1：yx，l2：y2x相切，则这两圆的圆心距C1C2等于_解析 设圆C经过点P(1，)，且与直线l1：yx，l2：y2x均相切，圆心C(a，b)，由题意可知点C在第一象限，且在直线y2x的下方，在直线yx的上方，点C到两直线的距离相等，即，化简得ab0，且()2(a1)2(a)2，化简整理得36a2100a650(*)，设C1(a1，a1)，C2(a2，a2)，则a1，a2是(*)的两个不相等的实数根，
9、则a1a2，a1a2，则|C1C2|a1a2| 答案 10(2019南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y22px(p0)的焦点为F，双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别与抛物线交于A，B两点(A，B异于坐标原点O)若直线AB恰好过点F，则双曲线的渐近线方程是_解析 不妨设点A是渐近线yx与抛物线的交点，则A(，)在抛物线上，所以()22p，化简得2，故双曲线的渐近线方程是yx2x答案 y2x11(2019江苏省高考命题研究专家原创卷(八)在平面直角坐标系中，已知圆C：x2(y4)24，有一动点P在直线x2y0上运动，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别为A，B(1)求切线
10、长PA的最小值；(2)试问：当点P运动时，弦AB所在的直线是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由解 (1)因为PA是圆C的一条切线，所以CAP90，在RtCAP中，PA因为PC的最小值为圆心C到直线x2y0的距离d，且d，所以切线长PA的最小值PAmin(2)设P(2b，b)，易知经过A，P，C三点的圆E以CP为直径，圆E的方程为(xb)2(y)2，即x2y22bx(b4)y4b0又圆C：x2(y4)24，即x2y28y120，得圆E与圆C的相交弦AB所在直线的方程为2bx(b4)y124b0，即(2xy4)b4y120由，解得所以弦AB所在的直线恒过定点(，3)12(201
11、9衡水中学调研)已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且F1F22，点在该椭圆上(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程解 (1)由题意知c1，2a4，所以a2，故椭圆C的方程为1(2)当直线lx轴时，可取A，B，AF2B的面积为3，不符合题意当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，代入椭圆方程得(34k2)x28k2x4k2120，显然0成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，可得AB，又圆F2的半径r，所以AF2B的面积为ABr，代
12、简得17k4k2180，得k1，所以r，圆的方程为(x1)2y2213(2019南京期末)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的离心率为，椭圆E的一个焦点和抛物线y24x的焦点重合，过直线l：x4上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A，B(1)求椭圆E的方程；(2)若在椭圆1(ab0)上的点(x0，y0)处的切线方程是1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标解 (1)设椭圆方程为1(ab0)，因为抛物线y24x的焦点是(1，0)，所以c1又，所以a2，b，所以所求椭圆E的方程为1(2)证明：设切点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l上一点M的坐标为(4，t)，则切线方程
13、分别为1，1，又两切线均过点M，即x1y11，x2y21，即点A，B的坐标都适合方程xy1，而两点确定唯一的一条直线，故直线AB的方程是xy1，显然对任意实数t，点(1，0)都适合这个方程，故直线AB恒过定点C(1，0)14(2019江苏四星级学校联考)定义：设在平面内给定一点O和常数k(k0)，对于平面内任意一点A，确定A，使A在直线OA上，若线段长度|OA|与|OA|满足|OA|OA|r2，则称这种变换是以O为反演中心，以r2为反演幂的反演变换，简称“反演”，称A为A关于O(r)的反演点已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2是等边三角形，且椭圆经过点(2，3)(1)求椭圆的方程；(2)若P，M是椭圆上不同的两点，点M关于x轴的对称点为N，直线MP，NP分别交x轴于点E(x1，0)，F(x2，0)，试探究E，F两点是否互为反演点？如果是，请说明理由，并求出反演幂r2；如果不是，请说明理由解 (1)由题意可知，得，故椭圆的方程为1(2)设P(x0，y0)，M(m，n)，则N(m，n)，则直线PM：yy0(xx0)，令y0，得x1，同理可得x2，所以x1x2又1，1，所以x1x216即|OE|OF|16，故E，F两点互为反演点，且反演幂r216
