1、2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法学习目标：1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在(重点)2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的步骤(难点)自 主 预 习探 新 知1零点存在的判定方法条件：yf(x)在a，b上的图象不间断，f(a)f(b)0.结论：yf(x)在a，b上至少有一个零点，即存在x0(a，b)使f(x0)0.2零点的分类3二分法(1)定义对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点的方法叫做二分法(2
2、)求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使它满足给定的精确度用二分法求此函数零点的一般步骤为：在D内取一个闭区间a0，b0D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0.计算f(x0)和f(a0)，并判断：a如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止b如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0.c如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.取区间a1，b1的中点，则此中点对应的坐标
3、为x1.计算f(x1)和f(a1)，并判断：a如果f(x1)0，则x1就是f(x)的零点，计算终止b如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间a1，x1上，令a2a1，b2x1.c如果f(a1)f(x1)0，则零点位于区间x1，b1上，令a2x1，b2b1.继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当区间的长度bnan不大于给定的精确度时，这个区间an，bn中的任何一个数都可以作为函数yf(x)的近似零点，计算终止思考：二分法需要注意的问题有哪些？提示用二分法求方程近似解应注意的问题为：看清题目的精确度，它决定着二分法步骤的结束在没有公式可用来求方程根时，可联系相
4、关函数，用二分法求零点，用二分法求出的零点一般是零点的近似解，如求f(x)g(x)的根，实际上是求函数yf(x)g(x)的零点，即求曲线yf(x)与yg(x)交点的横坐标并不是所有函数都可用二分法求零点，必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值基础自测1思考辨析(1)二分法所求出的方程的解都是近似解()(2)函数f(x)|x|可以用二分法求零点()(3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后，零点必定在右侧区间内()解析(1).如函数x20用二分法求出的解就是精确解(2).对于函数f(x)|x|，不存在区间(a，b)，使f(a)f(b
5、)0，所以不能用二分法求其零点(3).函数的零点也可能是区间的中点或在左侧区间内答案(1)(2)(3)2函数f(x)的图象如图241所示，则函数f(x)的变号零点的个数为() 【导学号：60462173】图241A0B1C2D3D函数f(x)的图象通过零点时穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f(x)有3个变号零点3下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()A只有A中图象没有穿越x轴，主要考查零点左右两侧图象的变化情况4用二分法研究f(x)x23x1的零点时，第一次经过计算f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0_，第二次计算_，以上横线应填的内容分别是()A(0
6、,0.5)f(0.25)B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75)D(0,0.5)f(0.125)Af(x)x23x1在(0,0.5)上连续并且f(0)0，f(0.5)0，可得其中一个零点x0(0,0.5)，使得f(x0)0.根据二分法思想可知在第二次计算时，应计算f(0.25)，故选A.合 作 探 究攻 重 难二分法的概念(1)已知函数f(x)的图象如图242所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A4,4B3,4C5,4D4,3(2)用二分法求方程x32x50在区间1,3内的根，取区间的中点为x02，那么下一个有根的区间是_图242思路探究(1)可以用二分法求出
7、的零点左右函数值异号；(2)方程的实根就是对应函数f(x)的零点，判断f(2)的符号，在2的左右两边寻找函数值与f(2)异号的自变量解析(1)图象与x轴有4个交点，所以解的个数为4；左、右函数值异号的有3个零点，所以可以用二分法求解的个数为3.(2)设f(x)x32x5，f(1)12560，f(2)234510，f(x)零点所在的区间为(2,3)，方程x32x50有根的区间是(2,3)答案(1)D(2)(2,3)规律方法二分法求函数零点的依据：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点，因此，用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.跟踪训练1下面关
8、于二分法的叙述，正确的是() 【导学号：60462174】A用二分法可求所有函数零点的近似值B用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C二分法无规律可循D只有在求函数零点时才用二分法B只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错求方程的近似解也可以用二分法，故D错函数零点类型的判定判断下列函数是否有变号零点：(1)yx25x14；(2)yx2x1；(3)yx4x310x2x5；(4)yx418x281.思路探究判断函数是否有变号零点主要依据其定义来判定解(1)yx25x14(x2
9、)(x7)，又x2时，y0；2x7时，y0；x7时，y0.函数有两个零点，都是变号零点(2)yx2x1(x)20，此函数没有零点(3)令f(x)x4x310x2x5，f(0)50，f(5)54531052552500，函数在(0,5)内至少有一个变号零点(4)yx418x281(x29)2(x3)2(x3)20，函数有两个二重零点：3，3，它们都是不变号零点规律方法图象连续不间断的函数f(x)在a，b上，若f(a)f(b)0，f(b)0，则函数f(x)在区间(a，b)内() 【导学号：60462175】A一定有零点B一定没有零点C可能有两个零点D至多有一个零点C由于二次函数f(x)x2mxn中
10、的二次项系数大于0，故该函数的图象大致如图所示综合上述图象可知应选C.用二分法求方程的近似解探究问题1函数yf(x)的零点与方程f(x)0的解有何关系？提示：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解2如何把求方程的近似解转化为求函数零点的近似解？提示：设方程为f(x)g(x)，构造函数F(x)f(x)g(x)，求方程f(x)g(x)的近似解问题就可转化为求函数F(x)f(x)g(x)零点的近似解问题用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度为0.1)思路探究构造函数f(x)2x33x3确定初始区间(a，b)二分法求方程的近似解验证|ab|0.1是否成立下结论解令f(x)2x33x
11、3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x
12、30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.规律方法1.根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的求方程f(x)0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解2对于求形如f(x)g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)f(x)g(x)0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解跟踪训练3用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是() 【导学号：60462176】A2,1B1,0C0,1D1,2A由于f(2)30，故可以取区间2,1作为计算的初始区间，用二分法逐次计算当 堂 达 标固 双 基1下列函数中
13、能用二分法求零点的是()C在A和D中，函数虽有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点在B中，函数无零点在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，所以C中的函数能用二分法求其零点2用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是()A|ab|0.1B|ab|0.001D|ab|0.001B据二分法的步骤知当区间长度|ba|小于精确度时，便可结束计算3图象连续不间断的函数f(x)的部分对应值如表所示x123456789f(x)1172163432函数f(x)有零点的区间是_(2,3)，(3,4)，(6,7)由零
14、点存在定理可判断函数f(x)有零点的区间是(2,3)(3,4)(6,7)4若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.406 25)0.054f(1.437 5)0.162那么方程x3x22x20的一个近似根为_(精确到0.1) 【导学号：60462177】14根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，因为此时|1.437 51.406 25|0.031 250.1，故方程的一个近似根可以是1.4.5指出方程x32x10的正根所在的大致区间；解方程x32x10，即x32x1，令F(x)x32x1，f(x)x3，g(x)2x1在同一平面直角坐标系中函数f(x)和g(x)的图象如图，显然它们在第一象限只有1个交点，两函数图象交点的横坐标就是方程的解又F(1)20，F(2)30，方程的正根在区间(1,2)内
