1、第一章计数原理1.1基本计数原理来源:学|科|网Z|X|X|K1.设集合A中有5个元素,集合B中有2个元素,建立AB的映射,共可建立()A.10个B.20个C.25个D.32个解析:根据映射的定义知,集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应.A中每个元素的像均有2种选择,由分步乘法计数原理知,共可建立25个映射.答案:D2.某市汽车牌照号码(由4个数字和1个字母组成)可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复).某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选
2、择,则他的车牌号码所有可能的情况有()A.180种B.360种C.720种D.960种解析:分五步完成,第i步取第i个号码(i=1,2,3,4,5).由分步乘法计数原理,可得车牌号码共有53444=960种.答案:D3.来源:学科网ZXXK如图所示,用四种不同的颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有()A.288种B.264种C.240种D.168种解析:先涂A,D,E三个点,共有432=24种涂法,然后按B,C,F的顺序涂色,分为两类:一类是B与E或D同色,共有2(21+12)=8种涂法;另一类是B与E和D
3、均不同色,共有1(11+12)=3种涂法.故涂色方法共有24(8+3)=264种.答案:B4.如果x,yN+,且1x3,x+y7,则满足条件的有序数对(x,y)的个数是()A.15B.12C.5D.4解析:当x=1时,y=1,2,3,4,5,有5种,当x=2时,y=1,2,3,4,有4种;当x=3时,y=1,2,3,有3种.由分类加法计数原理得5+4+3=12(种).答案:B5.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2,且a3a2,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数个数为()A.240B.204C.729D.920解析:分8类.当中间数为2时,有12=2
4、(个);来源:Zxxk.Com当中间数为3时,有23=6(个);当中间数为4时,有34=12(个);当中间数为5时,有45=20(个);当中间数为6时,有56=30(个);当中间数为7时,有67=42(个);当中间数为8时,有78=56(个);当中间数为9时,有89=72(个).故共有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).答案:A6.如图,从AC有种不同的走法.解析:分为两类,不过B点有2种方法,过B点有22=4种方法,共有4+2=6种方法.答案:67.有10本不同的数学书,9本不同的语文书,8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,共有种不同的取法.解析:任取两本不同类的
5、书分为三类:取数学、语文各一本;取语文、英语各一本;取数学、英语各一本.在每一类中利用分步乘法计数原理,再利用分类加法计数原理即可.共有109+89+810=242(种)不同取法.答案:2428.椭圆=1的焦点在y轴上,且m1,2,3,4,5,n1,2,3,4,5,6,7,则这样的椭圆的个数为.来源:Z.xx.k.Com解析:当m=1时,n=2,3,4,5,6,7,有6种取法;当m=2时,n=3,4,5,6,7,有5种不同取法;当m=3时,n=4,5,6,7,有4种不同取法;当m=4时,n=5,6,7,有3种不同取法;当m=5时,n=6,7,有2种不同取法,故这样的椭圆共有6+5+4+3+2=
6、20(个).答案:209.将4种蔬菜种植在如图所示的5块试验田里,每块试验田种植一种蔬菜,相邻试验田不能种植同一种蔬菜,不同的种法有种.(种植品种可以不全)解析:分五步,由左到右依次种植,种法分别为4,3,3,3,3.由分步乘法计数原理,不同的种法有43333=324(种).答案:32410.某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的情况有多少种?解:分两类,第一类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人来自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理知有26=12种情况;来源:学科网ZXXK第二类,3人全来
7、自其余4家企业,有4种情况.根据分类加法计数原理,共有12+4=16种情况.11.若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多少条?解:分两类完成.第一类,当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条.第二类,当A,B不为0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成.第一步,确定A的值,有4种不同的方法;第二步,确定B的值,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知,共可确定43=12条直线.由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14条.12.把一个圆分成3个扇形,现在用5种不同的颜色给3个扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问:(1)有多少种不同的涂法?(2)若分割成4个扇形呢?解:(1)不同的涂色方法是543=60种.(2)如图所示,分别用a,b,c,d记这四个扇形.先考虑给a,c涂色,分两类:第一类给a,c涂同种颜色,共5种涂法;再给b涂色,有4种涂法;最后给d涂色,也有4种涂法.由分步乘法计数原理知,此时共有544种涂法.第二类给a,c涂不同颜色,共有54种涂法;再给b涂色,有3种方法;最后给d涂色,也有3种方法.此时共有5433种涂法.由分类加法计数原理知,共有544+5433=260种涂法.