1、福建省南安市柳城中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题一、单选题（共8题；共40分）1.设复数 z=(1-2i)i （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若向量 a=(1,2) ， b=(0,1) ， ka-b 与 a-2b 共线，则实数k的值为（ ） A.-1B.-12C.1D.23.已知正三角形ABC的边长为 2 ，那么 ABC 的直观图 ABC 的面积为（ ） A.62B.34C.3D.684.在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=6 ，则此三角形（ ） A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定
2、5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为 26 的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ） A.45B.(8+63)C.103D.(10+45)6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则 MN= （ ） A.-13AB+16ADB.14AB-13ADC.13AB-16ADD.34AB-14AD7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的
3、米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ） A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知 ADC=90A=60 ， AB=2 ， BD=26 ， DC=43 ，则BC的长为（ ） A.43B.5C.65D.7二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（ ） A.若复数 z=1+i1-i （i为虚数单位），则 z30=-1B.若复数z满足 z2R ，则 zRC.若复数 z=a+bi(a,bR) ，则z为纯虚数的充要条件是 a=0D.若复数z满足 |z|=1 ，则复数
4、z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆10.已知 ， 是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 mn ， m ，则 nB.若 m ， =n ，则 mnC.若 m ， m ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 11.下列结论正确的是（ ） A.在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinBB.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2+c2-a20 恒成立C.在 ABC 中，若 C=4 ， a2-c2=bc ，则 ABC 为等腰直角三角形D.在 ABC 中，若 b=3 ， A=60 ，三角形面积 S=33 ，则三角形外接圆半径为 3312.在 AB
5、C 中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A.AB+AC-AD=0B.DA+EB+FC=0C.若 AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD| ，则 BD 是 BA 在 BC 的投影向量D.若点P是线段AD上的动点，且满足 BP=BA+BC ，则 的最大值为 18三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数 z=3-i1+i （i为虚数单位），则 |z|= _. 14.已知向量 a ， b 夹角为 30 ， |a|=2 ， |b|=23 ，则 |2a+b|= _. 15.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 (a+b+c)(a+b-c)=3ab
6、，且 a2=bc ，则 basinA 的值为_. 16.已知一个高为 3 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 23 的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_. 四、解答题（共6题；共70分）17.己知向量 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a=(1,-1)（）若 |c|=32 ，且 ca ，求向量 c 的坐标；（）若 b 是单位向量，且 a(a-2b) ，求 a 与 b 的夹角 .18.如图，在三棱锥 P-ABC 中， ACB=90 ， PA 底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点. （1）求证： MN 平面ABC； （2）求证：
7、平面 PCB 平面PAC； （3）若 PA=AC=CB=2 ，求三棱锥 N-AMC 的体积 19.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinC . （1）求角A的大小； （2）若 cosB=13 ， a=3 求c的值. 20.已知复数 z1=2sinAsinC+(a+c)i ， z2=1+2cosAcosC+4i ，且 z1=z2 ，其中A、B、C为 ABC 的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边. （1）求角B的大小； （2）若 b=22 ，求 ABC 的面积. 21.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 .
8、（1）求AC与 A1D 所成角的大小； （2）求证：平面 ACB1 平面 BDD1B1 ； （3）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面 AB1C 所成角的正切值. 22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 OC=13OA+23OB . （1）求证： ACCB ； （2）已知 A(1,cosx) ， B(1+cosx,cosx) ， x0,2 ， f(x)=OAOC-(2m+23)|AB| 若 f(x) 的最小值为 g(m) ，求 g(m) 的最大值. 答案解析部分一、单选题（共8题；共40分）1.设复数 z=(1-2i)i （i为虚数单位），则在复平面内z对应的点位于
9、（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】复数 z=(1-2i)i=2+i ，对应的点坐标为 (2,1) ，在第一象限. 故答案为：A. 【分析】先做复乘法，得到Z，再根据Z的坐标判断。2.若向量 a=(1,2) ， b=(0,1) ， ka-b 与 a-2b 共线，则实数k的值为（ ） A.-1B.-12C.1D.2【答案】 B 【考点】向量的共线定理，平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】【解答】向量 a=(1,2) ， b=(0,1) ， ka-b=k(1,2)-(0,1)=(k,
10、2k-1) ， a+2b=(1,2)+2(0,1)=(1,4) ，又 ka-b 与 a+2b 共线， 4k=2k-1 ，解得 k=-12故答案为：B. 【分析】先分别求出 ka-b 与 a-2b 的坐标式，然后根据两个向量共线的条件求解。3.已知正三角形ABC的边长为 2 ，那么 ABC 的直观图 ABC 的面积为（ ） A.62B.34C.3D.68【答案】 D 【考点】平面图形的直观图 【解析】【解答】如图， 直观图 ABC 的底边 AB 长度为原图形的底边长，高为原图形的高CD的一半乘以 22 ， 故其直观图面积为 1223221222=68 . 故答案为：D 【分析】先画出三角形ABC
11、的直观图，再根据原图与直观图之间的数量关系，即可求得。4.在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=6 ，则此三角形（ ） A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定【答案】 B 【考点】正弦定理 【解析】【解答】在 ABC 中， a=43 ， b=12 ， A=6 ， 由正弦定理 asinA=bsinB 得： sinB=bsinAa=121243=321 ，又 aa,可知，B有两上值，从而三角形有两解。5.已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为 26 的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为（ ） A.45B.(8+63)C.103D.(10+45)【答案】 D 【考点】球的体积和
12、表面积，球内接多面体 【解析】【解答】由题得圆柱的底面圆的半径为 (6)2-12=5 ， 所以圆柱的侧面积为 2(5)2+252=(10+45) .故答案为：D. 【分析】先由勾股定理计算圆柱底面半径，进一步求解。6.在平行四边形ABCD中，点N为对角线AC上靠近A点的三等分点，连结BN并延长交AD于M，则 MN= （ ） A.-13AB+16ADB.14AB-13ADC.13AB-16ADD.34AB-14AD【答案】 C 【考点】向量数乘的运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】 MAN=ACB ， MNA=BNC ， ANMCNB AMBC=ANNC=12 ， M
13、N=AN-AM=13AC-12AD=13(AB+AD)-12AD=13AB-16AD .故答案为：C. 【分析】由 由平行四边形，得到 ANMCNB ， 从而得出 AMBC=ANNC=12 ， 进一步根据向量的加减法得到答案。7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周十尺，高六尺，问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为10尺，米堆的高为6尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约为（ ） A.17斛B.25斛C.41斛D.58斛
14、【答案】 C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为r ， 则 2r=10 ，解得 r=20 ， 故米堆的体积为 1413(20)26=2002003 ，1斛米的体积约为1.62立方尺， 20031.6241 ，故答案为：C. 【分析】先求得圆锥底面半径，然后求其体积，然后根据题意求解。8.如图，为了测量B，C两点间的距离，选取同一平面上A，D两点，已知 ADC=90A=60 ， AB=2 ， BD=26 ， DC=43 ，则BC的长为（ ） A.43B.5C.65D.7【答案】 A 【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【解答】解：在 ABD 中，由正弦定理可得
15、 BDsinA=ABsinADB ，即 26sin60=2sinADB ， 所以 sinADB=24 ，又因为 ADC=90 ，所以 cosBDC=cos(90-ADB)=sinADB=24在 CBD 中，由余弦定理可得 BC2=DC2+BD2-2DCBDcosBDC即 BC2=(43)2+(26)2-2432624所以 BC=43 ，故答案为：A. 【分析】先在 ABD 由正弦定理求出 sinADB=24 ， 进一步得到 cosBDC24 ， 最后由余弦定理求得结果。二、多项选择题（共4题；共20分）9.在复平面内，下列说法正确的是（ ） A.若复数 z=1+i1-i （i为虚数单位），则
16、z30=-1B.若复数z满足 z2R ，则 zRC.若复数 z=a+bi(a,bR) ，则z为纯虚数的充要条件是 a=0D.若复数z满足 |z|=1 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆【答案】 A,D 【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算，复数求模 【解析】【解答】解：对于A： z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=i ， i2=-1 ， i4=1 ，所以 z30=i30=i47+2=i2=-1 ，A符合题意； 对于B：设 z=a+bi ， a,bR ，所以 z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi ，若 z2R ，则 2ab=0 ，则 a=0,b
17、0 或 b=0,a0 或 a=b=0 ，当 b=0 时 zR ，B不符合题意；复数 z=a+bi(a,bR) ，则z为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b0 ，C不符合题意；若复数z满足 |z|=1 ，则复数z对应点的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆，D符合题意；故答案为：AD 【分析】根据题意选项A先化简.复数z=1+i1-i根据复数的周期性及其运算法则即可得出z30 ， 即可判断出正误.选项B举例z=i即可判断出正误.选项C.复数z=a+bi(a，bER)，则z为纯虚数的充要条件是a=0,b0 ， 即可判断出正误.D.根据复数的几何意义即可判断出正误.10.已知 ， 是两个不重合的平面，
18、m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 mn ， m ，则 nB.若 m ， =n ，则 mnC.若 m ， m ，则 D.若 m ， mn ， n ，则 【答案】 A,C,D 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定 【解析】【解答】解： 若 m ，则 a,b 且 ab=P 使得 ma ， mb ，又 mn ，则 na ， nb ，由线面垂直的判定定理得 n ，A对；若 m ， =n 如图，设 m=AB ，平面 A1B1C1D1 为平面 ， m ，设平面 ADD1A1 为平面 ， =A1D1=n ，则 mn ，B不符合题意；垂直于同一条直线
19、的两个平面平行，C对；若 m ， mn ，则 n ，又 n ，则 ，D对；故答案为：ACD. 【分析】对于A，根据直线垂直平等的性质，显然有n ， 所以A正确； 对于B，平行于平面的直线，不一定平等于平面内的任意直线，所以 B错； 对于C，根据同平行于一条直线的两个平面平行，所以C正确； 对于D，同垂直于两条平行直线的两个平面，一定是平行的，所以D正确。11.下列结论正确的是（ ） A.在 ABC 中，若 AB ，则 sinAsinBB.在锐角三角形 ABC 中，不等式 b2+c2-a20 恒成立C.在 ABC 中，若 C=4 ， a2-c2=bc ，则 ABC 为等腰直角三角形D.在 ABC
20、 中，若 b=3 ， A=60 ，三角形面积 S=33 ，则三角形外接圆半径为 33【答案】 A,B,C 【考点】解三角形，正弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】对A，在 ABC 中，由 ABab2RsinA2RsinBsinAsinB ， A符合题意.对B，若 b2+c2-a20 ，则 cosA=b2+c2-a22bc0 ，又因为 0A ，所以 A 为锐角，符合 ABC 为锐角三角形，B符合题意.对C， c2=a2+b2-2abcos4 ，整理得： c2=a2+b2-2ab .因为 a2-c2=bc ，所以 bc+b2-2ab=0 ，即 b+c=2a .所以 sinB+sin4=2s
21、inA ，即 sinB+22=2sin(B+4) ，sinB+22=2(sinBcos4+cosBsin4)=sinB+cosB ，即 cosB=22 ，又 0B ，所以 B=4 .故 A=-4-4=2 ，则 ABC 为等腰直角三角形，C符合题意.对D， S=12bcsinA=123c32=33 ，解得 c=4 .a2=b2+c2-2bccosA=9+16-23412=13 ，所以 a=13 .又因为 13sin60=1323=2393=2R ， R=393 ，D不符合题意.故答案为：ABC 【分析】 根据题意直接利用正弦定理求出结果直接利用余弦定理求出结果直接利用余弦定理和关系式的变换求出结
22、果直接利用三角形的面积公式的应用和三角形的边角关系的应用求出结果，从而得出答案。12.在 ABC 中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（ ） A.AB+AC-AD=0B.DA+EB+FC=0C.若 AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD| ，则 BD 是 BA 在 BC 的投影向量D.若点P是线段AD上的动点，且满足 BP=BA+BC ，则 的最大值为 18【答案】 B,C,D 【考点】向量的加法及其几何意义，平面向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】如图所示： 对A， AB+AC-AD=2AD-AD=AD0 ，A不符合题意.对B， DA+EB+FC=-12(AB+
23、AC)-12(BA+BC)-12(CA+CB)=-12AB-12AC-12BA-12BC-12CA-12CB=-12AB-12AC+12AB-12BC+12AC+12BC=0 ，B符合题意.对C， AB|AB| ， AC|AC| ， AD|AD| 分别表示平行于 AB ， AC ， AD 的单位向量，由平面向量加法可知： AB|AB|+AC|AC| 为 BAC 的平分线表示的向量.因为 AB|AB|+AC|AC|=3AD|AD| ，所以AD为 BAC 的平分线，又因为AD为BC的中线，所以 ADBC ，如图所示：BA 在 BC 的投影为 |BA|cosB=|BA|BD|BA|BD| ，所以 B
24、D 是 BA 在 BC 的投影向量，C符合题意.对D，如图所示：因为P在AD上，即A ， P ， D三点共线，设 BP=tBA+(1-t)BD ， 0t1 .又因为 BD=12BC ，所以 BP=tBA+(1-t)2BC .因为 BP=BA+BC ，则 =t=1-t2 ， 0t1 .令 y=lm=t1-t2-12(t-12)2+18 ，当 t=12 时， 取得最大值为 18 . D符合题意.故答案为：BCD 【分析】对于A，根据平行四边形法则，AB+AC2AD, 故A错； 对于B，由三角形法则，及向量的加法与数乘，可以推出，B正确； 对于C，首先由邻边相等的平行四边形是菱形，得到AD是角平分线
25、，得到AD与垂直，再四投影的概念，得到结果正确； 对于D,根据A ， P ， D三点共线，建立向量关系式，然后由二次函数的知识，得到结果正确。三、填空题（共4题；共20分）13.已知复数 z=3-i1+i （i为虚数单位），则 |z|= _. 【答案】5【考点】复数代数形式的乘除运算，复数求模 【解析】【解答】 z=3-i1+i=(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=3-3i-i+i22=2-4i2=1-2i ， z=1+2i ， |z|=12+22=5 . 故答案为： 5 . 【分析】先做复数除法，化简Z，再求模。14.已知向量 a ， b 夹角为 30 ， |a|=2 ， |b|=23
26、 ，则 |2a+b|= _. 【答案】213【考点】向量的模，平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】【解答】因为向量 a ， b ，夹角为 30 ， |a|=2 ， |b|=23所以 |2a+b|2=4a2+4ab+b2=44+422332+12=52 ，所以 |2a+b|2=213 . 故答案为： 213 . 【分析】将 |2a+b| 化为 |2a+b|=（2a+b）2, 然后再由模及夹角就可以求解。15.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 (a+b+c)(a+b-c)=3ab ，且 a2=bc ，则 basinA 的值为_. 【答案】233【考点】正弦定理，余弦定理
27、 【解析】【解答】 (a+b+c)(a+b-c)=3ab ， a2+b2-c2=ab ， cosC=a2+b2-c22ab=12 ，由 C(0,) 可得 C=3 ，又 a2=bc ， asinA=bsinC ， basinA=1sinC=1sin3=132=233 .故答案为： 233 . 【分析】先由余弦定理求出角C=3 ， 再由正弦定理求解。16.已知一个高为 3 的三棱锥，各侧棱长都相等，底面是边长为 23 的等边三角形，则三棱锥的表面积为_，若三棱锥内有一个体积为V的球，则V的最大值为_. 【答案】93；4327【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 【解析】【解答】由题意，三棱锥
28、P-ABC 如图所示： 取BC的中点E ， 连接AE、PE ， 由正三角形的性质可得 ABC 的中心O在线段AE上，且 OE=13AE=33CE=1 ，连接PO ， 则PO即为该三棱锥的高，即 PO=3 ，所以 PE=OE2+PO2=2 ，又 PB=PC ，所以 PEBC ，所以 SPBC=12BCPE=23 ，又 SABC=12BCAE=33 ，所以三棱锥的表面积 S=SABC+3SPBC=33+323=93 ；所以该三棱锥的体积 V1=13SABCPO=13333=3 ，当球与三棱锥 P-ABC 内切时，体积最大，设三棱锥 P-ABC 的内切球的半径为R ， 则 V1=13(SABC+3S
29、PBC)R=1393R=3 ，解得 R=33 ，则 Vmax=43R3=43(33)3=4327 .故答案为 93 ； 4327 . 【分析】显然，当球与三棱锥内切时，体积最大，然后根据题意此棱锥是一个正三棱锥，不难求出其高，进而求得体积。四、解答题（共6题；共70分）17.己知向量 a ， b ， c 是同一平面内的三个向量，其中 a=(1,-1)（）若 |c|=32 ，且 ca ，求向量 c 的坐标；（）若 b 是单位向量，且 a(a-2b) ，求 a 与 b 的夹角 .【答案】 （）设 c=(x,y) ，由 |c|=32 ，且 ca 可得 y+x=0x2+y2=18 ，所以 x=-3y=
30、3 或 x=3y=-3 ， 故 c=(-3,3) ，或 c=(3,-3)（）因为 |a|=2 ，且 a(a-2b) ，所以 a(a-2b=0) ，即 a2-2ab=0 ，所以 2-2ab=0 ， ab=1 ，故 cos=ab|a|b|=22 ， =4 .【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示，数量积判断两个平面向量的垂直关系，平面向量数量积坐标表示的应用 【解析】【分析】（1）由c 的模及与向量a平行，由平行向量的关系，求得 c 的坐标； （2）先设出b的坐标式，由其模为1及 a(a-2b) 这一条件，即以求了b ， 再求 a 与 b 的夹角。18.如图，在三棱锥 P-AB
31、C 中， ACB=90 ， PA 底面ABC.M，N分别为PB，PC的中点. （1）求证： MN 平面ABC； （2）求证：平面 PCB 平面PAC； （3）若 PA=AC=CB=2 ，求三棱锥 N-AMC 的体积 【答案】 （1）证明： M，N分别为PB，PC的中点，所以 MNBC ， BC 平面ABC， MN 平面ABC，所以 MN 平面ABC；（2）PA 底面ABC， BC 平面ABC，所以 PABC ， 因为 ACB=90 ，所以 ACBC ，又 PAAC=A ，所以 BC 平面PAC， BC 平面ABC，所以平面 PCB 平面PAC；（3）由（2）知， MNBC ， BC 平面PAC
32、，所以 MN 平面PAC， MN=12BC=1 ， 在三角形PAC中， AN=2 ， NC=2 ， SANC=12ANNC=1 ，所以 VN-AMC=VM-ANC=13SANCMN=13 .【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的判定 【解析】【分析】（1）利用MN是三角形的中位线，得到MN|BC，进面得到MN|平面ABC； （2）由题意知道可以推出BC平面PAC，从而有MN平面ACP， 进一步得到平面 PCB 平面PAC。19.在 ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinC . （1）求角A的大
33、小； （2）若 cosB=13 ， a=3 求c的值. 【答案】 （1）解：由正弦定理可得 b2+c2=a2+2bc ， 由余弦定理得 os A=b2+c2-a22bc=22 ，因为 A(0,) ，所以 A=4 ；（2）由（1）可知 sinA=22 ，因为 cosB=13 ，B为 ABC 的内角，所以 sinB=223 ， 故 sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2213+22223=4+26 ，由正弦定理 asinA=csinC 得 c=asinCsinA=34+2622=22+1 .【考点】正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【分
34、析】（1）由正弦定理与余弦定理求得A A=4 ； （2）由cosB的值，求出sinB的值，由三角形内角和定理及诱导公式，求出sinC,再由正弦定理求得c的值。20.已知复数 z1=2sinAsinC+(a+c)i ， z2=1+2cosAcosC+4i ，且 z1=z2 ，其中A、B、C为 ABC 的内角，a、b、c为角A、B、C所对的边. （1）求角B的大小； （2）若 b=22 ，求 ABC 的面积. 【答案】 （1） z1=z2 ， 2sinAsinC=1+2cosAcosC ， a+c=4 ， 由得 2(cosAcosC-sinAsinC)=-1 ，即 cos(A+C)=cos(-B)
35、=-cosB=-12 ， cosB=12 ， 0B ， B=3 ；（2） b=22 ，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB ，即 a2+c2-ac=8 ， 由得 a2+c2+2ac=16 ，由得 ac=83 ， SABC=12acsinB=128332=233 .【考点】复数的基本概念，正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】（1）由向量相等建立关系式，进一步求得 B=3 ； （2）由（1）有 a+c=4 ，再由余弦定理建立关系式： a2+c2-ac=8 ，配方 (a+c)2-3ac=8 ， 进一步得到 得 ac=83 ， 利用面积公式得到结果。21.如图所示，在正方体 ABCD-A1B
36、1C1D1 . （1）求AC与 A1D 所成角的大小； （2）求证：平面 ACB1 平面 BDD1B1 ； （3）若E，F分别为AB，AD的中点，求EF与平面 AB1C 所成角的正切值. 【答案】 （1）解：如图所示，连接 B1C ， AB1 ，由 ABCD-A1B1C1D1 是正方体， 易知 ADBC ，从而 B1C 与AC所成的角就是AC与 A1D 所成的角， AB1=AC=B1C ， B1CA=60 ，即 A1D 与AC所成的角为 60 .（2）连接BD与AC交于点O，因为 ACBD ， ACB1B ，且 BDB1B=B ， 所以 AC 平面 BDD1B1 ，所以平面 ACB1 平面 B
37、DD1B1 ，（3）在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F分别为AB，AD的中点， EFBD ，所以EF与平面 AB1C 所成角即等于BD与平面 AB1C 所成角，连接 B1O ，所以 B1O 即为BO在平面 ACB1 的射影所在的线段； B1OB 即为BO与平面 ACB1 所成的角，设该正方体边长为2，得 OB=2 ， B1B=2 ， tanB1OB=2 ，所以EF与平面 AB1C 所成角的正切值为 2 .【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1） 连接 B1C ， AB1 ， 由A1D|B1C,而三角形ACB1是正三角形，得到结
38、果； （2）通过证明AC平面 BDD1B1 即可。22.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足 OC=13OA+23OB . （1）求证： ACCB ； （2）已知 A(1,cosx) ， B(1+cosx,cosx) ， x0,2 ， f(x)=OAOC-(2m+23)|AB| 若 f(x) 的最小值为 g(m) ，求 g(m) 的最大值. 【答案】 （1）由题意知A，B，C三点满足 OC=13OA+23OB ， 可得 OC-OA=23(OB-OA) ，所以 AC=23AB=23(AC+CB) ，即 13AC=23CB即 AC=2CB ，则 ACCB（2）由题意，函数 f(x)
39、=OAOC-(2m+23)|AB|=1+23cosx+cos2x-(2m+23)cosx=(cosx-m)2+1-m2因 x0,2 ，所以 cosx0,1当 m1 时，当 cosx=1 时， f(x) 取得最小值 g(m)=2-2m ，综上所述， g(m)=1m1 ，可得函数 g(m) 的最大值为1，即 g(m) 的最大值为1.【考点】平行向量与共线向量，平面向量共线（平行）的坐标表示，复合三角函数的单调性，三角函数的最值 【解析】【分析】（1）由条件可以得到 AC=2CB ，则AC | | CB ; (2)先求得 f(x)=1+23cosx+cos2x-(2m+23)cosx=(cosx-m)2+1-m2然后对m分类讨论，根据cosx的值域，即可求得结果。