1、动点最值基本模型一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或 30的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边
2、之差小于第三边求其最大（小）值。6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模 20 题】【瑶海一模第 10 题】、小垂+穿心【如庐阳二模第 10 题】、饮马+穿心【如瑶海二模第 10 题】饮马+转换【如蜀山二模第 10 题】等二、分类例析一、饮马型例 1：如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 CD 上，CE=3,DE=1,点 P 在 AC 上，则 PE+PD的最小值是_.解析：如图例 2：如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小，则这个最小值为_.解析：如下图二、
3、小垂型例 3：如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，点 P 是 AB 上的任意一点，作 PDAC 于点 D，PECB 于点 E，连接 DE，则 DE 的最小值为_.解析：如下图三、穿心型例 4：如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中，ABC=120，M 是 AD 边的中点，N 是 AB边上一动点，将AMN 沿 MN 翻折得到AMN，连接 AC，则 AC 长度的最小值是_.解析：如下图四、转换型例 5:如图，P 为菱形 ABCD 内一点，且 P 到 A、B 两点的距离相等，若C=60，CD=4，则的最小值为_解析：因为 P 到 A、B 两点的距离相等，所以 P 在 AB 的垂直平分
4、线上，又因菱形 ABCD中C 为 60，所以ABD 为等边三角形，AB 的垂直平分线经过点 D,如下图由ADP=30 度，可将 PD 的一半进行转换，即过点 P 作 AD 的垂线。如图，即 B、P、F 三点共线，且 BFAD 时最短五、三边型例 6：如图，MON=90，矩形 ABCD 的顶点 A、B 分别在边 OM，ON 上，当 B 在边ON 上运动时，A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运动过程中，点 D 到点 O 的最大距离为_解析：如下图因为 AB 为定长，所以取其中点 E，则 OE 为定值，在ODE 中，DE 为定值，OE 为定值，根据
5、三角形三边关系即可得到 OD 的最大值。例 7：如图，已知ABC 中，ACB=90，BC=4，AC=8，点 D 在 AC 上，且 AD=6，将线段 AD 绕点 A 旋转至 AD，F 为 BD的中点，连结 CF，则线段 CF 的取值范围.解析：解法一：瓜豆原理，点 F 的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。解法二：如下图，取 AB 的中点 M，连接 FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM 为定值，由三角形中位线得 FM 为定值，所以在CFM 中，三边关系可得到 CF 的取值范围.例 8：如图，BA=1，BC=2，以 AC 为一边做正方形 AEDC，使 E，B 两点落在直线 AC 的两
6、侧，当ABC 变化时，求 BE 的最大值.解析：将AEB 以点 A 中心顺时针旋转 90，得到ACB,如下图所示，连接 BB，所以 BC=BE，在BBC 中，BB为定值，BC 为定值，三角形三边关系即可得到 BC 的最大值，即 BE 的值.6.结合型例 9：如图，正方形 ABCD 中，AB=4,E 为 CD 边的中点，F、G 为 AB、AD 边上的点，且AF=2GD,连接 E、DF 相交于点 P，当 AP 为最小值时，DG=_解析：由 AF=2GD，AD=2DE，得AFDDGE.如下图GEDF,那么线段 AP 中，A 点为定点，P 为动点，由DPE 为直角，所以 P 的轨迹为一以 DE 中点为
7、圆心的一段弧。如下图由一箭穿心可得到 AP 的最小值为 A,P,M 三点共线，而此时，由DMPFAP 可得到AP=AF 即可得到结果.三、模考分析【庐阳二模第 10 题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD 为直径在第一象限作半圆，交线段 AB 于点 E、F，则线段 EF 的最大值为_如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点 C 在 y 轴正半轴上，点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD 为直径在第一象限作半圆，交线段 AB 于点 E、F，则线段 EF 的最大值为_解析：
8、线段 EF 由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当 PQ 最小时，EF 最大。方法一：穿心小垂（P 点为以 O 点圆心，OP 为半径的弧上）求出 OQ 的最值，即 PQ的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得 EF.方法二：三边+小垂（三角形 OPQ）求出 OQ 的最值解析：由抛物线解析式可求出点 A、B 的坐标分别为，所以OAP=30，如下图【瑶海二模第 10 题】如图，矩形 ABCD 中，AB=2,AD=3,点 E,F 分别为 AD,DC 边上的点，且 EF=2,点 G 为 EF 的中点，点 P 为 BC 上一动点.则 PA+PG 的最小值为（）A.3B.4C.25D.5解析：因为 G 为 EF 的中点，EF=2，所以点 G 的轨迹为以 D 为圆心 DG 为半径的弧，【饮马+穿心】即 A，P，G，D 四点共线时，PA+PG 最小（PA+PG=PA+PG+DG）【练习 1】如图，已知圆 O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，弦 CD 长为 10，点 N 为 CD 的中点，O 到弦 AB 的距离为 OM,则 MN 的最小值是_【练习 2】如图,A,B 为圆 O 上两点，以 AB 边直角边作等腰直角三角形 ABC，若圆 O 的半径为 5,则 OC 的最小值为