1、1.2.2充要条件学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假.知识点1充要条件一般地，如果既有pq，又有qp 就记作_pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括地说，如果pq，那么p与q互为充要条件.【预习评价】思考(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示(1)正确.若p是q的充要条件，则pq，即p等价于q，故此说法正确.(2)p是q的充要条件说明p是条
2、件，q是结论.p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.知识点2常见的四种条件与命题真假的关系如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：原命题逆命题p与q的关系真真p是q的充要条件q是p的充要条件真假p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假真p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假假p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件【预习评价】若x，yR，则“xy”是“|x|y|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析当xy时，|x|y|显然成立；若|x|y|，则xy或xy，所以“xy”是“|
3、x|y|”的充分不必要条件.答案A知识点3从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.【预习评价】若“xa”是“x2”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_.解析由题意知x|xax|x2，所以a2.答案(，2)题型一充要条件的判断【例1】(1)“x1”是“x22x10”的()A.充要条件 B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件 D.既不充
4、分也不必要条件解析解x22x10得x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件.答案A(2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；若a，bR，p：a2b20，q：ab0；p：|x|3，q：x29.解在ABC中，显然有ABsin Asin B，所以p是q的充要条件.若a2b20，则ab0，即pq；若ab0，则a2b20，即qp，故pq，所以p是q的充要条件.由于p：|x|3q：x29，所以p是q的充要条件.规律方法判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立.若pq成立，则p是
5、q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.【训练1】(1)a，b中至少有一个不为零的充要条件是()A.ab0 B.ab0C.a2b20 D.a2b20(2)“函数yx22xa没有零点”的充要条件是_.解析(1)a2b20，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2b20.(2)函数没有零点，即方程x22xa0无实根，所以
6、有44a0，解得a1.反之，若a1，则0，方程x22xa0无实根，即函数没有零点.故“函数yx22xa没有零点”的充要条件是a1.答案(1)D(2)a1题型二充要条件的证明【例2】求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k2.充分性：当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2，则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.综上可知，方程x2(2k1
7、)xk20有两个大于1的根的充要条件为k0，yy，则p是q的_条件.解析当x0，yy且成立，当xy且时，得所以p是q的充要条件.答案充要课堂小结1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法.2.充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性的证明和必要性的证明.在证明时要注意两种叙述方式的区别：p是q的充要条件，则由pq证的是充分性，由qp证的是必要性；p的充要条件是q，则由pq证的是必要性，由qp证的是充分性.(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件.基础过关1.“x，y均为奇数”是“xy为偶数”的()A.充
8、分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析当x，y均为奇数时，一定可以得到xy为偶数；但当xy为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数.答案A2.设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析an为等比数列，ana1qn1，由a1a2a3，得a1a1q0，q1或a10，0q1，则数列an为递增数列.反之也成立.答案C3.设xR，则“x”是“2x2x10”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析因为x|2x2
9、x10，所以x|2x2x10，故选A.答案A4.函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是_.解析当m2时，f(x)x22x1，其图象关于直线x1对称，反之也成立，所以函数f(x)x2mx1的图象关于直线x1对称的充要条件是m2.答案m25.下列不等式：x1；0x1；1x0；1x1.其中，可以为x21的一个充分条件的所有序号为_.解析由于x21即1x1，显然不能使1x1一定成立，满足题意.答案6.试说明0m是方程mx22x30有两个同号且不等实根的什么条件.解若方程mx22x30有两个同号且不等的实根，则0m.反之，若0m，则0，0，412m0，0412m4，即0，且0，0.因此
10、0m是方程mx22x30有两个同号且不等实根的充要条件.7.求证：一元二次方程ax2bxc0(a，b，c是常数且a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0.证明必要性：由于方程ax2bxc0(a0)有一正实根和一负实根，b24ac0，且x1x20，ac0.充分性：由ac0可推出b24ac0及x1x20，方程ax2bxc0(a0)有一正一负两实根.因此一元二次方程ax2bxc0(a0)有一正实根和一负实根的充要条件是ac0.能力提升8.在ABC中，“sin(AB)cos Bcos(AB)sin B1”是“ABC是直角三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分
11、也不必要条件解析sin(AB)cos Bcos(AB)sin Bsin(AB)Bsin A1，又因为sin A1，所以sin A1.又因为0A1， 1，两边平方得k23，k.答案k0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，等式成立.当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，|x|y|xy，等式成立.当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，等式成立.总之，当xy0时，|xy|x|y|成立.必要性：若|xy|x|y|且x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，xy0是等式|xy|x|y|成立的充要条件.13.(选做题)已知函数f(x)的定义域为A，g(x)lg(xa1)(2ax)(a1)的定义域为B.(1)求A；(2)记p：xA，q：xB，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解(1)要使f(x)有意义，则3(x2)(2x)0，化简整理得(x1)(x1)0，解得x1或x1，Ax|x1或x1.(2)要使g(x)有意义，则(xa1)(2ax)0，即(xa1)(x2a)0，又a1，a12a，Bx|2axa1.p是q的必要不充分条件，BA，2a1或a11，解得a1或a2.a的取值范围为(，2.