1、1.1.2余弦定理(二)自主学习 知识梳理1在ABC中，边a、b、c所对的角分别为A、B、C，则有：(1)ABC_，_.(2)sin(AB)_，cos(AB)_，tan(AB)_.(3)sin _，cos _.2正弦定理及其变形(1)_.(2)a_，b_，c_.(3)sin A_，sin B_，sin C_.(4)sin Asin Bsin C_.3余弦定理及其推论(1)a2_.(2)cos A_.(3)在ABC中，c2a2b2C为_；c2a2b2C为_；c2a2b2C为_ 自主探究在ABC中，已知两边及其中一边的对角，解三角形一般情况下，先利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要
2、注意进行讨论三角形解的个数对于这一类问题能否利用余弦定理来解三角形，请结合下面的例子加以探究例：在ABC中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？对点讲练知识点一利用正、余弦定理证明三角恒等式例1在ABC中，求证：.总结证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异形式上一般有：左右；右左或左中右三种变式训练1在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，求证：.知识点二利用正、余弦定理判断三角形形状例2在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状总结题中边的大小没有明确给出，而是通过一个关系式来确定的，可以考虑利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，也可以利用余弦定理将
3、边、角关系转化为边的关系来判断变式训练2在ABC中，已知(abc)(bca)3bc，且sin A2sin Bcos C，试确定ABC的形状知识点三利用正、余弦定理解关于三角形的综合问题例3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，cos B，且21.(1)求ABC的面积；(2)若a7，求角C.总结这是一道向量，正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系变式训练3ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2ac且cos B.(1)求的值；(2)设，求ac的值1解斜三角形的常见类型及解法在三角形的6个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解，常见类型
4、及其解法见下表：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由ABC180，求角A；由正弦定理求出b与c.在有解时只有一解两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出小边所对的角；再由ABC180求出另一角在有解时只有一解三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用ABC180，求出角C. 在有解时只有一解两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由ABC180，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有两解、一解或无解.2.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角；(2)化角为边，并
5、常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 课时作业一、选择题1在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是().A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等边三角形2在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于()A60 B45或135C120 D303ABC的三边分别为a，b，c且满足b2ac,2bac，则此三角形是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等边三角形4在ABC中，若a2bc，则角A是()A锐角 B钝角C直角 D不确定5如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定题号1234
6、5答案二、填空题6已知ABC的面积为2，BC5，A60，则ABC的周长是_7在ABC中，若lg alg clg sin Alg，并且A为锐角，则ABC为_三角形8设2a1，a,2a1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是_三、解答题9在ABC中，求证：.10在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知bcos C(2ac)cos B.(1)求角B的大小；(2)若b2ac，试确定ABC的形状11.2余弦定理(二)知识梳理1(1)(2)sin Ccos Ctan C(3)cos sin 2(1)2R(2)2Rsin A2Rsin B2Rsin C(3)(4)abc3(1)b2c22bcco
7、s A(2)(3)直角钝角锐角自主探究解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理，得b2a2c22accos B，22a2(2)22a2cos 30，即a26a80，解得a2或a4.讨论a值：当a2时，三边为2,2,2可组成三角形；当a4时，三边为4,2,2也可组成三角形满足条件的三角形有两个对点讲练例1证明方法一因为左边右边，所以.方法二右边左边，所以.变式训练1证明方法一因为左边右边，等式成立方法二因为右边左边等式成立例2解方法一根据余弦定理得b2a2c22accos B.B60，2bac，2a2c22accos 60，整理得(ac)20，ac.又2bac，2b2a，即ba.ABC是正三角形方
8、法二根据正弦定理，2bac可转化为2sin Bsin Asin C.又B60，AC120.C120A，2sin 60sin Asin(120A)，整理得sin(A30)1，A60，C60.ABC是正三角形变式训练2解由(abc)(bca)3bc，得b22bcc2a23bc，即a2b2c2bc，cos A，A.又sin A2sin Bcos C.a2b，b2c2，bc，ABC为等边三角形例3解(1)21，21.|cos Baccos B21.ac35，cos B，sin B.SABCacsin B3514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理b2a2c22accos B32，b4.由正弦定理：
9、.sin Csin B.c0，0A0，cx所对的最大角变为锐角612解析SABCABACsin AABACsin 602，ABAC8，BC2AB2AC22ABACcos AAB2AC2ABAC(ABAC)23ABAC.(ABAC)2BC23ABAC49，ABAC7，周长为12.7直角解析lg alg clg sin Alg，sin A，A为锐角，A45，sin Csin Asin 451，C90.8(2,8)解析2a10，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2化简得0a2a1，a2，2a8.9证明因为右边cos Bcos A左边所以.10解析(1)由已知及正弦定理，有sin Bcos C(2sin Asin C)cos B，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Acos B.sin(BC)2sin Acos B.sin(BC)sin A0，2cos B1，即cos B，B60.(2)由题设，b2ac.由余弦定理，得b2a2c22accos B，aca2c22accos 60，即a2c22ac0.(ac)20.从而有ac.由(1)知B60，ABC60.ABC为正三角形
