1、课时素养评价十五向量数量积的运算律(20分钟35分)1.已知|a|=2,b是单位向量,且a与b夹角为60,则a(a-b)等于()A.1B.2-C.3D.4-【解析】选C.a(a-b)=a2-ab=4-21cos 60=3.2.(2020全国卷)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b【解析】选D.由已知可得:ab=cos60=11=.A:因为(a+2b)b=ab+2b2=+21=0,所以本选项不符合题意;B:因为(2a+b)b=2ab+b2=2+1=20,所以本选项不符合题意;C:因为(a-2b)b=ab-2b2=-21=
2、-0,所以本选项不符合题意;D:因为(2a-b)b=2ab-b2=2-1=0,所以本选项符合题意.【补偿训练】 若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角为()A.30B.60C.120D.150【解析】选C.由(2a+b)b=0,得2ab+b2=0,所以2|a|b|cos+|b|2=0.所以cos=-=-=-,所以=120.3.(2020潍坊高一检测)已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k的值为()A.2B.-2C.1D.不确定【解析】选C.因为向量a+b与向量ka-b垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即ka2-b2+
3、(k-1)ab=0 ,因为a与b为单位向量,所以k-1+(k-1)ab=0,即(k-1)(ab+1)=0.因为a与b为两个不共线的单位向量,所以ab+10,所以k-1=0,所以k=1 .4.(2020福州高一检测)在ABC中,若BC=8,BC边上的中线长为3,则=()A.-7B.7C.-28D.28【解析】选A.在ABC中,设BC的中点为D,则=-.由题意知=4,=3.则=-=9-16=-7.5.如图,平行四边形ABCD中,已知AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为.【解析】设=a,=b,则=a-b,=a+b,而|=|a-b|=2,所以5-2ab=4,所以ab=,s又|2=|a
4、+b|2=a2+2ab+b2=1+4+2ab=6,所以|=,即AC=.答案:6.(2020武汉高一检测)已知=1,=4,且向量a与b不共线.(1)若a与b的夹角为60,求;(2)若向量ka+b与ka-b互相垂直,求k的值.【解析】(1)(2a-b)(a+b)=2aa+ab-bb=2+cos 60-=21+14cos 60-42=-12.(2)由题意可得:(ka+b)(ka-b)=0, 即k2a2-b2=0,所以k2-16=0,所以k=4.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设O为ABC的外心,ODBC于D,且|=,|=1,则(-)的值是()A.1B.2C.D.【解析】选A.
5、由O是ABC的外心及ODBC可知D为边BC的中点,易知=(+),所以(-)=(+)(-)=(|2-|2)=1.2.已知向量a,b的夹角为120,|a|=|b|=1,c与a+b同向,则|a-c|的最小值为()A.1B.C.D.【解析】选D.因为|a|=|b|=1,c与a+b同向,所以a与c的夹角为60.又|a-c|=,故当|c|=时,|a-c|的最小值为.3.在矩形ABCD中,AB=2,点P为直线BC上一点,则=()A.0B.2C.4D.8【解析】选D.由题意,得PBBA,PCBA,所以(+)=(+)=(+)=+=2=8.4.(2020合肥高一检测)如图,已知点P是边长为2的正三角形ABC的边B
6、C上的动点,则()A.最大值为8B.为定值6C.最小值为2D.与P的位置有关【解析】选B.因为B,C,P共线,故=+,R.所以=+=22+=6.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.(2020福州高一检测)ABC是边长为3的等边三角形,已知向量a,b满足=3a,=3a+b,则下列结论中正确的有()A.a为单位向量B.bC.abD.【解析】选ABD.对于A选项,因为=3a,所以a=,则=1,A选项正确;对于B选项,因为=3a+b=+b,所以b=-=,所以b,B选项正确;对于C选项,ab=32cos0,所以a与b不垂直,C选项错误;对于D选项,
7、=-=0,所以,D选项正确.6.已知正三角形ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是()A.=1B.abC.bD.ab=-1【解析】选CD.分析知=1,=2,a与b的夹角是120.由ab=12cos 120=-10,故B错误,D正确;由=+2ab+=1-2+4=3,所以=,故A错误;由b=4ab+b2=4+4=0,所以b,故C正确.【补偿训练】 (2020滕州高一检测)若a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,则的值可能为()A.-1B.1C.D.2【解析】选AB.因为a,b,c均为单位向量,且ab=0,(a-c)(b-c)0,所以ab-c(a+b)+c20,所
8、以c(a+b)1,而|a+b-c|=1,所以选项C,D不正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,|2a+b|=2,则向量b在向量a上的投影的数量是.【解析】因为|2a+b|=2,所以(2a+b)2=4,所以4a2+b2+4ab=4,所以412+4+4ab=4,所以ab=-1,所以b在a上的投影的数量是=-1.答案:-18.(2020天津高一检测)在平面四边形ABCD中,已知AB=3,DC=2,点E,F分别在边AD,BC上,且=3,=3,若向量与的夹角为60,则的值为.【解析】画出图形如图所示,设直线AB和DC相交于点H,由题意可得AHD=60.因为
9、点E,F分别在边AD,BC上,且=3,=3,所以=+=+,=+=+,由2+得3=2+,=+.所以=+=32+32cos 60=7.答案:7【补偿训练】 已知圆O是ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则=.【解析】因为M是BC的中点,所以=,又O是ABC的外接圆圆心,所以=|cosBAO=|2=8,同理,=|2=2,所以=+=4+1=5.答案:5四、解答题(每小题10分,共20分)9.已知a,b满足|a|=4,|b|=3,(2a-3b)(2a+b)=61.(1)求a与b的夹角.(2)求向量a+b在向量b方向上的投影的数量.【解析】(1)因为(2a-3b)(2a+b)=61,所以4
10、a2-4ab-3b2=61,所以416-443cos-39=61,所以cos=-.因为0,所以=.(2)a+b在向量b方向上的投影的数量为=|a|cos+|b|=4+3=1.10.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.【解析】当夹角为时,也有(2te1+7e2)(e1+te2)0,但此时夹角不是钝角.设2te1+7e2=(e1+te2),0,则 所以由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角,得cos =0,所以(2te1+7e2)(e1+te2)0,化简得2t2+15t+70.解得-7t0,又|a|2=4,|b|2=9,ab=3,所以32+13+30,解得或.但是当=1时,向量a+b与a+b共线,其夹角不是锐角,故的取值范围是(1,+).
