1、1.5.3 微积分基本定理学习目标 1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2.会利用微积分基本定理求函数的积分知识点一 微积分基本定理(牛顿莱布尼茨公式)思考 1 已知函数 f(x)2x1，F(x)x2x，则10(2x1)dx 与 F(1)F(0)有什么关系？思考 2 对一个连续函数 f(x)来说，是否存在唯一的 F(x)，使得 F(x)f(x)?1微积分基本定理对于被积函数 f(x)，如果 F(x)f(x)，那么baf(x)dx，即baF(x)dx2常见的原函数与被积函数关系(1)baCdxCx|ba(C 为常数)(2)baxndx1n1xn1ba(n1)(3)basin xdxcos x
2、|ba.(4)bacos xdxsin x|ba.(5)ba1xdxln|x|ba(ba0)(6)baexdxex|ba.(7)baaxdxaxln aba(a0 且 a1)(8)ba xdx23x32ba(ba0)知识点二 定积分和曲边梯形面积的关系思考 定积分与曲边梯形的面积一定相等吗？设曲边梯形在 x 轴上方的面积为 S 上，在 x 轴下方的面积为 S 下，则(1)当曲边梯形在 x 轴上方时，如图，则baf(x)dx(2)当曲边梯形在 x 轴下方时，如图，则baf(x)dx(3)当曲边梯形在 x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图，则baf(x)dx特别地，若 S 上S 下，则baf(x)
3、dx.类型一 定积分的求法例 1(1)定积分10(2xex)dx 的值为_(2)20|1x2|dx_.(3)212x2x1xcos xdx_.反思与感悟(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；(2)被积函数会有绝对值号，可先求函数的零点，结合积分区间、分段求解跟踪训练 1(1)计算定积分11(x2sin x)dx_.(2)已知 f(x)12x，0 x1，x2，1x2，求20f(x)dx.类型二 利用定积分求参数例 2(1)已知 221(kx1)dx4，则实数 k 的取值范围为_(2)设函数 f(x)ax2c(a0)若
4、10f(x)dxf(x0)，0 x01，则 x0 的值为_反思与感悟(1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提(2)计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积分下限、积分区间与函数 F(x)等概念跟踪训练 2(1)已知 x(0,1，f(x)10(12x2t)dt，则 f(x)的值域是_(2)已知 10(3ax1)(xb)dx0，a，bR，试求 ab 的取值范围 类型三 利用微积分基本定理求面积例 3 求由曲线 y x，y2x，y13x 所围成图形的面积 反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图
5、形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选 x 运算较繁琐，则积分变量可选 y，同时要更换积分上、下限跟踪训练 3(1)如图，阴影部分由曲线 y1x，y2x 与直线 x2，y0 所围成，则其面积为_(2)求由曲线 yx2，直线 y2x 和 yx 围成的图形的面积 1若a1(2x1x)dx3ln 2，则 a_.220(x223x)dx_.3已知 f(x)ax2bxc(a0)，且 f(1)2，f(0)0，10f(x)dx2.求 a，b，c 的值 4已知 f(x)4x2，0 x2，cos x，2x，计算0f(x)dx.5求由曲线 y x，直线 yx2 及 y
6、轴所围成的图形的面积 1求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分2由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取 0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在 x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数提醒：完成作业 1.5.3答案精析问题导学知识点一 思考 1 由定积分的几何意义知，10(2x1)dx12(13)12，F(1)F(0)2，故10(2x1)dxF(1)F(0)思考 2 不唯一，根据导数的性质，
7、若 F(x)f(x)，则对任意实数 C，都有F(x)CF(x)Cf(x)1F(b)F(a)F(b)F(a)知识点二思考 当被积函数 f(x)0 恒成立时，定积分与曲边梯形的面积相等，若被积函数 f(x)0 不恒成立，则不相等(1)S 上(2)S 下(3)S 上S 下 0题型探究例 1(1)e(2)2(3)4ln 2sin 2sin 1解析(1)10(2xex)dx(x2ex)|10(1e)1e.(2)|1x2|1x2，0 x1，x21，1x2.20|1x2|dx10(1x2)dx21(x21)dxx13x31013x3x21237312.(3)212x2x1xcos xdx21(2x11xco
8、s x)dx(x2xln xsin x)|216ln 2sin 2(2sin 1)4ln 2sin 2sin 1.跟踪训练 1(1)23(2)解 20f(x)dx10(12x)dx21x2dx(xx2)|1013x321273133.例 2(1)23，2(2)33解析(1)21(kx1)dx12kx2x2132k1.由 232k14 得23k2.(2)10f(x)dx10(ax2c)dx13ax3cx10a3c.f(x0)ax20c，a3ax20，即 x0 33 或 33.0 x01，x0 33.跟踪训练 2(1)0,2)(2)解 10(3ax1)(xb)dx103ax2(3ab1)xbdxa
9、x3123ab1x2bx10a12(3ab1)b0，即 3ab2(ab)10.由于(ab)2a2b22ab4ab，所以(3ab12)24ab，即 9(ab)210ab10，得(ab1)(9ab1)0，解得 ab19或 ab1.所以 ab 的取值范围是(，191，)例 3 解 画出图形，如图所示解方程组y x，xy2，y x，y13x，及xy2，y13x，得交点分别为(1,1)，(0,0)，(3，1)，所以 S10 x(13x)dx31(2x)(13x)dx10(x13x)dx31(2x13x)dx(23x3216x2)|10(2x12x216x2)|312316(2x13x2)|3156613
10、9213136.跟踪训练 3(1)23ln 2(2)解 由题意，三条曲线围成的面积如图阴影所示由yx2，yx，和yx2，y2x，解出 O，A，B 三点的横坐标分别是 0,1,2.故所求的面积 S10(2xx)dx21(2xx2)dxx2210 x2x3321120(483)(113)76.达标检测12 2.433解 f(1)2，abc2，f(x)2axb，f(0)b0，10f(x)dx10(ax2c)dx13ax3cx1013ac2，由可得 a6，b0，c4.4解 0f(x)dx02f(x)dx2f(x)dx02(4x2)dx2cos xdx，取 F1(x)2x22x，则 F1(x)4x2；取 F2(x)sin x，则 F2(x)cos x.所以02(4x2)dx2cos xdx(2x22x)|20sin x|21221，即0f(x)dx1221.5解 如图所示的阴影部分面积即为所求面积，可求得曲线 y x与直线 yx2 的交点为 A(4,2)S 阴40(xx2)dx23x32 12x22x40163.