1、2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（三）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x0，B=1，0，1，则AB=（）A1 B0，1 C1，0 D2已知向量，则向量=（）A（1，1） B（1，0） C（1，1） D（0，1）3若复数z满足，其中i为复数单位，则z=（）A1i B1+i C1i D1+i4已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（）A（0，1） B C D（0，1）5下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=lnx By=cosx Cy=x2D6等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，则S9的值（）A54 B4
2、5 C36 D277已知x、y满足约束条件，则z=xy的最大值为（）A1 B1 C2 D28函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则f（）=（）A B1 C D29已知某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A4B12 C8D810已知菱形ABCD的边长为4，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（）A B C D11双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A=1 B=1 C=1 D=112定义f（x）g（x）=，函数F（x）=（x21）（x）k的图象与x轴有两个不同的交点，则实数k的取
3、值范围是 （）Ak3或0k1 Bk3或0k1 Ck1或k3 D0k1或k3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13根据某样本数据得到回归直线方程为y=1.5x+45，x1，7，10，13，19，则=14已知函数f（x）=ax33x+2016的图象在（1，f（1）处的切线平行于x轴，则a=15公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15=0.2
4、588，sin7.5=0.1305）16已知各项都为正数的等比数列an，公比q=2，若存在两项am，an，使得=2a1，则的最小值为三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且满足（bc）2=a2bc（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求ABC的面积18如图，在四棱锥SABCD中，侧棱SA底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O（1）证明：SOBD；（2）求三棱锥OSCD的体积192015年1月1日新环境保护法实施后，2015年3月18日，交通运输部发布关于加快推进新能源汽车在交通运输行
5、业推广应用的实施意见，意见指出，至2020年，新能源汽车在交通运输行业的应用初具规模，在城市公交、出租汽车和城市物流配送等领域的总量达到30万辆；新能源汽车配套服务设施基本完备，新能源汽车运营效率和安全水平明显提升随着新能源汽车的迅速发展，关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程（单次充电后能行驶的最大里程）一直是消费者最为关注的话题对于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取n辆纯电动汽车调查其续航里程，被调查汽车的续航里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制如图所示的频率分
6、布直方图（1）若续航里程在100，150）的车辆数为5，求抽取的样本容量n及频率分布直方图中x的值；（2）在（1）的条件下，若从续航里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续航里程为250，300的概率20在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为e=的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y22x1=0的圆心（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，与椭圆交于A，B两点，且满足OAOB若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=x22x+alnx（aR）（）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的
7、单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC（1）求证：FB=FC；（2）若AB是ABC外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45，圆C的参数方程为再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点
8、A、B，求|MA|MB|的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）|a2|的解集非空，求实数a的取值范围2016年陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1已知集合A=x|x0，B=1，0，1，则AB=（）A1 B0，1 C1，0 D【考点】交集及其运算【分析】根据集合的基本运算进行求解即可【解答】解：A=x|x0，B=1，0，1，AB=0，1，故选：B2已知向量，则向量=（）A（1，1） B（1，0） C（1，1） D（0，1）【考点】
9、平面向量的坐标运算【分析】利用=，即可得出【解答】解： =（1，1），故选：C3若复数z满足，其中i为复数单位，则z=（）A1i B1+i C1i D1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】把已知等式变形，直接利用复数代数形式的乘法运算得答案【解答】解：由，得z=i（1i）=1+i，故选：B4已知抛物线方程为，则该抛物线的焦点坐标为（）A（0，1） B C D（0，1）【考点】抛物线的简单性质【分析】把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标【解答】解：把抛物线方程化为标准方程为：x2=4y，抛物线的焦点在y轴的正半轴，p=2，抛物线的焦点坐标为（0，1）故选：D5下列
10、函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）Ay=lnx By=cosx Cy=x2D【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【分析】根据偶函数图象的对称性，对数函数和指数函数的图象，偶函数的定义，二次函数以及余弦函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项【解答】解：Ay=lnx的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误；By=cosx在（0，+）上没有单调性，该选项错误；Cy=x2是偶函数，且在（0，+）上单调递减，该选项正确；D.的图象不关于y轴对称，不是偶函数，该选项错误故选C6等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，则S9的值（）A54 B
11、45 C36 D27【考点】等差数列的前n项和【分析】由条件并等差数列的定义和性质可得 3a5=15，求出 a5=5，由S9=9a5运算求得结果【解答】解：等差数列an的前n项和为Sn，若a2+a5+a8=15，则由等差数列的定义和性质可得 3a5=15，a5=5S9=9a5=45，故选B7已知x、y满足约束条件，则z=xy的最大值为（）A1 B1 C2 D2【考点】简单线性规划【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=xy表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可【解答】解：画出可行域（如下图），由z=xy可得y=xz则z为直线y=xz在y轴
12、上的截距，截距越小，z越大由图可知，当直线l经过点C（2，0）时，z最大，且最大值为zmax=2故选C8函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则f（）=（）A B1 C D2【考点】正弦函数的图象【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得f（）的值【解答】解：根据函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象，可得=，求得=2再根据五点法作图可的2+=，求得=，f（x）=2sin（2x），f（）=2sin=，故选：A9已知某个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A4B12 C8D8【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图还原原图形，然
13、后利用正方体和三棱柱的体积公式求得答案【解答】解：由三视图还原原几何体如图：则该几何体的体积为V=故选：B10已知菱形ABCD的边长为4，若在菱形内取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（）A B C D【考点】几何概型【分析】根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积进行求解即可【解答】解：分别以A，B，C，D为圆心，1为半径的圆，则所以概率对应的面积为阴影部分，则四个圆在菱形内的扇形夹角之和为2，则对应的四个扇形之和的面积为一个整圆的面积S=12=，S菱形ABCD=ABBCsin=44=8，S阴影=S菱形ABCDS空白=812=8因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P=，故选
14、：D11双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线的标准方程为（）A=1 B=1 C=1 D=1【考点】双曲线的标准方程【分析】由已知得双曲线的标准方程为=1，且2a+2b=2c，由此能求出双曲线方程【解答】解：双曲线的顶点坐标为（0，2），a=2，且双曲线的标准方程为=1根据题意2a+2b=2c，即a+b=c又a2+b2=c2，且a=2，解上述两个方程，得b2=4符合题意的双曲线方程为故选：B12定义f（x）g（x）=，函数F（x）=（x21）（x）k的图象与x轴有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 （）Ak3或0k1 Bk3或0k1 Ck1或k3 D
15、0k1或k3【考点】分段函数的应用；函数的图象【分析】根据定义求出（x21）*（x）的表达式，然后将函数转化为（x21）*（x）=k，利用数形结合即可得到结论【解答】解：由x21+x1，即x2+x20，解得x1或x2，由x21+x1，即x2+x20，解得2x1，即（x21）*（x）=，由F（x）=（x21）*（x）k=0得（x21）*（x）=k，作出函数（x21）*（x）的图象如图：要使（x21）*（x）=k有两个交点，则满足k3或0k1，故选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13根据某样本数据得到回归直线方程为y=1.5x+45，x1，7，10，13，19，则=60【考点】线
16、性回归方程【分析】根据回归直线方程过样本中心点（，），代人方程即可求出结果【解答】解：=（1+7+10+13+19）=10，=1.510+45=60故答案为：6014已知函数f（x）=ax33x+2016的图象在（1，f（1）处的切线平行于x轴，则a=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a=1【解答】解：函数f（x）=ax33x+2016的导数为f（x）=3ax23，由图象在（1，f（1）处的切线平行于x轴，可得f（1）=3a3=0，解得a=1故答案为：115公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形
17、的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24（参考数据：sin15=0.2588，sin7.5=0.1305）【考点】程序框图【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，S=3sin60=，不满足条件S3.10，n=12，S=6sin30=3，不满足条件S3.10，n=24，S=12sin15=120.2588=3.1056，满足条件S3.10，退出循环，输出n的
18、值为24故答案为：2416已知各项都为正数的等比数列an，公比q=2，若存在两项am，an，使得=2a1，则的最小值为【考点】等比数列的通项公式【分析】存在两项am，an，使得=2a1，可得2m+n2=4，m+n=4再利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：存在两项am，an，使得=2a1，2m+n2=4，m+n=4则=，等号不成立，因此当且仅当m=3，n=1时，则的最小值为故答案为：三、解答题（共5小题，满分60分）17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且满足（bc）2=a2bc（1）求角A的大小；（2）若a=3，sinC=2sinB，求ABC的面积【考点】余弦定理；正弦定理【
19、分析】（1）由已知等式可得b2+c2a2=bc，由余弦定理可得cosA=，结合范围A（0，），即可求得A的值（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b，又a=3，A=，由余弦定理可解得b，c的值，利用三角形面积公式即可得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）（bc）2=a2bc，可得：b2+c2a2=bc，由余弦定理可得：cosA=，4分又A（0，），A=6分（2）由sinC=2sinB及正弦定理可得：c=2b，a=3，A=，8分由余弦定理可得：a2=b2+c22bccosA=b2+c2bc=3b2，解得：b=，c=2，10分SABC=bcsinA=12分18如图，在四棱锥SABCD
20、中，侧棱SA底面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱SA=4，AC与BD相交于点O（1）证明：SOBD；（2）求三棱锥OSCD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）由SA平面ABCD可得SABD，又ACBD，故BD平面SAC，于是BDSO；（2）VOSCD=VSOCD=【解答】证明：（1）SA平面ABCD，BD平面ABCD，SABD，四边形ABCD是正方形，BDAC，又SA平面SAC，AC平面SAC，SAAC=A，BD平面SAC，SO平面SAC，SOBD（2）四边形ABCD是边长为1的正方形，SOCD=S正方形ABCD=VOSCD=VSO
21、CD=192015年1月1日新环境保护法实施后，2015年3月18日，交通运输部发布关于加快推进新能源汽车在交通运输行业推广应用的实施意见，意见指出，至2020年，新能源汽车在交通运输行业的应用初具规模，在城市公交、出租汽车和城市物流配送等领域的总量达到30万辆；新能源汽车配套服务设施基本完备，新能源汽车运营效率和安全水平明显提升随着新能源汽车的迅速发展，关于新能源汽车是纯电动汽车的续航里程（单次充电后能行驶的最大里程）一直是消费者最为关注的话题对于这一问题渭南市某高中研究性学习小组从汽车市场上随机抽取n辆纯电动汽车调查其续航里程，被调查汽车的续航里程全部介于50公里和300公里之间，将统计结
22、果分成5组：50，100），100，150），150，200），200，250），250，300，绘制如图所示的频率分布直方图（1）若续航里程在100，150）的车辆数为5，求抽取的样本容量n及频率分布直方图中x的值；（2）在（1）的条件下，若从续航里程在200，300的车辆中随机抽取2辆车，求其中恰有一辆车的续航里程为250，300的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）频数=频率样本容量求车辆数求出n的值，利用小矩形的面积和为1，求得x值；（2）续航里程在200，250）的车辆数为：200.00350=3辆；用A，B，C表示，续驶里程在250，300
23、的车辆数为：200.00250=2辆，用a，b表示，分别求得5辆中随机抽取2辆车的抽法种数与其中恰有一辆汽车的续驶里程为200，250）抽法种数，根据古典概型的概率公式计算【解答】解：（1）由题意得n=20辆，由直方图可得：（0.002+0.005+0.008+x+0.002）50=1，x=0.003；（2）由（1）n=20，续航里程在200，250）的车辆数为：200.00350=3辆；用A，B，C表示，续驶里程在250，300的车辆数为：200.00250=2辆，用a，b表示，从这5辆中随机抽取2辆为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共有10种抽法，其中其中恰有一辆
24、车的续航里程为250，300的抽法为，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共有6种抽法，故恰有一辆车的续航里程为250，300的概率为=20在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为e=的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y22x1=0的圆心（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在斜率为1的直线l，与椭圆交于A，B两点，且满足OAOB若存在，求该直线方程；若不存在，请说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）求得圆C的圆心，可得椭圆的c，再利用椭圆的离心率公式，建立方程，求出a，b，即可求椭圆E的方程；（2）假设存在直线l，将直线y=x+m代入椭圆方程，利用韦达定理，OAOB，可得=0，即可求m
25、值，即可判断存在性【解答】解：（1）圆C：x2+y22x1=0的圆心为（，0），可设椭圆方程为+=1（ab0），可得c=，即a2b2=3，又e=，解得a=2，b=1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）假设存在斜率为1的直线l，与椭圆交于A，B两点，且满足OAOB设A（x1，y1），B（x2，y2）联立（*）可得5x28mx+4m24=0，所以x1+x2=，x1x2=，y1y2=（mx1）（mx2）=m2m（x1+x2）+x1x2=m2m2+=，由OAOB，可得=0，得x1x2+y1y2=0，即为+=0，解得m=又方程（*）要有两个不等实根，=（8m）220（4m24）0，解得mm的值符合上面条
26、件，所以存在斜率为1的直线l的方程为y=x21已知函数f（x）=x22x+alnx（aR）（）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；（）当a0时，求函数f（x）的单调区间；（）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），不等式f（x1）mx2恒成立，求实数m的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（）求出f（x）的导数，令f（x）=0，得2x22x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于
27、0，得减区间；（）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得，不等式f（x1）mx2恒成立即为m，求得=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围【解答】解：（）当a=2时，f（x）=x22x+2lnx，则f（1）=1，f（1）=2，所以切线方程为y+1=2（x1），即为y=2x3（）（x0），令f（x）=0，得2x22x+a=0，（1）当=48a0，即时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；（2）当=48a0且a0，即时，由2x22x+a=0，得，由f（x）0，得或；由f（x）0，得综上，当
28、时，f（x）的单调递增区间是（0，+）；当时，f（x）的单调递增区间是，；单调递减区间是（）函数f（x）在（0，+）上有两个极值点，由（）可得，由f（x）=0，得2x22x+a=0，则x1+x2=1，由，可得，=1x1+2x1lnx1，令h（x）=1x+2xlnx（0x），h（x）=1+2lnx，由0x，则1x1，（x1）21，41，又2lnx0，则h（x）0，即h（x）在（0，）递减，即有h（x）h（）=ln2，即ln2，即有实数m的取值范围为（，ln2选修4-1：几何证明选讲22如图，已知AD是ABC的外角EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交ABC的外接圆于点F，连接FB，FC
29、（1）求证：FB=FC；（2）若AB是ABC外接圆的直径，EAC=120，BC=6cm，求AD的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）由已知得EAD=DAC，DAC=FBC，从而FBC=FCB，由此能证明FB=FC（2）由已知得ACB=90从而ABC=30，DAC=EAC=60，由此能求出AD【解答】证明：（1）因为AD平分EAC，所以EAD=DAC因为四边形AFBC内接于圆，所以DAC=FBC因为EAD=FAB=FCB，所以FBC=FCB，所以FB=FC解：（2）因为AB是圆的直径，所以ACB=90，又EAC=120，所以ABC=30，DAC=EAC=60，因为BC=6，所以AC=BCt
30、anABC=2，所以AD=4（cm）选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l过点M（3，4），其倾斜角为45，圆C的参数方程为再以原点为极点，以x正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系xoy有相同的长度单位（1）求圆C的极坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，求|MA|MB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用cos2+sin2=1消去参数可得圆的直角坐标方程式，由极坐标与直角坐标互化公式代入化简即可得出（2）直线l的参数方程，（t为参数），代入圆方程得： +9=0，利用|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|即可得出【
31、解答】解：（1）消去参数可得圆的直角坐标方程式为x2+（y2）2=4，由极坐标与直角坐标互化公式得（cos）2+（sin2）2=4化简得=4sin，（2）直线l的参数方程，（t为参数）即代入圆方程得： +9=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则，t1t2=9，于是|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=9选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|2x+1|+|2x3|（1）求不等式f（x）6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）|a2|的解集非空，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（2）利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为4，再根据|a2|4，求得a的范围【解答】解：（1）函数f（x）=|2x+1|+|2x3|，不等式f（x）6 等价于，或，或解求得1x；解求得x；解求得x2综合可得，原不等式的解集为1，2）（2）f（x）=|2x+1|+|2x3|2x+1（2x3）|=4，则f（x）的最小值为4若关于x的不等式f（x）|a2|的解集非空，则|a2|4，a24，或 a24，求得a6，或a2，故a的范围为a|a6，或a2 2016年7月7日