1、课时素养评价十正弦型函数的性质与图象(二)(20分钟35分)1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100t,t(0,+),则电流I变化的周期是()A.B.100C.D.50【解析】选C.T=.2.(2020长沙高一检测)函数f=Asin(其中A0,0,0,0,),则函数的解析式为()A.y=2sin+1B.y=2sin+1C.y=2sin+1D.y=2sin+1【解析】选D.由图象可知,函数的最大值为3,最小值为-1,所以A=2,b=1,=-=,即T=,所以=2,函数y=2sin+1,函数经过点,代入函数方程,得1=2sin+1,即0=sin,即+=k,kZ,又0,0,)的图
2、象与y轴的交点为,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和(x0+2,-2).则=_,x0=_.【解析】由题意知,A=2,且f=2sin =1,所以sin =,又0,0,)的部分图象如图所示.(1)求函数f的解析式;(2)求函数f在区间x上的最大值和最小值.【解析】(1)由题意可知,A=2,=,得T=,解得=2.f=2sin=2,即+=+2k,kZ,因为0),若对任意x1,存在x2,使得f=f,则的取值范围为()A.3 B.03C.00,0,0)的部分图象如图所示,给出下列四个结论:f(x)的最小正周期为;f(x)的最小值为-4;是f(x)的一个对称中心;函数f(x)在区间上递增
3、.其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选B.由图象知函数f(x)的最小正周期为T=2=,则=4,即f(x)=Asin,又由f=A,得sin=1,由00)满足f=f=-, 且f在(x0,x0+1)上有最小值,无最大值.给出下述四个结论:f=-1;若x0=0,则f=sin;f的最小正周期为3;f在上的零点个数最少为1 346个.其中正确的结论是()A.B.C.D.【解析】选C.区间中点为x0+,根据正弦曲线的对称性知f=-1,正确.若x0=0,则f=f=-,即sin =-,不妨取=-,此时f=sin,满足条件,但f=1为上的最大值,不满足条件,故错误.不妨令x0+=2k-,+=
4、2k-,两式相减得=,即函数的周期T=3,故正确.区间的长度恰好为673个周期,当f=0时,即=k时,f在开区间上零点个数至少为6732-1=1 345,故错误.故正确的是.4.矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The London Eye)是世界上首座,也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为()A.95米B.100米C.105米D.110米【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(t+)+B(A0,0,0,2),由题意可知A=60
5、,B=135-60=75,T=30,所以=,即f(t)=60sin+75. 又因为f(0)=135-120=15,解得sin =-1,故=,所以f(t)=60sin+75=-60cost+75,所以f(10)=-60cos+75=105.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020济南高一检测)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(x+)+B(0),则下列说法正确的是()A.该函数的周期是16B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14C.该函数的解析式是y=10sin+20D.该市这一天中午12时气温大约
6、是27 【解析】选ABD.对于A选项,由图象可知,该函数的最小正周期为T=2=16,A选项正确;对于B选项,该函数在x=14取得最大值,所以该函数图象的一条对称轴是直线x=14,B选项正确;对于C选项,由图象可得解得=,因为图象经过点,所以30=10sin+20,所以sin=1.因为0,所以+,则+=,所以=,所以函数解析式为y=10sin+20,C选项错误;当x=12时y=10sin+20=10+2027,故D选项正确.6.已知函数f=sin,-为f的一个零点,x=为f图象的一条对称轴,且f在上有且仅有7个零点,下述结论正确的是()A.=B.=C.=5D.f在上单调递增【解析】选BD.因为x
7、=为f(x)图象的一条对称轴,-为f(x)的一个零点,所以+=+k1且+=k2(k1,k2Z),所以=2k+1,kZ.因为f(x)在(0,)上有且仅有7个零点,所以7+8,即,所以=7,所以7+=+k(kZ),又00),若函数f(x)的最小正周期为.则=_.若=2,则函数y=|f(x)|的最小正周期为_.【解析】由最小正周期公式可得T=4;若=2,画出函数y=|f(x)|的图象,如图:可以发现,函数y=|f(x)|的最小正周期为.答案:48.(2020上海高一检测)如图为函数f(x)=Asin(x+)的部分图象,M,N是它与x轴的两个交点,D,C分别为它的最高点和最低点,E(0,1)是线段MD
8、的中点,且OME为等腰直角三角形,则f(x)的解析式为f(x)=_.【解析】由已知点E(0,1)是线段MD的中点知A=2,根据OME为等腰直角三角形,可得M(-1,0),D(1,2),所以=1-(-1),解得=;所以函数f(x)=2sin,又由M(-1,0)是f(x)图象上的点,由正弦函数的图象与性质知,(-1)+=0,可得=,所以f(x)=2sin.答案:2sin四、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020扬州高一检测)已知函数f=Asin(x+)+B(其中A,B均为常数,A0,0,0)个单位,得到函数g的图象,若g是奇函数,求实数m的最小值.【解析】(1)由图象可知A=1,B=2,=
9、-=,所以T=,所以=2,所以f=sin+2.由f=sin+2=1,得+=2k+,kZ,所以=2k-,kZ,因为0,所以当k=0时,m的最小值为.10.函数y=sin(0,)在同一个周期内,当x=时,y取最大值1,当x=时,y取最小值-1.(1)求函数的解析式y=f(x);(2)函数y=sin x的图象经过怎样的变换可得到y=f(x)的图象?(3)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0a1),求在0,2内的所有实数根之和.【解析】(1)因为=2 ,所以=3,又因为sin=1,所以+=2k+,又|得=-,所以函数f=sin;(2)y=sin x的图象向右平移个单位得y=sin的图象,再由y=si
10、n图象上所有点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=sin的图象;(3)因为f(x)=sin的周期为,所以y=sin在0,2内恰有3个周期, 所以sin=a(0a0,0)图象上一个最高点P的横坐标为,与P相邻的两个最低点分别为Q,R,若PQR是面积为4的等边三角形,则函数解析式为y=_.【解析】PQR是面积为4的等边三角形,可得边长为,高为2A.那么S=4A4Asin60=4,所以A=,周期T=边长=4;所以=.图象过点,即=sin,可得=.所以得函数解析式为y=sin.答案:sin【补偿训练】(2020长沙高一检测)如图函数f(x)=Asin(x+)与坐标轴的三个交点P,Q,R满足P(2,
11、0),PQR=,M为QR的中点,PM=2,则A的值为()A.B.C.8D.16【解析】选A.设Q(2a,0),a0,因为函数f(x)=Asin(x+)其中A0,0,|与坐标轴的三个交点P,Q,R满足PQR=,所以R(0,-2a),因为M为QR的中点,所以M(a,-a),因为PM=2,所以=2,解得a=4(负值舍去),所以Q(8,0),又P(2,0),所以T=8-2=6,所以T=12,解得=,因为函数经过P(2,0),R(0,-8),所以因为|,所以=-,解得A=.2.(2020济南高一检测)已知函数f=Asinx+(A0,0)只能同时满足下列三个条件中的两个:函数f的最大值为2;函数f的图象可由y=sin的图象平移得到;函数f图象的相邻两条对称轴之间的距离为.(1)请写出这两个条件序号,并求出f的解析式;(2)求方程f+1=0在区间上所有解的和.【解析】(1)函数f=Asin满足的条件为.理由如下:由题意可知条件互相矛盾,故为函数f=Asin满足的条件之一,由可知,T=,所以=2,故不合题意,所以函数f=Asin满足的条件为;由可知A=2,所以f=2sin;(2)因为f+1=0,所以sin=-,所以2x+=-+2k或2x+=+2k,所以x=-+k或x=+k,又因为x,所以x的取值为-,-,所以方程f+1=0在区间上所有解的和为.