1、圆与圆的位置关系【学习目标】课程标准学科素养1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.1、直观想象2、数学运算3、逻辑推理【自主学习】1圆与圆的位置关系两圆相交有公共点两圆相切和公共点两圆相离和公共点2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程思考：将两个相交的非同心圆
2、的方程x2y2DixEiyFi0(i1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？【小试牛刀】1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交()(2)若两圆没有公共点，则两圆一定外离()(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.()(4)若两圆有公共点，则|r1r2|dr1r2.()2圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A相离B相交C外切D内切【经典例题】题型一两圆的位置关系判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而
3、判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.例1 已知圆C1：x2y22ax2ya2150，圆C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含跟踪训练1已知圆C1：x2y22x4y40和圆C2：4x24y216x8y190，则这两个圆的公切线的条数为()A.1或3 B.4C.0 D.2题型二两圆的公共弦问题1求两圆公共弦长的方法一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再
4、利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解2过两圆的交点的圆的方程已知圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)例2已知两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80.(1)判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度.跟踪训练2 圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在的直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长为_.题型三两圆相切处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相
5、切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)例3 【当堂达标】1.已知两圆x2y21和x2y26x8y90，那么这两个圆的位置关系是()A.相离 B.相交 C.外切 D.内切2.若圆x2y22xF0和圆x2y22xEy40的公共弦所在的直线方程是xy10，则()A.E4，F8 B.E4，F8C.E4，F8 D.E4，F83已知圆C1：(x1)2(y2)24，圆C2：(x2)2(y2)29，则两圆的公切线条数是_4已知两圆x2y210和(x1)2(y3)210相交于A，B两点，则直线AB的方
6、程是_5.若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_.6已知点P在圆O：x2y21上运动，点Q在圆C：(x3)2y21上运动，则|PQ|的最小值为_7.已知圆C1：x2y22mx4ym250，圆C2：x2y22x2mym230，当m为何值时，分别满足下列情况：(1)圆C1与圆C2外切；(2)圆C1与圆C2内含.8已知以C(4，3)为圆心的圆与圆O：x2y21相切，求圆C的方程【参考答案】【自主学习】外切内切外离内含两个只有一个没有dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|思考：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点经过相交两圆的公共交点的
7、直线是两圆的公共弦所在的直线【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2. B圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即两圆相交【经典例题】例1 解圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)21，圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r14，r21.|C1C2|a.(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切；当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5时，两圆相交(3)当|C1C2|5，即a5时，两圆外离(4)当|C1C2
8、|3，即a3时，两圆内含.跟踪训练1D解析对两个圆的方程配方得圆C1：(x1)2(y2)21及圆C2：(x2)2(y1)2，则圆心距d|C1C2|，11，故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条.例2 解(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x1)2(y5)250，C2：(x1)2(y1)210，圆C1的圆心坐标为(1，5)，半径为r15，圆C2的圆心坐标为(1，1)，半径为r2.|C1C2|2，r1r25，|r1r2|5|，|r1r2|C1C2|r1r2，两圆相交.(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x2y40.(3)方法一由(2)知圆C1的圆心(1，5)到直线x2y40的距离
9、为d3，公共弦长为l222.方法二设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或|AB|2.即公共弦长为2.跟踪训练2解析由题意将两圆的方程相减，可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为xy10.又圆C3的圆心坐标为(1,1)，其到直线l的距离为d，设圆C3的半径为r，由条件知，r2d2，所以弦长为2.例3 解设所求圆的方程为(xa)2(yb)216，由圆与直线y0相切、半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，4)已知圆(x2)2(y1)29的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，则|CA|437或|CA|431.当圆心为C1(a,4)时，(a2)2(41)272
10、或(a2)2(41)212(无解)，故可得a22,故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.当圆心为C2(a，4)时，(a2)2(41)272或(a2)2(41)212(无解)，解得a22.故所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.综上所述，所求圆的方程为(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216或(x22)2(y4)216.跟踪训练3 解已知圆的方程可化为(x1)2y21，则圆心为C(1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)由题意，可得解得或即所求圆的方程为(x4)
11、2y24或x2(y4)236.【当堂达标】1.C2.C解析可得4xEyF40，即xy0，由两圆的公共弦所在的直线方程为xy10，得解得3. 3C1(1,2)，r12；C2(2，2)，r23，|C1C2|5，r1r25，因此两圆外切所以公切线有3条4.x3y50由两圆方程消去二次项得102x16y910，即x3y50.5.1解析将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y，圆心(0,0)到直线的距离为d1，所以a16. 1O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，|OC|3，|PQ|的最小值为3111.7.解易得圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24.(1)如果圆C1与圆C2外切，则32，所以m23m100，解得m2或m5.（2）如果圆C1与圆C2内含，则32，所以m23m20，解得2m1.8. 解设圆C的半径为r，圆心距为d5，当圆C与圆O外切时，r15，r4，当圆C与圆O内切时，r15，r6，圆的方程为(x4)2(y3)216或(x4)2(y3)236.