1、第1讲直线与圆 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171直线方程与两直线的位置关系第12题本讲命题热点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、圆的方程、直线与圆的位置关系(特别是弦长、切线问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，多考查其几何图形的性质或方程知识2圆的方程3直线与圆的位置关系第13题1必记的概念与定理(1)直线方程的五种形式点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)两点式：(直线过点P1(x1，
2、y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)截距式：1(a、b分别为直线的横、纵截距，且a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)(2)圆的方程的两种形式圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)2记住几个常用的公式与结论(1)点到直线的距离公式点P(x1，y1)到直线l：AxByC0的距离d(2)两条平行线间的距离公式两条平行线AxByC10与AxByC20间的距离d(3)若直线l1和l2有斜截式方程l1yk1xb1，l2yk2xb2，则直线l1l2
3、的充要条件是k1k21(4)设l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20则l1l2A1A2B1B20(5)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0；AC0；D2E24AF0(6)常用到的圆的几个性质直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；圆心在过切点且与切线垂直的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程3需要关注的易错易混点(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应
4、分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑(2)在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为AxByC0的形式，否则会出错直线方程与两直线的位置关系典型例题 (1)(2018高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0，则点A的横坐标为_(2)(2019徐州、淮安、宿迁、连云港四市模拟)已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50互相平行，则2a3b的最小值为_【解析】(1)因为0，所以ABCD，又点C为AB的中点，所以
5、BAD45设直线l的倾斜角为，直线AB的斜率为k，则tan 2，ktan3又B(5，0)，所以直线AB的方程为y3(x5)，又A为直线l：y2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得所以点A的横坐标为3(2)法一：由两条直线平行得且，化简得a0，得b3，故2a3b3b3(b3)9133(b3)13225，当且仅当3(b3)，即b5或b1(舍去)时等号成立，故(2a3b)min25法二：由两条直线平行得且，化简得1，故2a3b(2a3b)1313225，当且仅当且1，即ab5时等号成立，故(2a3b)min25【答案】(1)3(2)25(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注
6、意各种形式的适用条件对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究对点训练1直线4axy1与直线(1a)xy1互相垂直，则a_解析 由题可得：4a(1a)10，即4a24a10，故a答案 2(2019南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kxy20与直线l2：xky20相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线xy40的距离的最大值为_解析 由题意可得直线l1恒过定点A(0，2)，直线l2恒过定点B(2，0)
7、，且l1l2，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，圆的方程为(x1)2(y1)22圆心(1，1)到直线xy40的距离为2，则点P到直线xy40的距离的最大值为3答案 3圆的方程典型例题 (1)在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mxy2m10(mR)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_(2)(2019南通市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2y24上两点，点A(1，1)，且ABAC，则线段BC的长的取值范围为_【解析】(1)直线mxy2m10经过定点(2，1)当圆与直线相切于点(2，1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2(12)2(01)22，
8、故所求圆的标准方程为(x1)2y22(2)设BC的中点为M(x，y)，因为OB2OM2BM2OM2AM2，所以4x2y2(x1)2(y1)2，化简得，所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，又A与的距离为，所以AM的取值范围是，所以BC的取值范围是，【答案】(1)(x1)2y22(2)，在解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是：如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程(组)，则通常选择设圆的标准方程，否则选择设圆的一般方程对点训练3圆C经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y1相切，则圆C的方程是_解析 因为圆C经过原点O(0，0)和点P(4，0)，所以线段OP的垂直平分线
9、x2过圆C的圆心，设圆C的方程为(x2)2(yb)2r2，又圆C过点O(0，0)且与直线y1相切，所以b222r2，且|1b|r，解得b，r，所以圆C的方程为(x2)2答案 (x2)2直线与圆的位置关系典型例题 (1)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2y212x14y600及其上一点A(2，4)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x6上，求圆N的标准方程；设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BCOA，求直线l的方程；设点T(t，0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得，
10、求实数t的取值范围【解】(1)圆心为(2，1)，半径r2圆心到直线的距离d，所以弦长为22故填(2)圆M的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心M(6，7)，半径为5由圆心N在直线x6上，可设N(6，y0)因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0y00，c0)恒过点P(1，m)，且Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，则的最小值为_解析 动直线l0：axbyc20(a0，c0)恒过点P(1，m)，所以abmc20又Q(4，0)到动直线l0的最大距离为3，所以 3，解得m0所以ac2又a0，c0，所以(ac)，当且仅当c2a时取等号答案 4已知以原点O为圆心的圆与直线l：ymx(34m)，
11、(mR)恒有公共点，且要求使圆O的面积最小，则圆O的方程为_解析 因为直线l：ymx(34m)过定点T(4，3)，由题意，要使圆O的面积最小，则定点T(4，3)在圆上，所以圆O的方程为x2y225答案 x2y2255(2019南京高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(xa)2(ya3)21(a0)，点N为圆M上任意一点若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为_解析 由题意可得圆N与圆M内切或内含，则|ON|2恒成立，即|ON|min|OM|12，|OM|3，即a2(a3)29，又a0，得a3，则a的最小值是3答案 36(2019苏锡常镇四市高三调研)已知直线l：
12、mxy2m10，圆C：x2y22x4y0，当直线l被圆C所截得的弦长最短时，实数m_解析 直线l被圆C：(x1)2(y2)25所截得的弦长最短，即圆心C到直线l的距离最大，d，当d取最大值时，m0，此时d，当且仅当m1，即m1 时取等号，即d取得最大值，弦长最短答案 17(2019江苏省六市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x4)2(y8)21，圆C2：(x6)2(y6)29若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是_解析 因为所求圆的圆心在x轴上，所以可设所求圆的方程为x2y2DxF0用它的方程与已知两圆的方程分别相减得，(D8)x16yF790，(D1
13、2)x12yF630，由题意，圆心C1(4，8)，C2(6，6)分别在上述两条直线上，从而求得D0，F81，所以所求圆的方程为x2y281答案 x2y2818(2019南京模拟)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析 令P(，0)，如图，易知|OA|OB|1，所以SAOB|OA|OB|sinAOBsinAOB，当AOB90时，AOB的面积取得最大值，此时过点O作OHAB于点H，则|OH|，于是sinOPH，易知OPH为锐角，所以OPH30，则直线AB的倾斜角为150，故直线AB的斜率为tan 150答案 9(2019南京市四
14、校第一学期联考)已知圆O：x2y21，半径为1的圆M的圆心M在线段CD：yx4(mxn，m0)，由题意知，解得a1或a又圆C的面积SR20，解得k1，x1x2，y1y2k(x1x2)6在OADB中，(x1x2，y1y2)，(1，3)，假设ODMC，则3(x1x2)y1y2，所以3，解得k但/(，1)(1，)，所以不存在直线l，使得直线OD与MC恰好平行13(2019江苏省高考名校联考(三)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2y24，F(0，2)，点A，B是圆O上的动点，且FAFB4(1)若FB1，且点B在第二象限，求直线AB的方程；(2)是否存在与动直线AB恒相切的定圆？若存在，求出
15、该圆的方程；若不存在，请说明理由解 (1)显然直线FB的斜率存在，故可设直线FB的方程为ykx2(k0)，联立方程得，消去y得，(k21)x24kx0，得，故FB1，得k，点B因为FB1，且FAFB4，所以FA4，又圆O的半径为2，所以A(0，2)，故直线AB的方程为yx2(2)由(1)的求解方法易知，若FB1，且点B在第一象限，则直线AB的方程为yx2，故若存在符合题意的圆，则圆心在y轴上设圆心坐标为(0，m)，易知当ABx轴时，直线AB的方程为y1，故|m1|，解得m或m2若直线FB，FA的斜率存在，不妨设直线FB，FA的方程分别为yk1x2，yk2x2(k1k2)，由(1)的求解方法易知
16、，B，A，FB，FA又FAFB4，所以4，化简得15kkkk1(*)当直线AB的斜率存在且不等于0时，直线AB的方程为，化简得(k1k2)x(k1k21)y2(k1k21)0，则点(0，2)到直线AB的距离d，把(*)代入上式得d1又|m1|1d，故存在定圆x2(y2)21与动直线AB恒相切同理点到直线AB的距离d，显然不是定值，故不符合题意当直线AB的斜率不存在时，易知可取A(1，)，B(1，)，或A(1，)，B(1，)，显然直线AB与圆x2(y2)21相切综上所述，存在定圆：x2(y2)21与动直线AB恒相切14(2019南京市高三年级第三次模拟考试)如图，某摩天轮底座中心A与附近的景观内
17、某点B之间的距离AB为160 m摩天轮与景观之间有一建筑物，此建筑物由一个底面半径为15 m的圆柱体与一个半径为15 m的半球体组成圆柱的底面中心P在线段AB上，且PB为45 m半球体球心Q到地面的距离PQ为15 m把摩天轮看作一个半径为72 m的圆C，且圆C在平面BPQ内，点C到地面的距离CA为75 m该摩天轮匀速旋转一周需要30 min，若某游客乘坐该摩天轮(把游客看作圆C上一点)旋转一周，求该游客能看到点B的时长(只考虑此建筑物对游客视线的遮挡)解 以点B为坐标原点，BP所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)过点B作直线l与半圆Q相切，与圆C交于点M，N，连结CM，CN，过点C作CHMN，垂足为H设直线l的方程为ykx，即kxy0，则点Q到l的距离为15，解得k或k0(舍)所以直线l的方程为yx，即3x4y0所以点C(160，75)到直线l的距离CH36因为在RtCHM中，CH36，CM72，所以cosMCH又MCH(0，)，所以MCH，所以MCN2MCH，所以该游客能看到点B的时长为3010(min)