1、2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）1已知A（1，2，1），B（1，3，4），则（）A =（1，2，1）B =（1，3，4）C =（2，1，3）D =（2，1，3）2命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=3与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是（）A（，1，1）B（1，3，2）C（，1）D（，3，2）4双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=2xBy=4xCy=xDy=x5命题“xR，2x1”的否定是（）AxR，2x1BxR，2x1CxR，2x1DxR，2x16抛物
2、线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0）CD7“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件8已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D59设F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，则三角形PF1F2的周长为（）A16B18C20D不确定10已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A3B4C5D611如图所示，正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为（）ABCD12已知双曲线=
3、1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2B2C4D4二、填空题（共4小题）13“a10”是“a1”的条件14双曲线=1的离心率是15已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是16已知两定点M（1，0），N（1，0），若直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”给出下列直线，其中是“A型直线”的是y=x+1y=2y=x+3y=2x+3三、解答题（共6小题）17（1）椭圆的离心率为，焦点是（3，0），（3，0），求该椭圆方程；（2）双曲线焦点在
4、x轴上，c=6，且过点A（5，2），求双曲线的标准方程18如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、分别是棱A1B1、A1D1的中点，（1）求异面直线AM与CN所成角的余弦值；（2）求点B到平面AMN的距离19已知抛物线y2=ax的准线方程是x=1，焦点为F（1）求a的值；（2）过点F作直线交抛物线于A（x，y），B（x，y）两点，若x+x=6，求弦长AB20如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点（1）证明：PC平面BEF（2）求二面角FBEC的大小21设F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆
5、C上的点A（1，）到F1，F2两点的距离之和等于4（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若OMN面积取得最大，求直线MN的方程22已知： =（x，4，1），=（2，y，1），=（3，2，z），求：（1），；（2）（+）与（+）所成角的余弦值2015-2016学年福建省莆田二十五中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题）1已知A（1，2，1），B（1，3，4），则（）A =（1，2，1）B =（1，3，4）C =（2，1，3）D =（2，1
6、，3）【考点】空间向量的概念【分析】利用向量的坐标运算性质即可得出【解答】解： =（1，3，4）（1，2，1）=（2，1，3），故选：C2命题“若=，则tan=1”的逆否命题是（）A若，则tan1B若=，则tan1C若tan1，则D若tan1，则=【考点】四种命题间的逆否关系【分析】原命题为：若a，则b逆否命题为：若非b，则非a【解答】解：命题：“若=，则tan=1”的逆否命题为：若tan1，则故选C3与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是（）A（，1，1）B（1，3，2）C（，1）D（，3，2）【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】利用向量共线定理即可判断出【解答】解：对于C
7、中的向量：（，1）=（1，3，2）=，因此与向量=（1，3，2）平行的一个向量的坐标是故选：C4双曲线=1的渐近线方程是（）Ay=2xBy=4xCy=xDy=x【考点】双曲线的标准方程【分析】利用双曲线的简单性质直接求解【解答】解：双曲线=1的渐近线方为，整理，得y=故选：C5命题“xR，2x1”的否定是（）AxR，2x1BxR，2x1CxR，2x1DxR，2x1【考点】特称命题；命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可判断选项【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“xR，2x1”的否定：xR，2x1；故选A6抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A（0，1）B（1，0
8、）CD【考点】抛物线的简单性质【分析】把抛物线y=4x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标【解答】解：抛物线y=4x2的标准方程为 x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C7“a1”是“lna0”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件【考点】充要条件【分析】当a=0时，满足a1，但此时lna0不成立若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1【解答】解：a1推不出“lna0”，比如 当a=0时若 lna0，由对数函数得性质得0a1，满足a1故选B8已知ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4
9、，3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）A2B3C4D5【考点】直线的两点式方程【分析】由已知中ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案【解答】解：B（4，3，7），C（0，5，1），则BC的中点D的坐标为（2，1，4）则AD即为ABC中BC边上的中线|AD|=3故选B9设F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，则三角形PF1F2的周长为（）A16B18C20D不确定【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知中椭圆的标准方程，可又求出椭圆的a=5，b=3，c=4，进而根据三角形P
10、F1F2的周长|PF1|+|PF2|+|F1+F2|=2（a+c），可得答案【解答】解：由椭圆的方程可得a=5，b=3，c=4F1，F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上一点，三角形PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1+F2|=2（a+c）=18故选B10已知点A（3，4），F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，则|MA|+|MF|的最小值为（）A3B4C5D6【考点】抛物线的简单性质【分析】求出焦点坐标和准线方程，把S转化为|MA|+|PM|，利用 当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值【解答】解：由题意得 F（2，0），准线方程为 x=2，设点M到准线的距离为d
11、=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=3（2）=5，故选：C11如图所示，正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【分析】两向量夹角的余弦，有公式可以求，所以先求两向量夹角的余弦，这样需要知道向量和的坐标，所以建立空间直角坐标系为了求向量的坐标，可设正方体的楞长为1，并能求出这两个向量的坐标，然后带入两向量夹角的余弦公式即可【解答】解：分别以DA，DC，DD为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设楞长为1，则D（0，0，0），B（1，1，1）
12、，M（1，0），C（0，1，0）；cos=sin=故选B12已知双曲线=1（a0，b0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（2，1），则双曲线的焦距为（）A2B2C4D4【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【分析】根据题意，点（2，1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（2，1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
13、（2，1），即点（2，1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（2，0），即a=2；点（2，1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B二、填空题（共4小题）13“a10”是“a1”的条件充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】“a10”a1”，即可判断出 结论【解答】解：“a10”a1”，“a10”是“a1”的充要条件，故答案为：充要条件14双曲线=1的离心率是【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的a，b，c，运用离心率公式e=
14、，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线=1的a=2，b=3，可得c=，即有离心率e=故答案为：15已知向量=（1，1，0），=（1，0，2），且k+与2互相垂直，则k值是【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系【分析】由已知中向量=（1，1，0），=（1，0，2），我们可以求出向量k+与2的坐标，根据k+与2互相垂直，两个向量的数量积为0，构造关于k的方程，解方程即可求出a值【解答】解：向量=（1，1，0），=（1，0，2），k+=（k1，k，2），2=（3，2，2）k+与2互相垂直，则（k+）（2）=3（k1）+2k4=5k7=0解得k=故答案为：16已知两定点M（1，0），N（1，0），若
15、直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4，则该直线为“A型直线”给出下列直线，其中是“A型直线”的是y=x+1y=2y=x+3y=2x+3【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质【分析】点P的轨迹方程是，把分别和联立方程组，如果方程组有解，则这条直线就是“A型直线”【解答】解：由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是，把y=x+1代入并整理得，7x2+8x8=0，=8247（8）0，y=x+1是“A型直线”把y=2代入，得不成立，y=2不是“A型直线”把y=x+3代入并整理得，7x224x+24=0，=（24）247240，y=x+3不是“A型直线”把y=2x+3代入并整理得，19x2
16、48x+24=0，=（48）2419240，y=2x+3是“A型直线”答案：三、解答题（共6小题）17（1）椭圆的离心率为，焦点是（3，0），（3，0），求该椭圆方程；（2）双曲线焦点在x轴上，c=6，且过点A（5，2），求双曲线的标准方程【考点】椭圆的标准方程；双曲线的标准方程【分析】（1）椭圆的离心率为，焦点是（3，0），（3，0），求出a，c，可得b，即可求该椭圆方程；（2）设所求双曲线的方程为=1，a0，b0，由题意得，由此能求出双曲线的标准方程其离心率【解答】解：（1）椭圆的离心率为，焦点是（3，0），（3，0），=，c=3，a=6，b2=27，椭圆方程为=1；（2）由题意，设所求双
17、曲线的方程为=1，a0，b0，由题意得，解得a2=20，b2=16，所求的双曲线的标准方程为=1，18如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、分别是棱A1B1、A1D1的中点，（1）求异面直线AM与CN所成角的余弦值；（2）求点B到平面AMN的距离【考点】点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角【分析】（1）建系，求出点的坐标，可得向量的坐标，利用向量的夹角公式，可得异面直线AM与CN所成角的余弦值；（2）求出平面AMN的法向量，利用距离公式求点B到平面AMN的距离【解答】解：以点D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，A（4，0，0），M（4，2
18、，4），N（2，0，4），C（0，4，0）=（0，2，4），=（2，4，4），=08+16=8，cos，=，异面直线AM与CN所成角的余弦值为（2）设平面AMN的法向量=（x，y，z），=（0，2，4），=（2，4，4），取z=1，=（2，2，1），d=，点B到平面AMN的距离为19已知抛物线y2=ax的准线方程是x=1，焦点为F（1）求a的值；（2）过点F作直线交抛物线于A（x，y），B（x，y）两点，若x+x=6，求弦长AB【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）根据抛物线的准线方程是x=1，即可求出a的值，（2）根据准线方程是x=1，结合抛物线的定义可得AB|=x1+x2+P，并结合x1+
19、x2=6，即可得到弦长AB【解答】解：（1）抛物线y2=ax的准线方程是x=1，=1，a=4，（2）过抛物线 y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线的定义，可得|AB|=x1+x2+P，因此，线段AB的长|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2，又x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=820如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AP=AB=2，BC=2，E，F分别是AD，PC的中点（1）证明：PC平面BEF（2）求二面角FBEC的大小【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（1）以A为原点，AB，AD
20、，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明PC平面BEF（2）求出平面BEF的法向量和平面BEC的法向量，利用向量法能求出二面角FBCC的大小【解答】证明：（1）以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，0），F（1，1），P（0，0，2），C（2，2，0），=（2，2，2），=（2，0），=（1，1），=0， =0，PCBE，PCBF，又BEBF=B，PC平面BEF解：（2）由（1）知是平面BEF的法向量，又PA平面ABCD，是平面BEC的一个法向量，cos=，由图知二面角FBE
21、C的大小为锐角，cos，=60，二面角FBCC的在小为6021设F1，F2分别为椭圆的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A（1，）到F1，F2两点的距离之和等于4（1）写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）过点P（1，）的直线与椭圆交于两点D、E，若DP=PE，求直线DE的方程；（3）过点Q（1，0）的直线与椭圆交于两点M、N，若OMN面积取得最大，求直线MN的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程，由椭圆的方程求出焦点坐标（2）设出DE方程，代入椭圆方程，利用中点坐标公式，求出斜率，即可求直线DE的方
22、程；（3）（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x1，代入椭圆C的方程，求出OMN面积，利用导数，确定单调性，可得面积最大值，从而可求直线MN的方程【解答】解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2，又点A（1，） 在椭圆上，因此，得b2=1，于是c2=3，所以椭圆C的方程为，（2）显然直线DE斜率存在，设为k，方程为，设D（x1，y1），E（x2，y2），则由，消去y可得，k=1DE方程为y1=1（x），即4x+4y=5；（3）直线MN不与y轴垂直，设MN方程为my=x1，代入椭圆C的方程得（m2+4）y2+2my3=0，设M（
23、x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，且0成立又SOMN=|y1y2|=，设t=，则SOMN=，（t+）=1t20对t恒成立，t=时，t+取得最小，SOMN最大，此时m=0，MN方程为x=1；22已知： =（x，4，1），=（2，y，1），=（3，2，z），求：（1），；（2）（+）与（+）所成角的余弦值【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；（2）由（1）可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论【解答】解：（1），解得x=2，y=4，故=（2，4，1），=（2，4，1），又因为，所以=0，即6+8z=0，解得z=2，故=（3，2，2）（2）由（1）可得=（5，2，3），=（1，6，1），设向量与所成的角为，则cos=2016年8月1日