1、浙江省杭州地区2021-2022学年高一数学下学期期中试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级姓名考场号座位号及准考证号并填涂相应数字；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A.或 B.C. D.2.若复数满足.（为虚数单位），则的虚部为（ ）A.1 B. C. D.3.在中，角所对的边分别是，则（ ）A. B. C. D.4.若函数的图象如图所示，则（ ）A. B. C. D
2、.5.已知不共线平面向量在非零向量上的投影向量互为相反向量，则（ ）A. B.C. D.6.古代典籍周易中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.如图是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.在正八边形中，若，则（ ）A. B. C. D.37.2022年北京冬奥会拉开帷幕，动作观赏性强视觉冲击力大的自由式滑雪大跳台是目前“冬奥大家族”中最年轻的项目.首钢滑雪大跳台实现了竞赛场馆与工业遗产再利用城市更新的完整结合，见证了中外运动员在大跳台“冲天一跳”的精彩表现和北京这座世界上独一无二“双奥之城”的无上荣光.如图为大跳台示意图，为测量大跳台最高处点的高度，小王在场馆内的两点测得的仰角分别为（单位：）
3、，且，则大跳台最高高度（ ）A. B. C. D.8.已知实数满足，则“”是“”（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列说法正确的是（ ）A.棱柱的侧面一定是矩形B.三个平面至多将空间分为7个部分C.圆台可由直角梯形以高所在直线为旋转轴旋转一周形成D.任意五棱锥都可以分成3个三棱锥10.已知函数.（ ）A.任意B.任意C.任意D.存在11.下列说法正确的是（ ）A.若平面向量，则 B.若平面向量，则C.
4、若复数，则 D.若复数，则12.如图，已知边长为1的正方形是线段上的动点（包括端点），分别是上动点，且分别是中点，下列说法正确的是（ ）A.B.若，则的最小值为C.若，则的最小值为D.若，则的最大值为非选择题部分三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量，若，则_.14.已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则的面积是_.15.欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数自然底数，圆周率，两个单位一
5、虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则_.16.已知函数，若对于，不等式恒成立，则正整数的最小值为_.四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写岕文字说明证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知复数是方程的解.（1）求的值；（2）若复平面内表示的点在第四象限，且为纯虚数，其中，求的值.18.（本题满分12分）现有“甜筒”状旋转几何体，可以看作一个圆锥与一个半球组合而成，其中圆锥的轴截面是边长为2（单位：）的正三角形.（1）求该几何体的体积（单位：）；（2）求该几何体的表面积（单位：）.19.（本题满分1
6、2分）中，角所对的边分别是.（1）求角；（2）若边的中线，求面积.20.（本题满分12分）已知平面向量满足.（1）若，求向量与的夹角；（2）若，求函数的最小值.21.（本题满分12分）物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到点18分时，壶中热水自然冷却到.（1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数；（2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温
7、状态.已知保温时养生显会自动检测壸内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壸内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于末工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：）（1）求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数.（不需要写出理由）（2）求该养生壶保温的临界值.22.（本题满分12分）已知函数，其中.（1）求函数在的最小佪；（1）求函数在上的最小值；（2）若函数恰好存在三个零点，且，求的取值范围.数学参考答案一选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.C 2.B 3.A
8、 4.D 5.A 6.C 7.C 8.A二多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.CD 10.ACD 11.ABD 12.ABD三填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.0 14. 15. 16.3034四解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.解（1）法一：由韦达定理可知，故.法二：由求根公式可知，则.（2）由表示的点在第四象限，可知.又，为纯虚数，则，故可得.18.解：（1）球半径为，圆锥底面半径，母线长，故圆锥高，则.（2）则.19.解：（1
9、）由题意与正弦定理可得，由，可得.则.故，可得.（2）由余弦定理，可得.又中线长公式，可得.由式可得，故.则.20.解：（1）设向量与的夹角为，由题意，可得，则，故.（2）由题意，则，即，其中.21.解：（1）当时，代入，则.由题意，代入，得，由题意.（2）（i）1次.理由如下：若从降温至，由题意，代入，则需要分钟，由于小王出门34分钟，故至少加热一次；从加热至需要3分钟，从降温至，计算得需10分钟，若加热两次以上，则至少需要分钟，故只加热过一次.（ii）从降温至，由题意，代入，解得.故在时，水温正好被加热到.设在时保温加热，则当时，且.在24分钟时加热至，当，则显然等式左侧关于单调递减，故，则.22.解：（1）在上单调递增，在上单调递减，则当时，；当时，.（2），不妨设，当时由图象可知是方程的两根，是方程的较大根，则由丰达定理与求根公式可知，可得，令，而，则；当时，由图象可知是方程的两相异根，是方程的较大根，由的可知，则，可得，令，而，则.综上所述，又满足，故，即.10