1、江苏省淮安市盱眙县马坝高级中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1.设，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求得导函数，由此解方程求得的值.【详解】依题意，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查乘法的导数，考查方程的思想，属于基础题.2.为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数（ ）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解即可【详解】是纯虚数，即，故选C【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌
2、握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.若，则m的值为 ( )A. 5B. 3C. 6D. 7【答案】A【解析】【分析】根据题意，由，结合排列数公式可得m（m1）（m2）（m3）（m4）=2m（m1）（m2），化简解可得答案【详解】根据题意，若，则有m（m1）（m2）（m3）（m4）=2m（m1）（m2），即（m3）（m4）=2，解可得：m=5故答案为A【点睛】(1)本题主要考查排列数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排列数公式
3、：= (，且)(叫做的阶乘).4.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为A. 75万元B. 85万元C. 99万元D. 105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心，代入回归方程后求得，然后再求当的函数值即可详解：由题意得，样本中心为回归直线过样本中心，解得，回归直线方程为当时，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元故选B点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题5.9件产品中
4、，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为（ ）A. 81B. 60C. 6D. 11【答案】A【解析】【分析】至少有2件一等品包含三类：恰有2件一等品，恰有3件一等品，恰有4件一等品.分别求解再相加即可.【详解】分三类：恰有2件一等品，有种取法；恰有3件一等品，有种取法；恰有4件一等品，有种取法.所以抽法种数为.故选：A.【点睛】本题主要考查组合问题，合理分类是求解的关键，侧重考查数学建模的核心素养.6. 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过
5、测试的概率为（ ）A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.312【答案】A【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A考点：次独立重复试验7.函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）A. 3，+)B. -3，+)C. (-3，+)D. (-，-3)【答案】B【解析】【分析】由题得a-3x2，求函数的最大值即得解.【详解】=3x2+a.由题得3x2+a0，则a-3x2，x(1，+)，a-3.故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性问题，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.8.盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为()
6、A. 恰有1个是坏的B. 4个全是好的C. 恰有2个是好的D. 至多有2个是坏的【答案】C【解析】【分析】利用超几何分布的概率计算公式，分别计算出对应的概率，由此判断出正确的选项.【详解】对于选项A，概率为.对于选项B，概率为.对于选项C，概率为.对于选项D，包括没有坏的，有个坏的和个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.【点睛】本小题主要考查超几何分布的识别以及利用超几何分布概率计算公式计算随机事件的概率，属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全对5分，不全对3分，选错0分9
7、.有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：参考公式：优秀非优秀总计甲班10b乙班c300.0500.0100.001k3.8416.63510.828已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是（ ）A. 列联表中c的值为30，b的值为35B. 列联表中c的值为20， b的值为45C. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D. 根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”【答案】C【解析】【分析】由成绩优秀的概率，可求的成绩优秀的
8、人数，进而求出非优秀人数，得到的值，计算的观测值，对照题目中的表格，即可得到统计的结论.【详解】由题意，在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，所以成绩又由的人数为人，非优秀的人数为人，所以，则的观测值，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”.故选：C.【点睛】本题主要考查了独立性检验的应用问题，同时考查了运算与求解能力，属于基础题.10.在的展开式中的，下列说法正确的是（ ）A. 二项式系数和为64B. 常数项为60C. 二项式系数和为1D. 各项系数和1【答案】ABD【解析】【分析】根据二项式系数和的公式，直接计算求值，判断AC；利用通项公式，求常数项，判断B；再根据赋
9、值法，令，求各项系数和.【详解】由条件可知中，二项式系数的和为，故A正确，C不正确；通项公式，当时，所以展开式中的常数项是，故B正确；令，所以各项系数和为1，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查二项式定理，重点考查二项式系数，系数，指定项，属于基础题型.11.已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据正态曲线关于x对称，且越大图象越靠近右边，判断BD错误；根据标准差越小图象越瘦长，判断AD正确【详解】根据正态曲线关于x对称，且越大图象越靠近右边，所以123，BC错误；又越小数据越集中，图象越瘦长，所以123，AD正
10、确故选：AD【点睛】本题考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及均值和标准差对密度曲线的位置和形状的影响，是基础题12.设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x），g（x）为其导函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0且g（3）0，则使得不等式f（x）g（x）0成立的x的取值范围是（ ）A. （,3）B. （3,0）C. （0,3）D. （3,+）【答案】BD【解析】【分析】由当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0可得，故可构造函数h（x）f（x）g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）在R上单调递减且为奇函数
11、，结合图像即可得解.【详解】f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f（x）f（x），g（x）g（x），令h（x）f（x）g（x），则h（x）h（x），故h（x）f（x）g（x）为R上的奇函数，当x0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）0，即x0时，h（x）f（x）g（x）+f（x）g（x）0，h（x）f（x）g（x）在区间（，0）上单调递减，奇函数h（x）在区间（0，+）上也单调递减，如图：由g（3）0，h（3）h（3）0，当x（3，0）（3，+）时，h（x）f（x）g（x）0，故选：BD.【点睛】本题考查了导数在研究函数中的应用，考查了构造法，同时考查了函数的奇偶性，本题属于
12、中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.若复数，则_【答案】.【解析】【详解】分析：由复数的除法运算得，进而.详解：由.故答案为1.点睛：本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念，属于基础题.14.为了判断高中二年级学生是否选修文科与性别关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：已知，根据表中数据，得到则认为选文科与性别有关系出错的可能性为_理科文科男1310女720【答案】5%【解析】【分析】根据条件中所给的观测值，同所给的观测值进行比较，得到答案.【详解】根据表中的数据，得到的观测值，所以认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%.故答案为：5%【点睛】本题考查独立
13、性检验的应用，属于基础题型，本题的关键是正确理解观测值对应的概率的意义15.已知函数的导函数为，且满足则_【答案】【解析】【分析】先计算，然后代入，简单计算即可得到结果.【详解】由题可知：，则所以，则故答案为：【点睛】本题考查函数在某点处的导数，熟悉导数的运算，属基础题.16.若，则_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】取，可得，然后取，可得结果.【详解】由题可知：当时，当时，故答案为：，【点睛】本题考查二项展开式的有关计算，对二项展开式，常采用赋值法，简单明了，便于计算，属基础题.四、解答题：（70分，第17题10分，其他每题12分）17.已知函数在处取得极大值为9.（1）求，
14、的值；（2）求函数在区间上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）根据极值点的定义和极值可构造方程组求得结果；（2）根据导函数的正负可求得单调性，进而得到极值和区间端点值，从而得到最值.【详解】（1）由题意得：，解得：.当时，当和时，；当时，在，上单调递增，在上单调递减，的极大值为，满足题意.（2）由（1）得：的极大值为，极小值为，又，在区间上的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查根据极值点和极值求解参数值、利用导数求解函数的最值的问题；需明确函数在区间内的最值必在极值点或区间端点处取得.18.已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36（1）求的值
15、；（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项【答案】（I）；（II）.【解析】分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值;(2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， , 得或（舍去）. (II)的通项公式为：，令85k=3，求得k=1，故展开式中含的项为又由知第5项的二项式系数最大，此时 .点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题19.从甲地到乙地要经过个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且
16、在各路口遇到红灯的概率分别为，（）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和均值（）若有辆车独立地从甲地到乙地，求这辆车共遇到个红灯的概率【答案】(1)见解析；（2）.【解析】试题分析：表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数, 的所有可能取值为0,1,2,3.分别求出相应的概率值，列出随机变量的分布列并计算数学期望，表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，这2辆车共遇到1个红灯就是包括第一辆遇到1次红灯且第2辆没遇上和第一辆没遇上红灯且第2辆遇上1次红灯两个事件的概率的和.试题解析：（）解：随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.，.所以，随机变量的分布列为01
17、23随机变量的数学期望.（）解：设表示第一辆车遇到红灯的个数，表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【考点】离散型随机变量概率分布列及数学期望【名师点睛】求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望.；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.20.已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值；(2)讨论函数的单调性.【答案】（1）3；（2）见解析.【解析】【分析
18、】（1）求出函数的导数，利用斜率求出实数的值即可；（2）求出函数的定义域以及导数，在定义域下，讨论大于0、等于0、小于0情况下导数的正负，即可得到函数的单调性【详解】（1）因为 ，所以 ，即切线的斜率，又切线与直线平行，所以，即 ； （2）由（1）得，的定义域为 ， 若，则 ，此时函数在上为单调递增函数；若，则，此时函数在上为单调递增函数；若，则当 即 时，当即时，此时函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数综上所述：当时，函数在上为单调递增函数；当时，函数在上为单调递增函数，在 上为单调递减函数.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查学生分类讨论的思想，属于中档题
19、21.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（）求这500件产品质量指标值样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求；某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数已知X服从二项分布，利用的结果，求附：若则，【答案】（）200,150（）【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可估计样本特征数均值、方差，均值为每个矩形中点横坐标与该矩形面积积的累加值方差是矩形横
20、坐标与均值差的平方的加权平均值；（II）由已知得，故可根据的概率计算；由题意X服从二项分布，根据计算即可【详解】（I）抽取产品的质量指标值的样本平均值和样本方差分别为，（II）由（I）知，服从正态分布，从而（ii）由可知，一件产品质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以【点睛】本题考查了频率分布直方图，平均数与方差，正态分布与二项分布，属于中档题.22.某通信公司为了更好地满足消费者对5G流量的需求，准备推出一款流量包该通信公司选了5个城市（总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近）采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x：（单位：元/月）和购买人数y（单位：万
21、人）的关系如表：流量包的定价（元/月）3035404550购买人数（万人）18141085（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？（2）求出y关于x的回归方程；若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/月，请用所求回归方程预测该市一个月内购买该流量包的人数能否超过20万人参考数据：，参考公式：相关系数，回归直线方程，其中，【答案】（1），可以用线性回归方程模型拟合与的关系；（2）能.【解析】【分析】（1）由已知表格中的数据求得相关系数的值，由的值和1比较，作出判断；（2）求出和的值，可得到线性回归方程；根据回归直线方程，令，计算该市一个月内购买该流量包的人数的预报值.【详解】（1）根据题意，得，可列表如下， 12345 -10-50510 73-1-3-6 -70-150-15-60根据表格和参考数据，得，因而相关系数，由于很接近1，因而可以用线性回归方程模型拟合与的关系；（2），因而关于的回归方程为，由可知，若，则，故若将流量包的价格定为25元/月，可预测该城市一个月内购买该流量包的人数会超过20万人.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，重点考查计算能力，属于中档题型.