1、第三章 导数及其应用第一部分 五年高考荟萃2009年高考题一、选择题1.(2009年广东卷文)函数的单调递增区间是( )A. B.(0,3) C.(1,4) D. 答案 D解析 ,令,解得,故选D2.（2009全国卷理） 已知直线y=x+1与曲线相切，则的值为( ) A.1 B. 2 C.-1 D.-2答案 B解:设切点，则,又.故答案 选B 3.（2009安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是 ( )A. B. C. D. 答案 A解析 由得几何，即，切线方程，即选A4.（2009江西卷文）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于( ) A或 B或 C或 D或答案 A解析 设过
2、的直线与相切于点，所以切线方程为即，又在切线上，则或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得，所以选.5.（2009江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )ABCD答案 A解析 由已知，而，所以故选A力。6.（2009全国卷理）曲线在点处的切线方程为 ( ) A. B. C. D. 答案 B解 ,故切线方程为,即 故选B.7.（2009湖南卷文）若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( )yababaoxoxybaoxyoxybA B C D解析 因为函数的导函数在区间上是增函数，即在区间上各点处的斜率是递增的，由图易知选A. 注意C中为常数
3、噢.8.（2009辽宁卷理）若满足2x+=5, 满足2x+2(x1)=5, +( )A. B.3 C. D.4答案 C解析 由题意 所以, 即2 令2x172t,代入上式得72t2log2(2t2)22log2(t1) 52t2log2(t1)与式比较得tx2 于是2x172x29.（2009天津卷理）设函数则( )A在区间内均有零点。 B在区间内均无零点。C在区间内有零点，在区间内无零点。D在区间内无零点，在区间内有零点。 【考点定位】本小考查导数的应用，基础题。解析 由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择D。二、填空题10.（2009辽
4、宁卷文）若函数在处取极值，则 解析 f(x) f(1)0 a3答案 311.若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .解析 解析 由题意该函数的定义域，由。因为存在垂直于轴的切线，故此时斜率为，问题转化为范围内导函数存在零点。解法1 （图像法）再将之转化为与存在交点。当不符合题意，当时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当如图2，此时正好有一个交点，故有应填或是。解法2 （分离变量法）上述也可等价于方程在内有解，显然可得12.（2009江苏卷）函数的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。 ，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。13.（2009江苏卷）在平面直角
5、坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为 . 解析 考查导数的几何意义和计算能力。 ，又点P在第二象限内，点P的坐标为（-2，15）答案 : 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.14.（2009福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_.答案 解析 由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。15.(2009陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为 . 答案 -216.（2009四川卷文）设是已知平面
6、上所有向量的集合，对于映射，记的象为。若映射满足：对所有及任意实数都有，则称为平面上的线性变换。现有下列命题：设是平面上的线性变换，则 若是平面上的单位向量，对，则是平面上的线性变换； 对，则是平面上的线性变换； 设是平面上的线性变换，则对任意实数均有。其中的真命题是 （写出所有真命题的编号）答案 解析 ：令，则故是真命题同理，：令，则故是真命题：，则有是线性变换，故是真命题：由，则有是单位向量，0，故是假命题【备考提示】本小题主要考查函数，对应及高等数学线性变换的相关知识，试题立意新颖，突出创新能力和数学阅读能力，具有选拔性质。17.（2009宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为
7、。答案 解析 ，斜率k3，所以，y13x，即三、解答题18.（2009全国卷理）本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）设函数在两个极值点，且（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(II)证明：分析（I）这一问主要考查了二次函数根的分布及线性规划作可行域的能力。大部分考生有思路并能够得分。由题意知方程有两个根则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的
8、技巧性。解析 由题意有又消去可得又，且 19.（2009浙江文）（本题满分15分）已知函数 （I）若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是，求的值； （II）若函数在区间上不单调，求的取值范围解析 （）由题意得 又 ，解得，或 （）函数在区间不单调，等价于 导函数在既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数在上存在零点，根据零点存在定理，有 ， 即： 整理得：，解得20.（2009北京文）（本小题共14分）设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区间与极值点.解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲
9、线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.21.（2009北京理）（本小题共13分）设函数（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力（）,曲线在点处的切线方程为.（）由，得， 若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 若，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减，（）由（）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递
10、增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.22.(2009山东卷文)（本小题满分12分）已知函数,其中 （1）当满足什么条件时,取得极值?（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.解: (1)由已知得,令,得,要取得极值,方程必须有解,所以,即, 此时方程的根为,所以 当时,x(-,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.当时, x(-,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以在x 1
11、, x2处分别取得极大值和极小值.综上,当满足时, 取得极值. (2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.即恒成立, 所以设,令得或(舍去), 当时,当时,单调增函数;当时,单调减函数,所以当时,取得最大,最大值为.所以当时,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以综上,当时, ; 当时, 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题.22.设函数，其中常数a1()讨论f(x)的单调性
12、;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解析 （I） 由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数。 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。 （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值。由假设知 即 解得 1a6故的取值范围是（1，6）23.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设（1）若曲线上
13、的点到点的距离的最小值为，求的值；（2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点 解析 （1）依题可设 ()，则； 又的图像与直线平行 ， ， 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值当时， 解得 当时， 解得 （2）由()，得 当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即；当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点.24.（2009安徽卷理）（本小题满分12分） 已知函数，讨论的单调性.本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方
14、法和运算求解的能力。本小题满分12分。解析 的定义域是(0,+), 设,二次方程的判别式. 当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。 当，即时，方程有两个不同的实根,.+0_0+单调递增极大单调递减极小单调递增此时在上单调递增, 在是上单调递减, 在上单调递增.25.（2009安徽卷文）（本小题满分14分） 已知函数，a0， （）讨论的单调性； （）设a=3，求在区间1，上值域。期中e=2.71828是自然对数的底数。【思路】由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上
15、的值域。解析 (1)由于令 当,即时, 恒成立.在(,0)及(0,)上都是增函数.当,即时 由得或 或或又由得综上当时, 在上都是增函数.当时, 在上是减函数, 在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又 函数在上的值域为 26.（2009江西卷文）（本小题满分12分）设函数 （1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解析 (1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.27.（
16、2009江西卷理）（本小题满分12分）设函数(1)求函数的单调区间； (1)若，求不等式的解集解析 (1), 由,得 .因为 当时,； 当时,； 当时,；所以的单调增区间是:； 单调减区间是: .(2)由 , 得：. 故：当 时, 解集是：；当 时，解集是： ；当 时, 解集是：. 28.（2009天津卷文）（本小题满分12分）设函数（）当曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；（）已知函数有三个互不相同的零点0，且。若对任意的，恒成立，求m的取值范围。答案 （1）1（2）在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=解析 解析 当所以曲线处的切线斜率为1. （
17、2）解析 ，令，得到因为当x变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值极大值在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解析 由题设， 所以方程=0由两个相异的实根，故，且，解得因为若，而，不合题意若则对任意的有则又，所以函数在的最小值为0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m的取值范围是【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义，导数的运算，以及函数与方程的根的关系解不等式等基础知识，考查综合分析问题和解决问题的能力。30.(2009湖北卷理)(本小题满分14分) （注意：在试题卷上作答无效） 在R上定义运算（b、c为实常数）。记，.令. 如果函
18、数在处有极什,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。 解 当得对称轴x=b位于区间之外 此时由 若于是若，则，于是综上，对任意的b、c都有而当，时，在区间上的最大值 故对任意的b，c恒成立的k的最大值为 31.（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是。（I）求函数的解析式；（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.解析 （I）由已知,切点为(2,0),故有,即又，由已知得联立，解得.所以函数的解析式为 4分（II）因为令当函数有极值时，则，方程有
19、实数解， 由，得.当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值当时，有两个实数根情况如下表：+0-0+极大值极小值所以在时，函数有极值；当时，有极大值；当时，有极小值； 12分32.（2009全国卷理）(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： 解: （I） 令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数； 当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减。 故 333.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）已知函数的导函数的图象关于直线x=2对称.
20、（）求b的值；（）若在处取得最小值，记此极小值为，求的定义域和值域。解: （）.因为函数的图象关于直线x=2对称，所以，于是 （）由（）知，.（）当c 12时，此时无极值。 （ii）当c12时，有两个互异实根,.不妨设，则2.当x时， 在区间内为增函数； 当x时，在区间内为减函数;当时，在区间内为增函数. 所以在处取极大值，在处取极小值.因此，当且仅当时，函数在处存在唯一极小值，所以.于是的定义域为.由 得.于是 .当时，所以函数在区间内是减函数，故的值域为 35.（2009福建卷理）（本小题满分14分）已知函数,且 (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，
21、记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（II）若存在点Q(n ,f(n), x n1时, 当x变化时，与的变化情况如下表：x+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为 综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.(
22、)由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。观察的图象，有如下现象：当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp的m正负有着密切的关联；Kmp=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；线段MP的斜率Kmp当Kmp=0时，解得直线MP的方程为 令当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。当时，
23、.所以存在使得即当MP与曲线有异于M,P的公共点 综上，t的最小值为2.（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为解法二：（1）同解法一.（2）由得，令，得由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N() () 直线MP的方程为由得线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的r的最小值为2.36.（2009辽宁卷文）
24、（本小题满分12分）设，且曲线yf（x）在x1处的切线与x轴平行。(2)求a的值，并讨论f（x）的单调性；(1)证明：当 解析 （）.有条件知，故. 2分 于是.故当时，0； 当时，0.从而在，单调减少，在单调增加. 6分（）由（）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为. 从而对任意，有. 10分 而当时，. 从而 12分37.（2009辽宁卷理）（本小题满分12分）已知函数f(x)=xax+(a1)，。（1）讨论函数的单调性； （2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解析 (1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调增加。(i
25、ii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数 则由于1a1,证明对任意的c,都有M2: ()若MK对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识，考察综合运用数学知识进行推理论证的能力和份额类讨论的思想（满分14分）（I）解析 ，由在处有极值可得解得或若，则，此时没有极值；若，则当变化时，的变化情况如下表：10+0极小值极大值当时，有极大值，故，即为所求。（）证法1：当时，函数的对称轴位于区间之外。在上的最值在两端点处取得故应是和中较大的一个即证法2（反证法）：因为，所以函数的对称轴位于区间之外，在上的最值在两端点处取得。故应是和中较大
26、的一个假设，则 将上述两式相加得：，导致矛盾，（）解法1：（1）当时，由（）可知；（2）当时，函数）的对称轴位于区间内， 此时由有若则，于是若，则于是综上，对任意的、都有而当时，在区间上的最大值故对任意的、恒成立的的最大值为。 解法2：（1）当时，由（）可知； （2）当时，函数的对称轴位于区间内，此时 ，即下同解法143.（2009宁夏海南卷文）（本小题满分12分）已知函数.(1) 设，求函数的极值；(2) 若，且当时，12a恒成立，试确定的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
27、（21）解析 （）当a=1时，对函数求导数，得 令 列表讨论的变化情况：（-1，3）3+00+极大值6极小值-26所以，的极大值是，极小值是（）的图像是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称.若上是增函数，从而 上的最小值是最大值是由于是有 由所以 若a1,则不恒成立.所以使恒成立的a的取值范围是 44.（2009天津卷理）（本小题满分12分） 已知函数其中(1)当时，求曲线处的切线的斜率； (2)当时，求函数的单调区间与极值。 本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。（I）解析 （II） 以下分两种情况讨
28、论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 45.（2009四川卷理）（本小题满分12分）已知函数。（I）求函数的定义域，并判断的单调性；（II）若（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。解析 （）由题意知当当当.（4分）（）因为由函数定义域知0,因为n是正整数，故0a1.所以 （）令 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值 当时，有两个实根当x变化时，、的变化情况如下表
29、所示：+0-0+极大值极小值的极大值为，的极小值为 当时，在定义域内有一个实根， 同上可得的极大值为综上所述，时，函数有极值；当时的极大值为，的极小值为当时，的极大值为 46.（2009福建卷文）（本小题满分12分）已知函数且（I）试用含的代数式表示；（）求的单调区间； （）令，设函数在处取得极值，记点，证明：线段与曲线存在异于、的公共点；解法一：（I）依题意，得由得（）由（I）得（ 故 令，则或 当时， 当变化时，与的变化情况如下表：+单调递增单调递减单调递增由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为由时，此时，恒成立，且仅在处，故函数的单调区间为R当时，同理可得函数的单调增区间为和，单调减
30、区间为综上： 当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为R；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为（）当时，得 由，得 由（）得的单调增区间为和，单调减区间为 所以函数在处取得极值。 故 所以直线的方程为 由得 令 易得，而的图像在内是一条连续不断的曲线， 故在内存在零点，这表明线段与曲线有异于的公共点解法二：（I）同解法一（）同解法一。（）当时，得，由，得由（）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值， 故所以直线的方程为 由得解得所以线段与曲线有异于的公共点 47.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。48.（本题满
31、分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（1） 16分49.（2009重庆卷理）（本小题满分13分，（）问5分，（）问8分）设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线（）求的值；（）若函数，讨论的单调性 解（）因又在x=0处取得极限值，故从而 由曲线y=在（1，f（1）处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（）由（）知，令（1）当（2）当K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根 当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数50.（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（）问7分，（）问5分）已知为偶函数，曲线过点，（）求曲线有
32、斜率为0的切线，求实数的取值范围；（）若当时函数取得极值，确定的单调区间解: （）为偶函数,故即有 解得又曲线过点,得有从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得 所以实数的取值范围:（）因时函数取得极值,故有即,解得又 令,得当时, ,故在上为增函数当时, ,故在上为减函数当时, ,故在上为增函数 20052008年高考题一、选择题1.（2008年全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）A2BCD答案 D2.（2008年 湖北卷7）若上是减函数，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 答案 C3.（2008年福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)
33、的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是（ ）答案 D4.（2008年辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为 （ ）ABCD答案 A5.（2007年福建理11文）已知对任意实数，有，且时，则时 （ ）A BC D答案 B6.（2007年海南理10）曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 （ ）A 答案 D7.（2007年江苏9）已知二次函数的导数为，对于任意实数都有，则的最小值为 （ ）A B C D答案 C8.（2007年江西理9）设在内单调递增，则是的 （ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件
34、D既不充分也不必要条件答案 B9.（2007年辽宁理12）已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是（ ）A0是的极大值，也是的极大值B0是的极小值，也是的极小值C0是的极大值，但不是的极值D0是的极小值，但不是的极值答案 C10.（2006年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点 （ ）A1个 B2个 C3个 D 4个答案 A解析 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，函数在开区间内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.二、填空题11.（2008年全国二
35、14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 答案 212.（2008年江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b 2BCAyx1O34561234答案 ln2114.（2008年北京卷12）如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2； （用数字作答）答案 214.（2007年广东文12）函数的单调递增区间是答案 15.（2007年江苏13）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 答案 3216.（2007年湖北文13）已知函数的图象在点处的切线方程是，则 答案 317.（2007年湖南理13）函数在区间上的最小值是 答案 18.（2007年浙江文15）曲线在点处的切线方程是 答案 19.（
36、2006年湖北卷）半径为r的圆的面积S(r)r2,周长C(r)=2r，若将r看作(0，)上的变量，则2r ，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子： 式可以用语言叙述为： 。答案 V球，又 故式可填，用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数。”20.(2005年重庆卷)曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为_。答案 8/3三、解答题21.（2008年全国一19）已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围解析 （1）求导：当时，在上递增
37、当，求得两根为即在递增，递减，递增（2），且解得：22.（2008年北京卷18）已知函数，求导函数，并确定的单调区间解析 令，得当，即时，的变化情况如下表：0当，即时，的变化情况如下表：0所以，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当时，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减当，即时，所以函数在上单调递减，在上单调递减23.（2008年天津卷21）（本小题满分14分）已知函数（），其中（）当时，讨论函数的单调性；（）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综
38、合分析和解决问题的能力满分14分（）解析 当时，令，解得，当变化时，的变化情况如下表：02000极小值极大值极小值所以在，内是增函数，在，内是减函数（）解析 ，显然不是方程的根24.（2005年安徽卷）设函数，已知是奇函数。（）求、的值。（）求的单调区间与极值。解 （），.从而 是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。25.( 2005年全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接
39、而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解 设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=(90-2x)(48-2x)x,(0V24) 5分 =4x3-276x2+4320xV=12x2-552x+4320 7分由V=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36x0,10x36时，V36时，V0,所以,当x=10,V有极大值V(10)=196010分又V(0)=0,V(24)=0, 11分所以当x=10,V有最大值V(10)=1960 12分第二部分 三年联考汇编2009年联考题一、选择题1.(2009威海二模)右图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象，
40、则函数的零点所在的区间是 （ ）A BC D答案 C2.（2009天津重点学校二模）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立， 若， ，则的大小关系是（ ）A B C D答案 C3.（2009嘉兴一中一模）下列图像中有一个是函数的导数 的图像，则（ ）A. B. C. D.或答案 B244.（2009年乐陵一中）图中,阴影部分的面积是 ( )A.16 B.18 C.20 D.22答案 B二、填空题2xyO5.(北京市东城区2009年3月高中示范校高三质量检测理)已知函数f(x)的定义域为2，+)，部分对应值如下表,为f(x)的导函数，函数的图象如右图所示，若两正数a，b满足，则的取值范围
41、是 答案 6.(湖北省黄冈市2009年3月份高三年级质量检测文)设函数(c0)单调递增区间是 .答案 三、解答题7.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）已知函数，其中为实数.() 若在处取得的极值为，求的值;（）若在区间上为减函数，且，求的取值范围.解 ()由题设可知:且， 2分即，解得 4分（）， 5分又在上为减函数， 对恒成立， 6分即对恒成立.且， 10分即，的取值范围是 12分8.（2009厦门大同中学）设函数（1）求函数的极大值；（2）若时，恒有成立（其中是函数的导函数），试确定实数a的取值范围解 （1），且，1分当时，得；当时，得；的单调递增区间为；的单调递减区间为和3分故当时，
42、有极大值，其极大值为 4分（2），当时，在区间内是单调递减6分，此时，9分当时，即 11分此时，13分综上可知，实数的取值范围为 14分 20072008年联考题一、选择题1.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数y=2x3-3x2-12x+5在区间0,3上最大值与最小值分别是 （ ）w.A. 5,-15 B. 5,-4 C. -4,-15 D. 5,-16 答案 A2.(安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)若存在，则不可能为（ ）A；答案 B3.(江西省五校2008届高三开学联考)设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是( )ABC D 答案 C4.(江西省五校2
43、008届高三开学联考)已知 ( )A4 B8 C0 D不存在答案 Bxyx4OoO5.(湖南省株洲市2008届高三第二次质检)已知函数的导函数的图像如下，则 （ ）A函数有1个极大值点，1个极小值点B函数有2个极大值点，2个极小值点C函数有3个极大值点，1个极小值点D函数有1个极大值点，3个极小值点答案 A二、填空题6.（2008年高考数学各校月考）定积分的值是 .答案 3 7.(四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知函数在x1时有极值0，则m_；n_；本题主要考查函数、导数、极值等基本概念和性质0答案 m2，n9.解析 3x26mxn由题意，36mn0f(1)13mnm20解得或但
44、m1，n3时，3x26x33(x1)20恒成立即x1时不是f(x)的极值点，应舍去8.(北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_ _答案 三、解答题8.(2007年江苏省淮安市)已知函数F(x)=|2xt|x3+x+1（xR，t为常数，tR）（1）写出此函数F(x)在R上的单调区间；（2）若方程F(x)m=0恰有两解，求实数m的值。解 （1） 由3x2+3=0 得x1=1，x2=1，而3x210恒成立 i) 当1时，F(x)在区间(，)上是减函数在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+)上是减函数iii) 当1时，F(x)在(，+)上是减函数
45、 （2）由（1）可知i) 当1时，F(x)在x=1处取得极小值1t，在x=1处取得极大值3t，若方程F(x)m=0恰有两解，此时m=1t或m=3tii) 当11，F(x)在x=处取值为，在x=1处取得极大值3t，若方程F(x)m=0恰有两解，此时m=或m=3t9.(2008年四川省成都市一诊)已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（）求f(0)、f(-1)的值；（）解关于x的不等式：，其中解 (1)由f(mn)f(m)n得：f(0)f(00)f(0)0函数f(x)的图象均在x轴的上方,f(0)0,f(0)13分f(2)f(12)f(1)24，又f(x)0f(1)2,f(1)f(1)23分(2)又当时，其导函数恒成立，在区间上为单调递增函数当时，；当时，；当时，综上所述：当时，；当时，；当时，。
