1、1.3.3最大值与最小值学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点函数的最大(小)值与导数如图为yf(x)，xa，b的图象思考1观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值思考2结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？思考3函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？思考4怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？1函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值与最小值2求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值
2、的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)上的_；(2)将第(1)步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到f(x)在区间a，b上的最大值与最小值.类型一求函数的最值例1已知函数f(x)x3ax21(aR)，且f(x)在点(，f()处的切线垂直于y轴(1)求实数a的值；(2)求f(x)在区间0,2上的最大值和最小值反思与感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1(1)函数f(x)x2cos x，x，的值域是_(2)已知函数f(
3、x)x3ax23x，若x3是f(x)的极值点，求f(x)在x1，a时的最值类型二由函数的最值求参数例2(1)已知函数f(x)ax36ax2b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的值(2)已知h(x)x33x29x1在区间k,2上的最大值是28，求k的取值范围跟踪训练2(1)若函数f(x)3xx3在区间(a212，a)上有最小值，则实数a的取值范围是_(2)已知函数f(x)xln(xa)的最小值为0，其中a0.求a的值类型三与最值有关的恒成立问题例3设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0)(1)求函数f(x)的最小值h(t)；(2)在(1)的条件下，若h(t)f(x)恒成立af(
4、x)max，af(x)恒成立ag(x)k恒成立kg(x)恒成立f(x)g(x)min0；af(x)能成立af(x)min，af(x)能成立a0时，ln(x1)xx2.反思与感悟(1)解决本题首先要注意函数的定义域，再正确地构造出函数f(x)ln(x1)xx2，把问题转化为求函数f(x)的最值(2)利用函数的最值证明不等式的基本步骤是：将不等式构造成f(x)0(或0时，求证：12x1)的最小值1求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可；若函数在一个开区间内只有一个极值，这个极值就是最值2已知最值求参数时，可先确定参数的值，用参数表示最值时，应分类讨论3“恒成立”问题可转化为函数最
5、值问题提醒：完成作业1.3.3答案精析问题导学知识点思考1极大值为：f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)思考2存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3不一定，也可能是区间端点的函数值思考4比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值1连续不断2(1)极值题型探究例1解(1)依题意：f()0，因为f(x)3x22ax，所以3()22a0，所以a1.(2)由(1)知：f(x)x3x21，f(x)3x22x，令f(x)0x10，x2.因为f(0)1，f()，f(2)3，所以f(x)max，f(x)min3.跟踪训练1(1)1，(2)解f(x)3x2
6、2ax3，由题意知f(3)0，即276a30，解得a5，f(x)3x210x3.令f(x)0，即3x210x30，解得x3或x(舍去)f(3)9，f(1)1，f(5)15，当x1,5时，f(x)的最小值为9，最大值为15.例2解(1)由题设知a0，否则f(x)b为常函数，与题设矛盾求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0，且x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16
7、a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.(2)h(x)x33x29x1，h(x)3x26x9.令h(x)0，得x13，x21，当x变化时，h(x)及h(x)的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)h(x)00h(x)284当x3时，取极大值28；当x1时，取极小值4.而h(2)3a.当ax1a时，f(x)1a时，f(x)0，f(x)在(1a，)上单调递增因此，f(x)在x1a处取得最小值，由题意知f(1a)1a0，故a1.例3解(1)f(x)t(xt)2t3t1(xR，t0)，当xt时，f(x)的
8、最小值为f(t)t3t1，即h(t)t3t1.(2)令g(t)h(t)(2t)t33t1.由g(t)3t230及t0，得t1，当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0,1)1(1,2)g(t)0g(t)极大值由上表可知当t1时，g(t)有极大值g(1)1.又在定义域(0,2)内，g(t)有唯一的极值点，函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值，即g(t)max1.h(t)2tm在(0,2)内恒成立，即g(t)m在(0,2)内恒成立，当且仅当g(t)max11时上式成立，实数m的取值范围是(1，)跟踪训练3(1)20(2)解由题意知f(x)g(x)在区间1,2
9、上恒成立，即x(x2a)ln x，从而a0，所以h(x)在1,2上单调递增，从而h(x)minh(1)1，所以a0时，f(x)f(0)0，即当x0时，ln(x1)xx2.跟踪训练4证明构造函数f(x)12xe2x(x0)，则f(x)22e2x.x0，e2x1，f(x)22e2x0，f(x)12xe2x在(0，)上单调递减，f(x)f(0)又f(0)120e00，f(x)0，即12xe2x0，12xe2x.达标检测12.713.1，)4解f(x)(r1)(1x)r(r1)(r1)(1x)r1，令f(x)0，解得x0.当1x0时，f(x)0时，f(x)0，f(x)在(0，)内为增函数故函数f(x)在x0处取得最小值f(0)0.