1、第2讲圆锥曲线的方程与性质一、选择题1.(2019湖南五市十校联考)已知双曲线C:x2m2-y23=1(m0)的离心率为2,则C的焦点坐标为()A.(2,0) B.(2,0)C.(0,2) D.(0,2)答案A由题意知,离心率e=ca=1+b2a2=1+3m2=2,解得m2=1,所以c=m2+3=2,又双曲线C的焦点在x轴上,所以双曲线C的焦点坐标为(2,0),故选A.2.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为()A.x2113-y211=1B.x22-y2=1C.y2113-x211=1D.y211-x2113=1
2、答案A设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径,由点到直线的距离公式可得|k0-2|k2+1=1,解得k=3.又双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),将(2,1)代入可得4a2-1b2=1,由4a2-1b2=1,ba=3解得a2=113,b2=11,故所求双曲线的标准方程为x2113-y211=1.故选A.3.(2019皖北名校联考,7)斜率为1的直线l与椭圆x24+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为()A.455B.4105C.
3、8105D.855答案B设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+m,由y=x+m,x24+y2=1消去y得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则x1+x2=-8m5,x1x2=4(m2-1)5.|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=2-85m2-16(m2-1)5=4255-m2,当m=0时,|AB|取得最大值4105,故选B.4.(2019广东汕尾一模,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0),F是双曲线C的右焦点,A是双曲线C的右顶点,过F作x轴的垂线,交双曲线于M,N两点.若tanMAN=-34,则双
4、曲线C的离心率为()A.3B.2C.43D.2答案B由题意可知tanMAN=-34=2tanMAF1-tan2MAF,解得tanMAF=3,可得b2ac-a=3,即c2+2a2-3ac=0,e2+2-3e=0,因为e1,所以解得e=2.故选B.5.(2019湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若NFR=60,则|NR|=()A.2 B.3C.23D.3答案A如图,连接MF,QF,设准线l与x轴交于点H,y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,|FH|=2
5、,|PF|=|PQ|.M,N分别为PQ,PF的中点,MNQF.PQ垂直l于点Q,PQOR,又NFR=60,QPF=60,QPF=60,PQF为等边三角形,MFPQ,F为HR的中点,|FR|=|FH|=2,|NR|=2.故选A.6.(2019安徽合肥模拟)已知A,B,C是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的三个点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BFAC,且3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率为()A.102B.52C.103D.23答案A如图,设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形AEBF为矩形,令|BF|=|A
6、E|=m,|AF|=n,由双曲线的定义,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,在直角三角形EAC中,m2+(3n+n)2=(3n+2a)2,将2a=m-n代入,化简,可得m=3n,所以n=a,m=3a,在直角三角形EAF中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,可得e=ca=102.故选A.二、填空题7.(2019江西七校第一次联考)点M(2,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为.答案14或-112解析易知a0,抛物线方程化为标准形式为x2=1ay,因为点M(2,1)到抛物线的准线的距离为2,所以当a0时,p2=14a=1,解得a=14;当ab0)上的一点,A为
7、左顶点,F为右焦点,PFx轴,若tanPAF=12,则椭圆的离心率e为.答案12解析如图,不妨设点P在第一象限,因为PFx轴,所以xP=c,将xP=c代入椭圆方程得yP=b2a,即|PF|=b2a,则tanPAF=|PF|AF|=b2aa+c=12,结合b2=a2-c2,整理得2c2+ac-a2=0,两边同时除以a2得2e2+e-1=0,解得e=12或e=-1(舍去).10.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=.答案223解析设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0
8、).如图,过A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1.k0,点B的坐标为(1,22),k=22-01-(-2)=223.三、解答题11.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x2a2+y2=1(a1,aR)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.(1)若FAB的面积的最大值为1,求a的值;(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-13,求椭圆C的离心率.解析(1)因为SFAB=12|OF|yA-yB|OF|=a2-1=1,所以a=2.(2)由题意可
9、设A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y),则x2a2+y2=1,x02a2+y02=1,kMAkMB=y-y0x-x0y+y0x+x0=y2-y02x2-x02=1-x2a2-1-x02a2x2-x02=-1a2(x2-x02)x2-x02=- 1a2=- 13,所以a2=3,所以a=3,所以c=a2-b2=2,所以椭圆的离心率e=ca=23=63.12.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.(1)求椭圆的方程;(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=
10、|OF|(O为原点),且OPMN,求直线PB的斜率.解析(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1.(2)由题意,设P(xP,yP)(xP0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1,整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.由题意
11、得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OPMN,得4-5k2-10k-k2=-1,化简得k2=245,从而k=2305.所以,直线PB的斜率为2305或-2305.13.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).(1)求椭圆的离心率;(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OCAP.求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.所以,椭圆的离心率为12
12、.(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34(x+c),消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-13c7.代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).因为OCAP,且由(1)知A(-2c,0),故t4=32cc+2c,解得t=2.则C(4,2).因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,又由圆C与l相切,得34(4+c)-21+342=2,可得c=2.所以,椭圆的方程为x216+y212=1.