1、第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业练1.已知两圆x2+y2-10x-10y=0,x2+y2+6x-2y-40=0,则它们的公共弦所在直线的方程为,公共弦长为.答案2x+y-5=0;230解析两圆的方程相减并整理得公共弦所在直线的方程为2x+y-5=0.圆心(5,5)到直线2x+y-5=0的距离为105=25,弦长的一半为50-20=30,故公共弦长为230.2.若直线l与圆x2+(y+1)2=4相交于A,B两点,且线段AB的中点坐标是(1,-2),则直线l的方程为.答案x-y-3=0解析圆心坐标为(0,-1),由已知可求得线段AB的垂直平分线的斜率为-1,则直线l的斜率为1,从而可得直线
2、l的方程为y+2=x-1,即x-y-3=0.3.已知直线l1与直线l2:3x+4y-6=0平行且与圆:x2+y2+2y=0相切,则直线l1的方程是.答案3x+4y-1=0或3x+4y+9=0解析圆x2+y2+2y=0的圆心为(0,-1),半径为1,因为直线l1l2,所以可设直线l1的方程为3x+4y+c=0(c-6).由题意得|30+4(-1)+c|32+42=1,解得c=-1或c=9.所以直线l1的方程为3x+4y-1=0或3x+4y+9=0.4.若a2+b2=2c2(c0),则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为.答案2解析圆心(0,0)到直线ax+by+c=0的距离d=
3、|c|a2+b2=|c|2|c|=22,因此弦长的一半为12-222=22.所以弦长为2.5.(2019江苏无锡高三模拟)过圆x2+y2=16内一点P(-2,3)作两条相互垂直的弦AB和CD,且AB=CD,则四边形ACBD的面积为.答案19解析由AB=CD得圆心到两条直线的距离相等,即d1=d2=22OP=262,则AB=CD=216-132=38,则四边形ACBD的面积为12ABCD=1238=19.6.(2018江苏南京高三调研)在平面直角坐标系xOy中,若圆(x-2)2+(y-2)2=1上存在点M,使得点M关于x轴的对称点N在直线kx+y+3=0上,则实数k的最小值为.答案-43解析圆(
4、x-2)2+(y-2)2=1上的点M关于x轴的对称点N在圆(x-2)2+(y+2)2=1上,又点N在直线kx+y+3=0上,则直线kx+y+3=0与圆(x-2)2+(y+2)2=1有公共点,则|2k+1|k2+11,解得-43k0,则实数k的最小值为-43.7.(2018苏北四市高三第一次调研测试)在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是.答案2-1,2+1解析圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1关于直线x-y=0的对称圆C3:(x-1)2+(y-2)2=1,
5、则圆C3与圆C1有公共点,则|r-1|C1C3=2r+1,解得2-1r2+1.8.(2018江苏海安高级中学高三月考)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,AB=2,P是直线x+y-2=0上的动点,则|PA+PB|的最小值为.答案2解析取AB的中点D,由AB=2得OD=22,即点D在圆x2+y2=12上,圆心到直线x+y-2=0的距离为2,则|PA+PB|=2|PD|22-22=2,故|PA+PB|的最小值是2.9.(2018徐州铜山高三模拟)已知圆O:x2+y2=r2(r0)及圆上的点A(-r,0),过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,若AB=2BC,则直线l的斜率为.
6、答案33或3解析过点A的直线l交y轴于点B(0,1),交圆于另一点C,AB=2BC,则AB=2BC或AB=-2BC,则Cr2,32或C-r2,12,由点C在圆O:x2+y2=r2(r0)上得r24+94=r2,r=3或r24+14=r2,r=33,则A(3,0)或-33,0,则直线l(即直线AB)的斜率为33或3.10.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知圆O:x2+y2=4与x轴负半轴的交点为A,点P在直线l:3x+y-a=0上,过点P作圆O的切线,切点为T.(1)若a=8,切点T(3,-1),求直线AP的方程;(2)若PA=2PT,求实数a的取值范围.解析(1)由题意得,直线
7、PT切O于点T,则OTPT,又切点T的坐标为(3,-1),所以kOT=-33,kPT=-1kOT=3.故直线PT的方程为y+1=3(x-3),即3x-y-4=0.所以3x-y-4=0,3x+y-8=0.解得x=23,y=2,即P(23,2).又A(-2,0),所以直线AP的斜率k=2-023+2=13+1=3-12.故直线AP的方程为y=3-12(x+2),即x-(3+1)y+2=0.(2)设P(x,y),由PA=2PT,可得(x+2)2+y2=4(x2+y2-4),即3x2+3y2-4x-20=0,所以满足PA=2PT的点P的轨迹是圆x-232+y2=649.所以圆心到直线l的距离d=323
8、-a(3)2+183,即233-a163.解得-16+233a16+233.所以实数a的取值范围是-16+233,16+233.11.已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8).(1)过M作直线交圆于A、B两点,若|AB|=4,求直线AB的方程;(2)过M作圆的切线,切点分别为C、D,求切线长及CD所在直线的方程.解析(1)圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=8,则圆心为P(2,-1),半径r=22.若直线AB的斜率存在,设AB的方程为y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0,设AB的中点为N,则|PN|=|2k+1-4k-8|k2+1=|2k+7|k2+1,由|
9、PN|2+|AB|22=r2,得k=-4528,则直线AB的方程为45x+28y+44=0.若直线AB的斜率不存在,则直线AB的方程为x=4,代入圆的方程得y2+2y-3=0.解得y1=1,y2=-3,则|y1-y2|=4,符合题意.综上,直线AB的方程为45x+28y+44=0或x=4.(2)切线长为|PM|2-r2=4+49-8=35.以PM为直径的圆的方程为(x-2)(x-4)+(y+1)(y+8)=0,即x2+y2-6x+9y+16=0.又已知圆的方程为x2+y2-4x+2y-3=0,-,得2x-7y-19=0,所以直线CD的方程为2x-7y-19=0.12.在平面直角坐标系xOy中,
10、已知圆M:x2+y2-8x+6=0,过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆M相交于不同的两点A、B,线段AB的中点为N.(1)求k的取值范围;(2)若ONMP,求k的值.解析(1)圆M的方程可化为(x-4)2+y2=10,则圆心M的坐标为(4,0).设直线方程为y=kx+2,即kx-y+2=0,则圆心M到直线的距离d=|4k+2|k2+1.依题意得d10,即(4k+2)210(k2+1),解得-3k0,a2+ab+ac+bc=4,则2a+b+c的最小值为.答案4解析因为a,b,c0,a2+ab+ac+bc=4=(a+b)(a+c),所以2a+b+c=(a+b)+(a+c)2(a+b)(a+c)=
11、4,当且仅当a+b=a+c=2时,等号成立.即2a+b+c的最小值为4.5.(2018江苏扬州中学高三下学期开学考)设x,y满足y0,yx,|x|+|y|1,则x+3y的最大值为.答案2解析不等式组对应的平面区域是以点12,12、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形(如图),当目标函数经过点12,12时取得最大值2.6.(2019江苏扬州中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,过点P(-2,0)的直线与圆x2+y2=1相切于点T,与圆(x-a)2+(y-3)2=3相交于点R,S,且PT=RS,则正数a的值为.答案4解析PT=4-1=3,且PT的方程为y=33(x+2),设圆心(a,3)到直线P
12、T的距离为d(d0),则RS=3=23-d2,则d=32,则|a-1|2=32,又a0,则a=4.7.若函数f(x)=cos 2x+asin x在区间6,2是减函数,则a的取值范围是.答案(-,2)解析由f(x)=cos 2x+asin x,x6,2是减函数可得f (x)=-2sin 2x+acos x0在x6,2上恒成立,所以a(4sin x)min,x6,2.所以a0,a1),若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且x1x2x3x4,则1x1+1x2+1x3+1x4=.答案2解析作出函数f(x)的图象如图,则loga(1-x1)+loga(1-x2)=0,化简得1x1+1x2=
13、1,loga(x3-1)+loga(x4-1)=0,化简得1x3+1x4=1.则1x1+1x2+1x3+1x4=2.9.已知函数f(x)=|x2-1|+x2+kx,且定义域为(0,3).(1)求关于x的方程f(x)=kx+5在(0,3)上的解;(2)若关于x的方程f(x)=0在(0,3)上有两个不同的解x1,x2,求k的取值范围.解析(1)|x2-1|+x2=5,当1x3时,x2-1+x2=5,解得x=3;当0x1时,1-x2+x2=5无解,故关于x的方程f(x)=kx+5在(0,3)上的解是x=3.(2)由题意得|x2-1|+x2=-kx,-k=|x2-1|+x2x=1x,0x1,2x-1x,1x3,作出函数图象如下,则1-k173,-173k-1.
