1、12数列的函数特性知识点一数列的单调性 填一填(1)数列按照项与项之间的大小关系可分为递增数列，递减数列，摆动数列和常数列；(2)一般地，一个数列an，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即an1an，那么这个数列叫作递增数列；(3)一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即an10还是an0，即a7时，a1；且a7a8，即(3a)732或a9.故a的取值范围为2aan；数列an递减an1an.3分段数列单调与相应的分段函数单调不同，除了确保各段单调，还要使得两段之间满足一定的条件，如本例中数列an递增要满足a70恒成立，即t(2n1)恒成立而nN，所以t3，故t的取值范围是
2、(3，)方法二：ann2tn2，由于nN，且数列an递增，则结合二次函数的图像有3，故t的取值范围是(3，)类型三数列中最大项与最小项的求法 【例3】已知数列an的通项公式为an(n1)n，试问数列an有没有最大项？若有，求出最大项并指明最大项是数列的第几项；若没有，请说明理由【思路探究】【解】方法一：因为an1an(n2)n1(n1)nn，当n0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an；当n9时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a11a12，所以数列an有最大项，最大项为第9,10项，即a9a10.方法二：由通项公式知an0恒成立，令1，即1，整理得，解得n9，且当n9
3、时取等号，即a9a10.令1，即1，整理得，解得n9，且当n9时取等号所以数列从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即a1a2a3a11a12，故数列an有最大项，最大项为第9,10项，即a9a10.规律方法 求数列an的最大(小)项的方法1利用数列的单调性确定数列的最大(小)项当数列不单调时，还需解不等式an1an0(或1，此时要关注an的取值符号)来确定数列单调的范围但要注意的是，由解不等式an1an0(或1)得到n的取值范围后，对数列单调范围的确定要当心2通过解不等式组来确定，即设第k(kN，k1)项是数列的最大(小)项，则()，求出k的正整数值即得最大项(最小项)，这样就不必再判断数
4、列的单调性了已知函数f(x)2x2x，数列an满足f(log2an)2n.(1)求数列an的通项公式；(2)讨论数列an的单调性，并证明你的结论解：(1)f(x)2x2x，f(log2an)2n，2log2an2log2an2n，即an2n.a2nan10，解得ann.an0，ann.(2)0，an1a2，所以即解得a.故选C.已知数列an的通项公式为ann221n20.(1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)n为何值时，该数列的前n项和最小？解：(1)因为ann221n20(n)2，可知对称轴方程为n10.5.又因nN，故n10或n11时，an有最小值，其最小值为11221112
5、090.(2)设数列的前n项和最小，则有an0，由n221n200，解得1n20，故数列an从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小一、选择题1数列an中，an2n，则an是(B)A递增数列B递减数列C常数列 D以上都不是解析：an1an2(n1)(2n)20，则an是递减数列2递减数列an中，ankn(k为常数)，则实数k的取值范围是(C)ARB(0，)C(，0) D(，0解析：an1ank(n1)knk0.3设ann210n11，则数列an的最大项为(D)A5 B11C10或11 D36解析：ann210n11(n5)236，当n5时，an取得最大值36.二、填空题4数列2n29n3中的最大项为13.解析：由已知an2n29n32(n)2.由于n为正整数，故当n取2时，an取到最大值，为13.数列2n29n3的最大项为a213.5已知数列an的通项公式an(1)n(n2n)，则数列an的前4项是3,6，11,20，第10项是1 034.解析：在通项公式中，依次取n1,2,3,4和n10，可得其前4项为3,6，11,20，第10项为1 034.