1、各地解析分类汇编（二）系列:数 列 21.【山东省师大附中2013届高三第四次模拟测试1月理】（本小题满分12分）已知数列是等差数列，是等比数列，且，（1）求数列和的通项公式（2）数列满足，求数列的前项和【答案】（）设的公差为，的公比为由，得，从而因此 3分又， 从而，故 6分（）令9分两式相减得，又 12分2.【山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理】(本小题满分12分) 已知数列的前n项和为，.()求数列的通项;()设的前项和为，证明:.【答案】() , 分 分 6分（）, 8分 相减得，,分 . 12分3.【天津市新华中学2013届高三第三次月考理】（本小题满分18分）设数列的
2、前项和为，且满足=2-，(=1，2，3，)()求数列的通项公式；()若数列满足=1，且，求数列的通项公式；(),求的前项和 【答案】解: ()n=1时，a1+S1=a1+a1=2a1=1 Sn=2-an即an+Sn=2 an+1+Sn+1=2两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0即an+1-an+an+1=0，故有2an+1=anan0 (nN*)所以，数列an为首项a1=1，公比为的等比数列.an=(nN*)bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，) (3)所以.4.【云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理】(本小题满分12分)根据如图的程序框图
3、，将输出的值依次分别记为；.（1）写出数列的通项公式（不要求写出求解过程）；（2）求. 【答案】解：（1）-4分（2）两式相减,则 -12分5.【云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理】（本小题满分12分）已知数列满足的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）若数列的通项公式满足，求数列的前项和。【答案】由，当时得， 当时得，又满足上式，所以：数列的通项公式为. 由. 所以，得 相减得：.6.【山东省青岛一中2013届高三1月调研理】（本小题满分12分）在数列中，（1）求数列的通项；（2）若存在，使得成立，求实数的最小值.【答案】解：（1） 6分（2）由（1）可知当时，设 8分则又及
4、，所以所求实数的最小值为 12分7.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】（本小题满分12分）已知数列的前项和是，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求适合方程 的正整数的值【答案】（1） 当时，由，得 1分当时， ， ， 2分，即 3分是以为首项，为公比的等比数列4分故 6分（2），8分 9分11分解方程，得 12分8.【北大附中河南分校2013届高三第四次月考数学（理）】（本小题满分12分）设正项等比数列的首项前n项和为，且（1）求的通项；（2）求的前n项【答案】解：（1）由 得 分即可得分因为，所以 解得， 分因而 分（2）因为是首项、公比的等比数列，故 8分则数列的前n
5、项和 前两式相减，得 即 12分9.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）已知为等比数列，其前项和为，且.（）求的值及数列的通项公式；（）若，求数列的前项和.【答案】 解：（）当时，.1分当时，.3分因为是等比数列，所以，即.5分所以数列的通项公式为.6分（）由（）得.则. . -得 9分 .12分所以.13分10.【北京市东城区普通高中示范校2013届高三12月综合练习（一）理】（本小题满分13分）已知数列的前项和为,数列满足，（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.【答案】解（1） 4分 +3 ， +3，两式作差：3-=2 10分(2) = 13分11.【北京
6、市丰台区2013届高三上学期期末理】（本题共13分）已知曲线，是曲线C上的点，且满足，一列点在x轴上，且是坐标原点）是以为直角顶点的等腰直角三角形（）求、的坐标；（）求数列的通项公式；（）令，是否存在正整数N，当nN时，都有，若存在，求出N的最小值并证明；若不存在，说明理由【答案】解：（）B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形， 直线B0A1的方程为y=x 由 得，即点A1的坐标为（2，2），进而得.3分（）根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可 得 ，即 （*） .5分 和均在曲线上， ，代入（*）式得， ， .7分 数列是以为首项，2为公差的等差数列， 其通项公式为() .8
7、分（）由（）可知， ， 9分 ， = =.10分 .11分（方法一）-=当n=1时不符合题意， 当n=2时，符合题意， 猜想对于一切大于或等于2的自然数，都有（） 观察知，欲证（）式，只需证明当n2时，n+12n 以下用数学归纳法证明如下：(1)当n=2时，左边=3，右边=4，左边右边；(2)假设n=k（k2）时，(k+1)2k,当n=k+1时，左边=（k+1）+12k+12k+2k=2k+1=右边,对于一切大于或等于2的正整数，都有n+12n ，即成立 综上，满足题意的n的最小值为2. .13分 （方法二）欲证成立，只需证明当n2时，n+12n ， 并且， 当时，.12.【北京市海淀区北师特
8、学校2013届高三第四次月考理】（本小题共13分）数列中，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求【答案】解：(1)为常数列，an是以为首项的等差数列，设，,，(2)，令，得当时，；当时，；当时，当时，当时，13.【北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理】（本小题共14分）在单调递增数列中，不等式对任意都成立.（）求的取值范围；（）判断数列能否为等比数列？说明理由；（）设，求证：对任意的，.【答案】（）解：因为是单调递增数列，所以，.令，所以. 4分 （）证明：数列不能为等比数列.用反证法证明：假设数列是公比为的等比数列，.因为单调递增，所以.因为，都成立.所以， 因为，所以，使得
9、当时，.因为.所以，当时，与矛盾，故假设不成立.9分（）证明：观察： ，猜想：.用数学归纳法证明：（1）当时，成立；（2）假设当时，成立；当时， 所以. 根据（1）（2）可知，对任意，都有，即.由已知得，.所以.所以当时，. 因为.所以对任意，.对任意，存在，使得，因为数列单调递增，所以，.因为，所以. 14分14.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）已知函数（）求的定义域及最小正周期；（）求在区间上的最大值和最小值【答案】（）因为，所以.所以函数的定义域为 2分 5分 7分 （）因为，所以 9分当时，即时，的最大值为； 11分当时，即时，的最小值为. 13分15.【
10、北京市石景山区2013届高三上学期期末理】（本小题共13分）定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”（）已知是首项为，公差为的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求的取值范围；（）已知数列的首项为，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；（）若是（）中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项?(解题中可用以下数据 :)【答案】（）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。因为，显然有，由得解得.所以当时，是数列的保三角形函数. 3分（）由，得，两式相减得，所以 5分
11、经检验，此通项公式满足.显然,因为,所以是三角形数列. ks5u8分（）, ks5u所以单调递减.由题意知，且,由得，解得,由得，解得.即数列最多有26项. ks5u13分16.【贵州省遵义四中2013届高三第四次月考理】（满分12分）设数列的前项和为.已知，（）求数列的通项公式；（）记为数列的前项和，求 【答案】解：（）由题意，则当时，.两式相减，得（）. 2分又因为，4分所以数列是以首项为，公比为的等比数列，5分所以数列的通项公式是（）. 6分（）因为，所以， 8分两式相减得， 10分整理得， (). 12分17.【山东省诸城市2013届高三12月月考理】（本题满分12分）等比数列an为递增数列，且，数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn=bl+b2 +b22+b2n一1，求Tn。【答案】18.【山东省诸城市2013届高三12月月考理】（本小题满分13分）已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且Sn= (nN*),Cn=。（1）求数列an，bn的通项公式；（2）求证：cn+1cn；（3）求数列cn的前n项和Tn【答案】
