1、第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1已知平面向量a(x,1)，b(x，x2)，则向量ab()A平行于x轴B平行于第一、三象限的角平分线C平行于y轴D平行于第二、四象限的角平分线解析由题意得ab(xx,1x2)(0,1x2)，易知ab平行于y轴答案C2已知平面向量a(1,2)，b(2，m)，且ab，则2a3b()A(2，4) B(3，6)C(4，8) D(5，10)解析由a(1,2)，b(2，m)，且ab，得1m2(2)m4，从而b(2，4)，那么2a3b2(1,2)3(2，4)(4，8)答案C3设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2(ac)
2、，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)解析设d(x，y)，由题意知4a(4，12)，4b2c(6,20)，2(ac)(4，2)，又4a4b2c2(ac)d0，解得x2，y6，所以d(2，6)故选D.答案D4 已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则 ()A. B. C1 D2解析依题意得ab(1，2)，由(ab)c，得(1)4320，.答案B5. 若向量=（1,2），=（3,4），则=( )A （4,6） B (-4，-6) C (-2，-2) D (2,2)解析 因为=+=,所以选A.答案 A6若
3、，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为 ()A(2,0) B(0，2)C(2,0) D(0,2)解析a在基底p，q下的坐标为(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，即a在基底m，n下的坐标为(0,2)答案D二、填空题7若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_解析(a2，2)，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.答案8设向量a，b满足|a|2，b(2,1
4、)，且a与b的方向相反，则a的坐标为_解析设ab(0)，则|a|b|，|，又|b|，|a|2.|2，2.ab2(2,1)(4，2)答案(4，2)9设(1，2)，(a，1)，(b,0)，a0，b0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则的最小值为_解析(a1,1)，(b1,2)A，B，C三点共线，.2(a1)(b1)0，2ab1.(2ab)442 8.当且仅当，即a，b时取等号的最小值是8.答案810在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则D点的坐标为_解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是
5、平行四边形设D(x，y)，则有，即(6,8)(2,0)(8,6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)答案(0，2)三、解答题11已知点A(1,2)，B(2,8)以及，求点C，D的坐标和 的坐标解析设点C，D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意得(x11，y12)，(3,6)，(1x2,2y2)，(3，6)因为，所以有和解得和所以点C，D的坐标分别是(0,4)、(2,0)，从而(2，4)12已知a(1,2)，b(3,2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？解法一kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，当kab
6、与a3b平行时，存在唯一实数使kab(a3b)，由(k3,2k2)(10，4)得，解得k，当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)0，kab与a3b反向法二由法一知kab(k3,2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行(k3)(4)10(2k2)0，解得k，此时kab(a3b)当k时，kab与a3b平行，并且反向13在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a(2,1)，A(1,0)，B(cos ，t)，(1)若a，且|，求向量的坐标；(2)若a，求ycos2cos t2的最小值解(1)(cos 1，t)，又a，2tcos 10.cos 12t.又|，(cos 1)2t25
7、.由得，5t25，t21.t1.当t1时，cos 3(舍去)，当t1时，cos 1，B(1，1)，(1，1)(2)由(1)可知t，ycos2cos cos2cos 2，当cos 时，ymin.14已知O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及t，求(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由解(1)t(13t,23t)若P在x轴上，则23t0，t ；若P在y轴上，只需13t0，t；若P在第二象限，则t.(2)因为(1,2)，(33t,33t)若OABP为平行四边形，则，无解所以四边形OABP不能成为平行四边形