1、第一节椭圆的概念及其性质课时作业练1.设P是椭圆x225+y216=1上的点,若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于.答案102.椭圆x216+y24=1的离心率为.答案323.已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为12,焦距为8,则该椭圆的方程是.答案y264+x248=1解析设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),2c=8,c=4.e=ca=4a=12,a=8.又b2=a2-c2=48,椭圆的方程为y264+x248=1.4.(2019江苏南京模拟)若椭圆x2m-2+y210-m=1的长轴在x轴上,焦距为4,则实数m的值为.答案8解析由题意可得m-21
2、0-m0,解得6m5)的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,FAB的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是.答案23解析设椭圆的右焦点为F1,则FAB的周长=|AF|+|BF|+|AB|=2a-|AF1|+2a-|BF1|+|AB|=4a-(|AF1|+|BF1|)+|AB|.|AF1|+|BF1|AB|,FAB的周长4a,故FAB的周长的最大值是4a,即4a=12,a=3,c2=a2-b2=9-5=4,e=ca=23.8.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点,直线y=b2与椭圆交于B,C两点,且BFC=90,则该
3、椭圆的离心率是.答案63解析由已知条件易得B-32a,b2,C32a,b2,F(c,0),BF=c+32a,-b2,CF=c-32a,-b2,由BFC=90,可得BFCF=0,所以c-32ac+32a+-b22=0,c2-34a2+14b2=0,即4c2-3a2+(a2-c2)=0,即3c2=2a2,所以c2a2=23,则e=ca=63.9.已知焦点在x轴的椭圆过点P,其中M、N为两个焦点,且PMN的面积为1,tanPMN=12,tanMNP=-2,求该椭圆方程.解析设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则MN=2c,不妨设M(-c,0),N(c,0),P(xP,yP),则由ta
4、nPMN=12,得yPxP+c=12,由tanMNP=-2,得tan(-MNP)=2,即yPxP-c=2,联立两式解得xP=53c,yP=43c.又SMNP=c|yP|=1,即43c2=1,c=32,即P536,233,将P点坐标代入椭圆方程,再由c2=a2-b2解得a2=154,b2=3,故所求的椭圆方程为4x215+y23=1.10.(2019淮海中学高三模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22,两条准线之间的距离为42.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2+y2=89上,直线AM与椭圆的另一交点为B,且AOB
5、的面积是AOM面积的2倍,求直线AB的方程.解析(1)设椭圆的焦距为2c,由题意得,ca=22,2a2c=42,解得a=2,c=2,所以b=2,所以椭圆的标准方程为x24+y22=1.(2)因为SAOB=2SAOM,所以AB=2AM,所以点M为AB的中点,由(1)知椭圆的方程为x24+y22=1,所以A(-2,0).设M(x0,y0),则B(2x0+2,2y0),由题意得x02+y02=89,(2x0+2)24+(2y0)22=1,由得9x02-18x0-16=0,解得x0=-23或x0=83(舍去).把x0=-23代入,得y0=23,所以kAB=12,因此,直线AB的方程为y=12(x+2)
6、,即x+2y+2=0或x-2y+2=0.11.已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O,离心率等于32,以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45.直线l:y=kx+m与y轴交于点P,与椭圆E相交于A、B两点.(1)求椭圆E的方程;(2)若AP=3PB,求m2的取值范围.解析(1)根据已知设椭圆E的方程为y2a2+x2b2=1(ab0),由已知得ca=32,c=32a,b2=a2-c2=a24.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为45,4a2+b2=25a=45,a=2,b=1.椭圆E的方程为y24+x2=1.(2)根据已知得P(0,m),设A(x1,kx1+m),B(x2,kx2
7、+m),由y=kx+m,4x2+y2-4=0得,(k2+4)x2+2mkx+m2-4=0.由已知得=4m2k2-4(k2+4)(m2-4)0,即k2-m2+40,由一元二次方程的根与系数的关系知,x1+x2=-2kmk2+4,x1x2=m2-4k2+4.由AP=3PB,得x1=-3x2,3(x1+x2)2+4x1x2=12x22-12x22=0.12k2m2(k2+4)2+4(m2-4)k2+4=0,即m2k2+m2-k2-4=0.当m2=1时,m2k2+m2-k2-4=0不成立,k2=4-m2m2-1.由题意知k0,m0,结合m2k2+m2-k2-4=0,知k2-m2+4=m2k20,4-m
8、2m2-1-m2+40,即(4-m2)m2m2-10,1m20,a0)在x=3时取得最小值,则a=.答案36解析因为f(x)=4x+ax24a(x0,a0),当且仅当4x=ax,即x=a2时取等号,即f(x)取得最小值,所以a2=3,解得a=36.3.(2018江苏三校联考)数列an为等比数列,a1=1,且a1+1,a3+4,a5+7成等差数列,则公差d=.答案3解析设等比数列an的公比为q,则由题意知2,q2+4,q4+7成等差数列,则2(q2+4)=q4+9,解得q2=1,则公差d=5-2=3.4.(2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,已知过点A(2,-1)的圆C和直线
9、x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为.答案(x-1)2+(y+2)2=2解析点A在直线x+y=1上,则点A是切点,则圆心在过点A且与直线x+y=1垂直的直线上,即圆心在直线y=x-3上,又圆心在直线y=-2x上,所以圆心C的坐标为(1,-2),所以半径r=CA=2,则圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.5.(2018江苏南通冲刺小练(39)将函数f(x)=2 cosx+4(0)的图象向右平移4个单位长度,得到函数g(x)的图象,若g(x)在0,3上为减函数,则的最大值为.答案3解析由题意可得g(x)=2cosx-4+4=2cos x,函数g(x)的一个单调递
10、减区间是0,若g(x)在区间0,3上为减函数,则0,30,则3,3,则的最大值为3.6.在RtABC中,CA=CB=2,M,N是斜边AB上的两个动点,且MN=2,则CMCN的取值范围是.答案32,2解析以点C为坐标原点,边CA、CB所在的直线为x轴、y轴,CA的方向、CB的方向分别为x轴正方向、y轴正方向建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(0,2),斜边AB的方程为x+y=2,x0,2.因为MN=2,所以可设M(x,2-x),N(x+1,1-x),x0,2,(x+1)0,2,所以x0,1,此时CMCN=x(x+1)+(2-x)(1-x)=2x2-2x+2,x0,1,当x=12时,CMCN取
11、得最小值32,当x=0或1时,CMCN取得最大值2,所以CMCN的取值范围是32,2.7.(2018江苏苏州高三期中)已知数列an,bn满足a1=12,an+bn=1,bn+1=1an+1(nN*),则b1b2b2 017=.答案12 018解析由题意可得b1=12,bn+1=12-bn,则b2=23,b3=34,b4=45,则b1b2b3b2 017=1223342 0172 018=12 018.8.若对任意的x1,x212,2,都有ax1+x1ln x1x23-x22-3成立,则实数a的取值范围是.答案1,+)解析令f(x)=x3-x2-3,x12,2,则f (x)=3x2-2x=x(3
12、x-2),由f (x)0得23x2,由f (x)0得12x0在12,1上恒成立,则g(x)递增,x12,1,则g(x)max=g(1)=1,故a1.9.(2018江苏南通海安高级中学高三检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B的值.解析(1)证明:根据正弦定理及cosAa+cosBb=sinCc得cosAsinA+cosBsinB=sinCsinC=1,故sin Asin B=cos Asin B+cos Bsin A=sin(A+B),因为A+B+C=,所以sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)因为b2+c2-a2=65bc,所以cos A=b2+c2-a22bc=65bc2bc=35,因为A为三角形的内角,所以sin A=45,由(1)得45sin B=35sin B+45cos B,即15sin B=45cos B,易知cos B0,故tan B=sinBcosB=4.