1、2.3函数的应用()学习目标：1.了解函数模型(如一次函数、二次函数、分段函数等是现实生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用(一般)2.能够利用给定的函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题(重点、难点)自 主 预 习探 新 知常见的函数模型(1)直线型：即一次函数模型；(2)抛物线型：即二次函数模型，二次函数的最值问题是高考中的永恒话题，现实生活中的最优、最省等问题也离不开二次函数；(3)分段函数型：由于实际问题在不同的范围内有不同的理解和意义，因此这种模型的应用也比较广泛思考：解决数学应用题的步骤是什么？提示基础自测1思考辨析甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图231所示，判
2、断下列说法的对错图231(1)甲比乙先出发()(2)乙比甲跑的路程多()(3)甲、乙两人的速度相同()(4)甲先到达终点()解析由图象可知：甲乙两人同时出发，跑相同的路程，甲先到达终点，因此甲的速度快，由此判断只有(4)正确答案(1)(2)(3)(4)2某生产厂家的生产总成本y(万元)与产量x(件)之间的关系式为yx280x，若每件产品的售价为25万元，则该厂获得最大利润时，生产的产品件数为()A52B52.5C53D52或53D因为利润收入成本，当产量为x件时(xN)，利润f(x)25x(x280x)，所以f(x)105xx22，所以x52或x53时，f(x)有最大值3已知从甲地到乙地通话m
3、分钟的电话费由f(m)1.06(0.5m1)元给出，其中m0，m表示不超过m的最大整数，(如33，3.23)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为_元. 【导学号：60462156】371由题意知m5.5，m5.55，所以f(5.5)1.06(0.55.51)1.06(0.551)3.71(元)合 作 探 究攻 重 难一次函数模型的应用某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A、B两地每台电脑
4、的运费分别是80元和50元设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，(1)求y关于x的函数关系式；(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？(3)求总运费最低的调运方案及最低运费解(1)甲地调运x台到B地，则剩下(6x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(xN，且0x6)(2)若使y1 000，即20x9601 000，得x2.又0x6，xN，0x2，xN.x0,1,2，即能有3种调运方案(3)y20x960是R上的增函数
5、，又0x6，xN，当x0时，y有最小值为960.从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台到A地，运费最低为960元规律方法用一次函数解决实际问题的关注点(1)一次函数有单调递增(k0)和单调递减(k0)两种情况(2)一次函数图象一般是一条直线或一些孤立的点(3)一次函数模型的增长特点是直线上升(4)若实际问题中两个变量间的关系是线性的，则可通过建模转化为一次函数问题解决如行程、价格、分配等问题跟踪训练1如图232所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象根据图象填空： 【导学号：60462157】图232(1)通话2分钟，需要付电话费
6、_元；(2)通话5分钟，需要付电话费_元；(3)如果t3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_(1)3.6(2)6(3)y1.2t(t3)(1)由图象可知，当t3时，电话费都是3.6元(2)由图象可知，当t5时，y6，需付电话费6元(3)易知当t3时，图象过点(3,3.6)，(5,6)，利用待定系数法求得y1.2t(t3)二次函数模型如图233，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少米？图233思路探究二次函数模型构建函数配方法解题解因为长为x米，则宽为米，设面积为S平方
7、米Sx(x250x)(x25)2，所以当x25时，Smax(平方米)，即鸡场的长度为25米时，面积最大母题探究：1.(变条件)将本例中“中间有一道篱笆隔墙”改为“中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙”，结果如何？并将所得结果与原题结果比较，你能得出什么结论？解设中间有n道篱笆隔墙，则宽为米，设面积为S平方米则Sx(x250x)(x25)2，所以当x25时，Smax(平方米)由两者比较可知，无论中间有几道篱笆隔墙，要使面积最大，长都是25米即使面积最大的值与中间有多少道篱笆隔墙无关2(变问法)本例条件不变，将中间篱笆隔墙的长度设为x米，则要使鸡场面积最大，篱笆隔墙的长度应为多少米？解设鸡场面积
8、为S平方米，因为篱笆隔墙的长度为x米，则鸡场的长度为(503x)米，则S(503x)x3x250x32，所以当x时，Smax，即鸡场篱笆隔墙的长度为米时，鸡场面积最大为平方米规律方法解二次函数模型的策略(1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式)(2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题(3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象分段函数模型的应用探究问题1分段函数f(x)的定义域和值域分别是什么？如何求分段函数的最大值和最小值？提示：分段函数f(x)是各段自变量取值范围的并集，即D1D2Dn，分段函数的值域是各段值域的并集先求
9、出各段在其自变量取值范围内的最大值和最小值，然后分别比较各段最大值和最小值，各段最大值的最大者就是分段函数的最大值，各段最小值的最小者就是分段函数的最小值2解实际应用问题时，如何确定所要应用的函数模型是否为分段函数？提示：根据题意，判断题设中的自变量变化是否遵循不同的规律，若是，则所要应用的函数模型为分段函数，反之则不是某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图234中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图234中的抛物线表示的
10、函数关系图234(1)写出图234表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式Pf(t)，图234表示的西红柿种植成本与上市时间的函数关系式Qg(t)(2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益，问何时上市西红柿的纯收益最大？思路探究函数模型构建变量在不同区间上取值时图象不同，故宜采用分段函数模型解由图可得市场售价与时间的函数关系为f(t)由图2可得种植成本与时间的函数关系为g(t)(t150)2100,0t300.(2)设t时刻的纯收益为h(t)，则由题意得，h(t)f(t)g(t)当0t200时，h(t)(t50)2100所以t50时，h(t)在0,200上取最大值100；当20
11、0t300时，h(t)(t350)2100.所以t300时，h(t)在(200,300上取最大值87.5.因此，h(t)在0,300上可以取最大值100，此时t50.综上所述，从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大规律方法分段函数模型的求解技巧(1)在求其解析式时，应先确定分“段”，即函数分成几段，并抓住“分界点”，确保分界点“不重不漏”(2)求函数值时，先确定自变量的值所属的区间，再代入；同样，已知函数值，求解自变量的值时，就是解方程的过程，即每段都令y取已知函数值，解出相应x的值，再判别是否属于所在区间跟踪训练2国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数在30人或30人以
12、下，每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止旅行社需支付各种费用共计15 000元. 【导学号：60462158】(1)写出每人需交费用y关于人数x的函数；(2)旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解(1)当0x30时，y900；当30x75，y90010(x30)1 20010x；即y(2)设旅行社所获利润为S元，则当0x30时，S900x15 000；当30x75，Sx(1 20010x)15 00010x21 200x15 000；即S因为当0x30时，S900x15 000为增函数，所以x30时，Smax
13、12 000；当30x75时，S10x21 200x15 00010(x60)221 000，即x60时，Smax21 00012 000.所以当旅行团人数为60时，旅行社可获得最大利润当 堂 达 标固 双 基1据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中电动车存车费是每辆一次0.3元，自行车存车费是每辆一次0.2元若自行车存车数为x辆次，存车总收入为y元，则y关于x的函数关系式是() 【导学号：60462159】Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)D因为自行车
14、x辆，电动车4 000x辆，y0.2x0.3(4 000x)0.1x1 200，故选D.2某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1x221x，和L22x，其中销售量单位：辆若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为 ()A90万元B60万元C120万元D120.25万元C设甲销售x辆，则乙销售(15x)辆，总利润：yx221x2(15x)x219x30(0x15且xN)，当x9或10时，ymax120.3某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为_元2 250设彩电的原价为a，a(1
15、0.4)80%a270，0.12a270，解得a2 250.每台彩电的原价为2 250元4某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元，其销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个_元60设涨价x元，销售的利润为y元，则y(50x45)(502x)2x240x2502(x10)2450，所以当x10，即售价为60元时，y取得最大值5某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的关系如图235所示，试问盈利额为750元时，当天售出的门票数为多少？ 【导学号：60462160】图235解根据题意，得每天的盈利额y(元)与售出的门票数x(张)之间的函数关系式是：y.当0x400时，由3.75x750，得x200.当400x600时，由1.25x1 000750，得x200(舍去)综合和，盈利额为750元时，当天售出的门票数为200张