1、1/23第 15 讲三角函数求值问题【高考地位】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.掌握化简和求值问题的解题规律和一些常用技巧，以 优化我们的解题效果，做到事半功倍.这也是解决三角函数问题的前提和出发点.在高考中常以选择题、填空题出现，其试题难度考查不大.方法一切化弦，弦化切万能模板内容使用场景一般三角求值类型解题模板第一步利用同角三角函数的基本关系sintancos，将题 设中的切化成弦的形式；第二步计算出正弦与余弦之间的关系；第三步结合三角恒等变换可得所求结果.例 1 若2tan3 ，1tan3，则sin(22)（）A7 130130B11 130130C3365D 9130【
2、来源】全国卷高三高考数学（理）冲刺预测试题【答案】C【分析】根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果.【详解】由2tan3 知，23sin,cos1313，或23sin,cos1313，则2312sin 22sincos2131313 ，2225cos21 2sin1 2()1313 由1tan3 知，13sin,cos1010，或13sin,cos1010 ，则133sin 22sincos251010，2214cos21 2sin1 2()510 ，则sin(22)sin 2cos 2cos 2sin 2124533313513565 故选：C2/23【变式演
3、练 1】【安徽省淮北市高三下学期二模】若2tantan 8，则cos8cos8的值为（）A13B0C 13D1【答案】A【解析】【分析】根据齐次式化简得到cos1tantan881tantancos88，代入数据计算得到答案.【详解】2tantan 8，则 tantan28，coscoscossinsin1tantan1 218888123coscossinsin1tantancos8888 .故选：A.【点睛】本题考查了和差公式，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和转化能力.【变式演练 2】已知 tan3 ，则sin 22cos2（）A12B 1C1D2【来源】“陕西名校”高三 5 月检测数
4、学（理）试题【答案】C【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得；【详解】解：因为 tan3 ，所以sin 22cos23/23222sincos2cos2sin22222sincos2cos2sincossin222tan22tan1tan 2223223113 故选：C方法二统一配凑万能模板内容使用场景一类特殊三角求值类型解题模板第一步观察已知条件中的角和所求的角之间的联系；第二步利用合理地拆角，结合两角和（或差）的正弦（或余弦）公式将所求的三角函数值转化为已知条件中的三角函数值；第三步利用三角恒等 变换即可得出所求结果.例 2【黑龙江省哈尔滨市第六中学校高三第
5、一次模拟】若540,0,sin,cos22325235，则cos2的值为（）A55B11 525C 2 55D 7 525【答案】B【解析】【分析】先根据0,022，确定,3223 的范围，再根据5sin325，4cos235，得到cos 32，sin23，然后由coscos22332，利用两角和的余弦公式求解.【详解】4/23因为0,022，所以,1232332312，因为5sin325，所以2 5cos 325，因为4cos235，所以3sin235，所以coscos22332，sinsin23322coscos332，42 53511 5555525.故选：B【点睛】本题主要考查两角和与
6、差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【变式演练 3】已知1sin63，则sin 26（）A79B29C 29D 79【来源】河北省衡水市饶阳中学高三 5 月数学精编试题【答案】A【分析】令+6t，则6t ，1sin3t，再利用诱导公式及二倍角公式计算可得；【详解】解：令+6t，则6t ，1sin3t，所以sin 2=sin 2666t2sin 2cos2(12sin)2ttt 79.故选：A.【变式演练 4】【江西省吉安、抚州、赣州市高三一模】已知3tan65，则sin 23（）5/23A 817B817C1517D1517【答案】D【解析】【分析】设6，可得 223，可得出3t
7、an5 ，利用二倍角的正弦公式以及弦化切思想可求得sin 23的值.【详解】设6，则 223，3tantan65，2222sincos2tan15sin 22sincoscossin1tan17 故选：D.【点睛】本题考查利用三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于基础题.方法三公式活用万能模板内容使用场景一般求值题解题模板第一步观察已知式与待求式的特征；第二步选择合适的公式进行化简；第三步注意一些公式逆用的情况使用例 3【河北省张家口市高三下学期第二次模拟】221tan 1051tan 105（）A 12B12C32D32【答案】D【解析】【分析】6/23利用同角三角
8、函数的关系可得222222sin 10511tan 105cos 105sin 1051tan 1051cos 105，进一步通分化简得到原式为22cos 105sin 105，再由余弦的二倍角公式结合诱导公式和特殊角的三角函数值可得到答案.【详解】22222222222222sin 105cos 105sin 10511tan 1053cos 105cos 105cos 105sin 105cos210cos30sin 105cos 105sin 1051tan 10521cos 105cos 105 故选：D【点睛】本题考查同角三角函数的关系，诱导公式，二倍角公式，特殊角的三角函数值在三角
9、函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题【变式演练 5】若23sin22sin0，则cos 24（）A22或7 210B7 210C210或22D22【来源】贵州省瓮安中学高三 6 月关门考试数学（理）试题【答案】A【分析】由二倍角公式得23sincossin0，化简得出sin0 或 tan3，再由三角恒等变换得出2cos 2cos2sin 242，再分别讨论sin0，tan3 两种情况即可【详解】由题可得23 sin 2sin02所以23sincossin0，即sin3cossin0所以sin0 或 tan3 又2cos 2cos 2cossin 2sincos 2sin
10、24442所以当sin0 时，222cos 212sin2sincos422；当 tan3 时，2222 1 tan2tan7 2cos 2421tan1tan10 7/23故选：A【变式演练 6】【广东省梅州市高三上学期第一次质量检测】若sin 78m，则sin 6（）A12m B 12mC12m D12m【答案】B【解析】【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin78cosm，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin78cosm，又由余弦的倍角公式，可得2126sinm，所以1sin 62m，故选 B.【点睛】本题主要考查了三
11、角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.【反馈练习】1已知3 2sin410(0)，则sinc s2osin （）A2 721B516 4120C16 41205D 2 721【来源】湖南省永州市高三高考押题卷数学试题（一）【答案】C【分析】本题首先可根据3 2sin410得出3sincos5，然后两边同时平方，得出8sincos25，再然后根据2sincossincos得出41sincos5，最后通过诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.【详解】8/23因为3 2sin410，所以3sinco
12、s5，两边同时平方，得229sincos2sincos25，8sincos025，因为0，所以sin0，cos0，则241sincossincos1 2sincos5，16sin 22ssincos16 4125sincossincossincos205415in 2，故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换的求值问题，考查的公式有两角差的正弦公式、同角三角函数关系、诱导公式以及二倍角公式，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.2已知1sin63，则sin 26 的值为（）A 13B 19C79D 79【来源】江苏省南通学科基地高三高考数学全真模拟试题（五）【答案】C【分析】利
13、用诱导公式及二倍角公式计算即可【详解】27sin 2cos 2cos 22sin1662369 .故选：C3若 tan2 ，则sin1 sin 2sincos（）A65B25C 25D 65【答案】C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sincos)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入 tan2 即可得到结果【详解】9/23将式子进行齐次化处理得：22sinsincos2sin cossin1 sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan422sincos1 tan1 45故选：C【点睛】易错点睛：本题如果利用
14、tan2 ，求出sin,cos 的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论4已知,为锐角，11tan,tan63122，则tan2（）A913-B 139-C139D 913【来源】湖南省衡阳市第八中学高三下学期考前预测（二）数学试题【答案】A【分析】由正切的二倍角公式求得 tan26，再由tan2tan266a可求.【详解】因为22 tan1412tan2tan 21612311tan412，所以tan2tan266a14tantan296633141311tantan23366.故选：A.5设2sin 46a ，22cos 35sin 35b ，2tan321ta
15、n 32c，则 a，b，c 的大小关系为（）AbcaBcabC abcDbac【来源】江苏省淮安市高三下学期 5 月模拟数学试题【答案】D10/23【分析】根据正弦函数的单调性，结合不等式性质，可得到 a 的范围；利用二倍角公式化简 b、c，结合函数单调性，可得到 b、c 的大致范围；从而，可以比较 a、b、c 的大小.【详解】因为sin 45sin 46sin 60 ，所以有222sin 45sin 46sin 60 ，即22223()sin 46()22，所以 1324a；因为222cos 35sin 351 2sin 35 ，而sin 30sin 35sin 45 ，所以有211sin
16、3542，所以2101 2sin 352 ，即102b；因为22tan3212tan321 tan641 tan 3221 tan 322，而 tan 64tan 603 所以32c；显然，ba，而222333()()244c，所以34c，即ca所以bac故选：D6若1cos 63，则2cos23（）A 29B29C 79D79【来源】安徽省宿州市泗县第一中学高三下学期最后一卷文科数学试题【答案】C【分析】先根据诱导公式计算出sin 3 的值，然后根据二倍角的余弦公式求解出2cos23的值.【详解】1cos 63.1cossinsin62633，2227cos21 2sin13399 ，故选：
17、C.【点睛】11/23关键点点睛：解答本题的关键在于诱导公式以及二倍角公式的熟练使用，要具备一定的转化技巧；本例还可以通过直接将2cos23变形进行求解：2cos 2cos2cos 212cos3366 .7已知角 满足2sincossincos2，则3tan 28（）A 12B22C22D 1【来源】河南省商丘市第一高级中学高三 5 月月考理科数学试题【答案】D【分析】由已知条件可得sin 2(sincos)2，而sin 21 ，sincos2，由此可得sin 21sincos2或sin 21sincos2 ，从而可求出24k，然后代入3tan 28中化简可得结果【详解】解：因为2sinco
18、ssincos2所以sin 2(sincos)2，因为sin 21 ，sincos2，所以sin 21sincos2或sin 21sincos2 ，由解得2sincos2，由有2sin 2sincos1 1 知不可能，得24k，k Z，所以33tantantan128884k.故选：D8已知1sincos2，则2cos4（）A 19B 18C 38D 29【来源】甘肃省天水市第一中学高三下学期第九次模考数学（理）试题12/23【答案】B【分析】由已知利用两角差的余弦公式即可化简求解【详解】解：因为1sincos2，则2222221111cos()(cossin)(sincos)()422222
19、8故选：B 9已知3cos 45，0a，则cos （）A210B210C 7 210D7 210【来源】浙江省宁波市效实中学高三下学期高考模拟测试数学试题【答案】D【分析】利用角的变换44 ，再根据两角差的余弦公式即可求解.【详解】解：因为0a，所以3444，又3cos045，所以3442，所以4sin 45，所以 coscoscoscossinsin44444432427 2525210 .故选：D.10已知2sin18m ，若24mn，则21 2cos 153m n （）A14B12C 14D 12【来源】云南省昆明市第一中学高三第九次考前适应性训练数学（理）试题【答案】B【分析】13/2
20、3由2sin18m ，24mn，可求得24cos 18n，然后将,m n 代入21 2cos 153m n 中利用三角函数恒等变换公式化简可得结果【详解】因为2sin18m ，24mn，所以222444sin 184cos 18nm ，因此21 2cos 153cos306cos54sin3612sin182cos182sin362sin362m n，故选：B.11已知,02，2sin 21cos 2，则1tan 21tan 2（）A 25B35C 25D 26【来源】河南省安阳市高三三模拟考试理科数学试题【答案】C【分析】由二倍角公式化简计算即可得出结果.【详解】由 2sin 21cos 2
21、 可得24sincos1 1 2sin ，则22sincossin，又 ,02，sin0，故2cossin，又22sincos1，解得：2 5sin55cos5，所以：222sin 21cossin1tancoscossin222222=1tansincos+sincossin2222221+cos 22 511 sin52 55=52cos555.故选：C.12若53sin 45，则sin 2 的值为（）14/23A 725B 15C15D725【来源】贵州省毕节市高三二模数学（理）试题【答案】D【分析】根据诱导公式，先得到3sin 45，再由二倍角公式与诱导公式，即可得出结果.【详解】由5
22、3sin 45 可得3sin 45，所以2187sin 2cos 22sin11242525 .故选：D.13已知1sin63，则cos23（）A79B23C 23D 79【来源】四川省雅安市高三三模数学（理）试题【答案】D【分析】根据 cos2cos362，结合余弦的倍角公式，即可求解.【详解】由题意知1sin63，又由27cos2cos 2cos 212sin33966.故答案为：D.14已知1cos33，则 cos 23（）A 79B79C 89D89【来源】云南省红河州高三三模数学（理）试题【答案】A【分析】利用换元法令3，再利用诱导公式和倍角公式，即可计算得到答案；15/23【详解】
23、令3，则3，1cos3，所以cos 2cos 2cos 233327cos 22cos19 ，故选：A.【点睛】利用三角恒等变换进行求值时，注意整体思想的应用.15设sin 20m，cos 20n，化简2tan10111tan1012sin 10 （）A mnBmnC nmDnm【答案】A【分析】直接利用三角恒等变换求解.【详解】因为sin 20m，cos 20n，所以2tan10111tan1012sin 10 ，sin10cos101cos10sin10cos20oo，2sin10cos101cos20cos10sin10cos10sin10ooo，221 2sin10 cos101cos
24、 10sin 10cos20oo，1sin 201cos 20cos 20，sin 20cos20mn，故选：A16已知2cos 237sin6，则 os3c（）A12B 14C 27D 25【来源】河南省安阳市高三一模数学（理）试题16/23【答案】B【分析】利用二倍角公式对条件进行化简得1sin46，再进行配角求值，即可得到答案；【详解】2cos 21 2sin36，2cos 237sin6 即得22 12sin7sin66，化简得 4sin1sin2066 ，sin11,6，1sin46，1coscossin36624.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换的求值，求解时注意角的配凑，即
25、整体法的运用.17已知coscos13，则cos6 （）A 13B 12C22D33【来源】内蒙古包头市高三第二次模拟考试数学（文）试题【答案】D【分析】根据两角差的余弦公式即可得出33coscoscossin3 cos13226，然后即可求出cos6的值.【详解】coscos13,17/23133331coscossincossin3cossin3 cos1,22222263cos63.故选：D.18已知2 33sincos3，则sin 26（）A 13B13C 23D23【来源】陕西省西安交通大学附属中学高三下学期第四次模拟考试理科数学试题【答案】A【分析】利用两角和差公式和二倍角公式化简
26、求值即可【详解】因为2 33sincos3，所以313sincos223，即3sin63，则sin 2sin2626，cos 216 2212sin1633.故选：A19已知3(,)2，若 123sin 2sincos225，则sincos（）A75或35-B75C35-D 35【答案】B【分析】由正弦的二倍角公式得23sincossincos25，再根据同角三角函数的关系可得2(sincos)123sincos225 ，令sincost，建立方程解之可得选项.【详解】18/23由 123sin 2sincos225，可得23sincossincos25，所以2(sincos)123sinco
27、s225 ，令sincost，所以2123225tt ，即2212025tt，解得75t 或35-.又3(,)2，所以 2(2,3)，所以sin20，当75t 时，2324sin 22()02525t，符合题意；当35t 时，2316sin 22()02525t ，不符合题意，所以75t ，故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.20已知3cos64，则2sin 2cos6212的值为（）A 14B 12C 3 78D1【来源】江苏省南京市高三下学期 5 月第三次模拟考试数学试题【答案】D【分析】将6 看成一个整体，将2sin 2cos6212化简后代
28、入即可的出答案.【详解】令=6，则=+6，3cos4，22221+cossin 2cos=sin 2cos=2cos11621222 故选：D.【点睛】本题考查三角恒等变换.属于基础题.熟记二倍角公式与降次公式是解本题的关键.21已知角 满足 1cos211sin 22，则 tan （）A1或 3B1C 1 或3D3【来源】陕西省西安中学高三下学期第九次模拟考试文科数学试题【答案】A19/23【分析】利用二倍角公式可得出关于 tan 的方程，由此可解得 tan 的值.【详解】22221 cos21 2cos1211 sin 2cos2sincossin1 2tantan2，可得2tan2tan
29、30，解得 tan1 或 tan3 .故选：A.22已知0,8x，331sincoscos sin8xxxx，则 tan 4x （）A3B32C33D1【来源】宁夏回族自治区石嘴山市高三二模数学（理）试题【答案】C【分析】根据正余弦倍角公式即可化简求解【详解】由331sincoscos sin8xxxx得1 1cos 21 1cos 211sin 2sin 2sin 4222282xxxxx又因为0,8x，所以 40,2x则 46x，故 tan 4x 33故选：C23已知2 sinsintan142，则 tan （）A 2B2C12D 12【来源】宁夏中卫市高三第二次优秀生联考数学（理）试题【
30、答案】A【分析】根据三角的恒等变换公式即可求解【详解】20/23解：因为2 sinsintan142，所以2sincos2sin12 因为2cos12sin 2 ，所以sincoscos，即sin2cos，所以 tan2=-，故选：A24.【九师联盟高三押题信息卷】若sin2cos，则22sin 22cos 2sin4_.【答案】112【解析】【分析】由已知条件求得 tan 的值，进而利用二倍角的正切公式求出 tan 2，再利用二倍角公式结合弦化切的思想可求得所求代数式的值.【详解】sin2cos，tan2，则22tan4tan 21tan3.2222222sin 22cos 2sin 22c
31、os 2sin 22cos 2tan 22sin4sin 42sin 2cos22tan 2 2421341223.故答案为：112.【点睛】本题考查三角求值，涉及二倍角公式以及弦化切思想的应用，考查计算能力，属于中等题.25【河北省衡水中学高三上学期七调】已知1tan2，则2cossin 2的结果为_.【答案】85【解析】【分析】转化条件得 2sincos，22cossin 22cos，求出2cos 后即可得解.21/23【详解】1tan2，sin1cos2 即 2sincos，22221sincoscoscos14 即24cos5，2228cossin 2cos2sincos2cos5.故
32、答案为：85.【点睛】本题考查了同角三角函数关系的应用和二倍角公式的应用，属于基础题.26【辽宁省辽南协作校高三（5 月份)高考数学（理科)模拟】若2sin13sin 2，则22cos3sin2sin 2 _.【答案】-3【解析】【分析】利用二倍角公式化简2sinsin 2，可求出 tan 2 的值，将所求利用二倍角公式化简，再利用齐次式求出结果即可.【详解】因为222sincos2cossin222sinsinsin222，所以 tan62，则222224sin6sincos4tan6tan2cos3sin2222223sinsintan222.故答案为：3.【点睛】本题考查三角函数的二倍角
33、公式，考查齐次式的应用，属于基础题.27.【重庆市第八中学高三 6 月三诊】若0,2，且10sin2cos2，则 tan4_.【答案】222/23【解析】【分析】先把10sin2cos2两边平方得到225sin4sincos4cos2，利用弦切互化所得方程可以化成关于 tan 的方程结合0,2，解出 tan 后可求 tan4的值【详解】由10sin2cos2可以得到225sin4sincos4cos2，故2222sin4sincos4cos5sincos2，也就是22tan4tan45tan12，整理得到23tan8tan30，故 tan3 或1tan3 又0,2，所以 tan3 1+tan1
34、 3tan241tan1 3 故答案为：2【点睛】本题考查三角函数给值求值问题，三角函数中的化简求值问题，往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，属于中档题.28.【吉林省示范高中高三第四次模拟】若tantantan3，则 tantan _.【答案】2【解析】【分析】根据两角和的正切公式，代入已知条件，即可求解.23/23【详解】由tantantan3，因为tantantan()1tantan，所以331tantan ，解得 tantan2.故答案为：2.【点睛】本题主要两角和的正切函数公式的应用，其中解答中熟记两角和的正切公式，正确计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.
