1、4.3三角函数的图象和性质挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.三角函数的图象及其变换能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间-2,2内的单调性.了解函数y=Asin(x+)的物理意义;能画出y=Asin(x+)的图象,了解参数A,对函数图象变化的影响.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问题2017课标,9,5分三角函数的图象变换诱导公式2016课标,14,5分三角函数的图象
2、变换两角和、差的正弦公式与辅助角公式2018课标,10,5分三角函数的单调性两角和的余弦公式2.三角函数的性质及其应用2017课标,6,5分余弦函数的图象和性质三角恒等变换2016课标,12,5分三角函数的性质分析解读通过分析近几年的高考试题可以看出,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,难度不大,命题呈现出如下几点:1.研究三角函数必须在定义域内进行,要特别关注三角函数的定义域;2.求三角函数的单调区间,要利用公式将三角函数式化为一个角的一种函数的形式,再利用整体换元的思想,通过解不等式得出函数的单调区间;3.三角函数的单调性、奇偶性、周期性及最值是主要考点,重点考查恒等变换及数形结合
3、能力.一般分值为5分或12分.破考点【考点集训】考点一三角函数的图象及其变换1.(2018湖南永州第一次模拟,10)函数y=2cos2x+6的部分图象是() 答案A2.(2017河南百校联考,6)已知:将函数f(x)=tanx+3(210)的图象向右平移6个单位后与f(x)的图象重合,则=()A.9B.6C.4D.8答案B3.(2018广东模拟考试(二),13)将函数f(x)=2sin(2x+)(0)的图象向左平移3个单位长度,得到偶函数g(x)的图象,则的最大值是.答案- 6考点二三角函数的性质及其应用1.(2018湖南三湘名校教育联盟第三次联考,5)若f(x)为偶函数,且在0,2上满足:对
4、任意x10,则f(x)可以为()A. f(x)=cosx+52B. f(x)=|sin(+x)|C. f(x)=-tan xD. f(x)=1-2cos22x答案B2.(2017河北石家庄一模,7)若函数f(x)=3sin(2x+)+cos(2x+)(00)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若MPN=60,则该函数的最小正周期是()A.3B.4C.5D.6答案D炼技法【方法集训】方法1由三角函数图象确定函数解析式的方法1.(2016课标,3,5分)函数y=Asin(x+)的部分图象如图所示,则() A.y=2sin2x-6B.y=2sin2x-3C.y=2sinx+6D.y=
5、2sinx+3答案A2.(2017广东深圳第二次调研,9)已知函数f(x)=2sin(x+)0,|0)的图象与函数g(x)=cos(2x+)|0,|2,x=-4为f(x)的零点,x=4为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在18,536单调,则的最大值为()A.11B.9C.7D.5答案B4.(2015课标,8,5分,0.698)函数f(x)=cos(x+)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A.k-14,k+34,kZ B.2k-14,2k+34,kZC.k-14,k+34,kZ D.2k-14,2k+34,kZ答案DB组自主命题省(区、市)卷题组考点一三角函数的图象及其变换1
6、.(2018天津,6,5分)将函数y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度,所得图象对应的函数() A.在区间34,54上单调递增B.在区间34,上单调递减C.在区间54,32上单调递增D.在区间32,2上单调递减答案A2.(2016北京,7,5分)将函数y=sin2x-3图象上的点P4,t向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数y=sin 2x的图象上,则() A.t=12,s的最小值为6B.t=32,s的最小值为6C.t=12,s的最小值为3D.t=32,s的最小值为3答案A考点二三角函数的性质及其应用1.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(x+),xR,其
7、中0,|0).若f(x)f4对任意的实数x都成立,则的最小值为.答案233.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+)-22的图象关于直线x=3对称,则的值是.答案- 64.(2017山东,16,12分)设函数f(x)=sinx-6+sinx-2,其中03.已知f 6=0.(1)求;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移4个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在-4,34上的最小值.解析本题考查了y=Asin(x+)的图象和性质.(1)因为f(x)=sinx-6+sinx-2,所以f(x)=32sin x-12co
8、s x-cos x=32sin x-32cos x=312sinx-32cosx=3sinx-3.由题设知f6=0,所以6-3=k,kZ.故=6k+2,kZ,又00,|0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为512,0,求的最小值.解析(1)根据表中已知数据,解得A=5,=2,=- 6.数据补全如下表:x+02322x123712561312Asin(x+)050-50且函数解析式为f(x)=5sin2x-6.(2)由(1)知 f(x)=5sin2x-6,得g(x)=5sin2x+2-6.因为y=sin x的对称中心为(k,0),kZ.令2x+2-6=k,kZ
9、,解得x=k2+12-,kZ.由于函数y=g(x)的图象关于点512,0中心对称,令k2+12-=512,kZ,解得=k2-3,kZ.由0可知,当k=1时,取得最小值6.考点二三角函数的性质及其应用1.(2016浙江,5,5分)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期()A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关答案B2.(2016山东,7,5分)函数f(x)=(3sin x+cos x)(3cos x-sin x)的最小正周期是()A.2B.C.32D.2答案B3.(2015湖南,9,5分)将函数f(x)=si
10、n 2x的图象向右平移02个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=3,则=() A.512B.3C.4D.6答案D4.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.10答案C5.(2015安徽,10,5分)已知函数f(x)=Asin(x+)(A,均为正的常数)的最小正周期为,当x=23时,函数f(x)取得最小值,则下列结论正确的是()A. f(2) f(-2) f(0)B. f(0) f(2) f(
11、-2)C. f(-2) f(0) f(2)D. f(2) f(0)0,函数f(x)=sinx+4在2,单调递减,则的取值范围是()A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2答案A7.(2017课标,14,5分)函数f(x)=sin2x+3cos x-34x0,2的最大值是.答案18.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是,单调递减区间是.答案;38+k,78+k(kZ)9.(2014北京,14,5分)设函数f(x)=Asin(x+)(A,是常数,A0,0).若f(x)在区间6,2上具有单调性,且f2=f23=-f6,则f(x)的最
12、小正周期为.答案10.(2014上海,1,4分)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是.答案211.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x0,.(1)若ab,求x的值;(2)记f(x)=ab,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解析(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),ab,所以-3cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x0.于是tan x=-33.又x0,所以x=56.(2)f(x)=ab=(cos x,sin x)(3,-3)=3cos
13、 x-3sin x=23cosx+6.因为x0,所以x+66,76,从而-1cosx+632.于是,当x+6=6,即x=0时, f(x)取到最大值3;当x+6=,即x=56时, f(x)取到最小值-23.12.(2017浙江,18,14分)已知函数f(x)=sin2x-cos2x-23sin xcos x(xR).(1)求f 23的值;(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.解析本题主要考查三角函数的性质及其变换等基础知识,同时考查运算求解能力.(1)由sin23=32,cos23=-12,f23=322-122-2332-12,得f23=2.(2)由cos 2x=cos2x-sin2x与
14、sin 2x=2sin xcos x得f(x)=-cos 2x-3sin 2x=-2sin2x+6.所以f(x)的最小正周期是.由正弦函数的性质得2+2k2x+632+2k,kZ,解得6+kx23+k,kZ.所以, f(x)的单调递增区间是6+k,23+k(kZ).13.(2015北京,15,13分)已知函数f(x)=2sinx2cosx2-2sin2x2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,0上的最小值.解析(1)因为f(x)=22sin x-22(1-cos x)=sinx+4-22,所以f(x)的最小正周期为2.(2)因为-x0,所以-34x+44.当x+4=-2,即
15、x=-34时, f(x)取得最小值.所以f(x)在区间-,0上的最小值为f-34=-1-22.14.(2015天津,15,13分)已知函数f(x)=sin2x-sin2x-6,xR.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-3,4上的最大值和最小值.解析(1)由已知,有f(x)=1-cos2x2-1-cos2x-32=1212cos2x+32sin2x-12cos 2x=34sin 2x-14cos 2x=12sin2x-6.所以, f(x)的最小正周期T=22=.(2)因为f(x)在区间-3,-6上是减函数,在区间-6,4上是增函数, f -3=-14, f -6=-12, f
16、4=34,所以, f(x)在区间-3,4上的最大值为34,最小值为-12.15.(2015山东,16,12分)设f(x)=sin xcos x-cos2x+4.(1)求f(x)的单调区间;(2)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若fA2=0,a=1,求ABC面积的最大值.解析(1)由题意知f(x)=sin2x2-1+cos2x+22=sin2x2-1-sin2x2=sin 2x-12.由-2+2k2x2+2k,kZ,可得-4+kx4+k,kZ;由2+2k2x32+2k,kZ,可得4+kx34+k,kZ.所以f(x)的单调递增区间是-4+k,4+k(kZ);单调递减区间是4+k
17、,34+k(kZ).(2)由fA2=sin A-12=0,得sin A=12,由题意知A为锐角,所以cos A=32.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得1+3bc=b2+c22bc,即bc2+3,且当b=c时等号成立.因此12bcsin A2+34.所以ABC面积的最大值为2+34.评析本题考查三角恒等变换,三角函数的图象与性质,以及解三角形等基础知识和基本方法,对运算能力有较高要求.属中等难度题.16.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)=10-3cos12t-sin12t,t0,24).(1)求实验室
18、这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ,则在哪段时间实验室需要降温?解析(1)f(t)=10-232cos12t+12sin12t=10-2sin12t+3,因为0t24,所以312t+311时,实验室需要降温.由(1)得f(t)=10-2sin12t+3,故有10-2sin12t+311,即sin12t+3-12.又0t24,因此7612t+3116,即10t0,-22的图象关于直线x=3对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值;(2)若f2=34623,求cos+32的值.解析(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以f(x)的最小正周期T=,从而=2T=
19、2.又因为f(x)的图象关于直线x=3对称,所以23+=k+2,k=0,1,2,.由-22得k=0,所以=2-23=-6.(2)由(1)得f2=3sin22-6=34,所以sin-6=14.由623得0-62,所以cos-6=1-sin2-6=1-142=154.因此cos+32=sin =sin-6+6=sin-6cos6+cos-6sin6=1432+15412=3+158.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2019届山东师范大学附中二模,5)设函数f(x)=sin(2x+)(00,|0)个单位,得到一个偶函数的图象,则m的值可能是()A.-8B.8C.38D.4答案B4
20、.(2019届广东佛山顺德高三第二次教学质量检测,10)设函数f(x)=2sin(x+)(0,0), f(0)=f29=-f3,且f(x)在6,49上单调递减,则的值为()A.32B.2C.3D.6答案C5.(2018河南郑州一模,6)若将函数f(x)=3sin(2x+)(00)的最小正周期为,当x0,2时,方程f(x)=m恰有两个不同的实数解x1,x2,则f(x1+x2)=()A.2B.1C.-1D.-2答案B8.(2018河北衡水中学、河南顶级名校3月联考,6)若函数f(x)=2asin(2x+)(00,0,|0,0)的部分图象如图所示,则f-3的值是.答案- 62三、解答题(共25分)1
21、2.(2019届湖北重点高中联考协作体期中,19)已知函数f(x)=4tan xsin2-xcosx+3+3.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间-3,3上的单调性.解析(1)f(x)的定义域为x|x2+k,kZ.f(x)=4tan xsin2-xcosx+3+3=4sin x12cos x-32sin x+3=2sin xcos x-23sin2x+3=sin 2x-3(1-cos 2x)+3=sin 2x+3cos 2x=2sin2x+3,所以f(x)的最小正周期T=22=.(2)令z=2x+3,易知y=2sin z的单调递增区间是-2+2k,2+2k,kZ,由-
22、2+2k2x+32+2k,kZ,得-512+kx12+k,kZ.设A=-3,3,B=x|-512+kx12+k,kZ,易知AB=-3,12,所以当x-3,3时, f(x)在区间-3,12上单调递增,在区间12,3上单调递减.13.(2019届安徽皖南八校第一次联考,17)已知向量a=(53cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),函数f(x)=ab+b2.(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间(2)当6x2时,求函数f(x)的值域.解析f(x)=ab+b2=53cos xsin x+2cos xcos x+sin2x+4cos2x=53sin xcos x+sin2x
23、+6cos2x=532sin 2x+1-cos2x2+3(1+cos 2x)=532sin 2x+52cos 2x+72=5sin2x+6+72.(1)f(x)的最小正周期T=22=.由2k+22x+62k+32(kZ)得k+6xk+23,kZ,f(x)的单调减区间为k+6,k+23(kZ).(2)6x2,22x+676,-12sin2x+61,1f(x)172,故当6x2时,f(x)的值域为1,172.解后反思以平面向量为载体,三角恒等变换为手段,对三角函数进行考查是近几年高考考查的热点,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题时,一定要熟练掌握两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式.
