1、第三节圆的方程课时作业练1.若点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,则a的取值范围是.答案-1a1解析点(2a,a+1)在圆x2+(y-1)2=5的内部,(2a)2+a25,解得-1a1.2.若方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则实数a的取值范围是.答案-2a0,化简得3a2+4a-40,解得-2a23.3.如果实数x、y满足x2+y2-8x+8=0,那么yx的最大值为.答案1解析整理配方,得(x-4)2+y2=8,所以圆心坐标为(4,0),半径为22.代数式yx的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率,设yx=k,即y=kx,当直线y=kx与圆相切时,斜率取最
2、大值或最小值,此时|4k-0|k2+1=22,解得k=1,故yx的最大值是1.4.已知动点M到定点(8,0)的距离等于M到(2,0)的距离的2倍,那么动点M的轨迹方程是.答案x2+y2=16解析设M(x,y),则(x-8)2+y2=2(x-2)2+y2,化简得x2+y2=16.5.(2019江苏泰州高三模拟)圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4)、B(0,-2),则圆C的方程为.答案(x-2)2+(y+3)2=5解析圆心是线段AB的垂直平分线和直线2x-y-7=0的交点,则圆心为C(2,-3),r=|CA|=4+1=5,则圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.6.
3、已知圆C:x2+y2+mx-4=0上存在两点A、B关于直线x-y+3=0对称,则实数m的值是.答案6解析因为圆上两点A、B关于直线x-y+3=0对称,所以直线x-y+3=0过圆心-m2,0.从而-m2+3=0,即m=6.7.圆(x-1)2+(y-2)2=1关于直线y=x对称的圆的方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=1解析圆(x-1)2+(y-2)2=1的圆心坐标为(1,2),此点关于直线y=x对称的点的坐标为(2,1),两圆关于直线y=x对称,故它们的圆心关于直线y=x对称,半径相等,因此所求圆的圆心坐标为(2,1),半径为1,则所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.8.(2018
4、江苏泰州中学高三月考)若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.答案(x-2)2+y+322=254解析由题意知圆心在直线x=2上,设圆心坐标为(2,b),又圆C与直线y=1相切,所以4+b2=|b-1|,解得b=-32,则半径为52,则圆C的方程为(x-2)2+y+322=254.9.(2019江苏南通中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线ax+y-2a=0与圆x2+y2=1交于A,B两点,若弦AB的中点的横坐标为25,则实数a的取值集合为.答案-12,12解析设弦AB的中点为C,则由题意知C点坐标为25,8a5,且点C和圆心O的连线与弦AB垂直,则kOCk
5、AB=-1,即4a(-a)=-1,a=12,故实数a的取值集合为-12,12.10.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内,则实数a的取值范围是.答案(2,+)解析曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,故曲线C是圆心为(-a,2a),半径为2的圆.若曲线C上所有的点均在第二象限内,则-a2,解得a2.11.已知ABC的顶点坐标分别是A(-1,0),B(2,3),C(1,-2),O为坐标原点.(1)求ABC外接圆的方程;(2)设P为ABC外接圆上任意一点,求|OP|的最大值和最小值.解析(1)设ABC外接圆
6、的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入A,B,C的坐标,得1-D+F=0,4+3+2D+3E+F=0,1+4+D-2E+F=0,解得D=-2,E=0,F=-3.所以ABC外接圆的方程为x2+y2-2x-3=0.(2)设圆上任意一点P(x0,y0),则x02+y02-2x0-3=0,所以|OP|2=x02+y02=2x0+3.又ABC外接圆的标准方程为(x-1)2+y2=4,所以x0-1,3.所以|OP|2的最小值为1,最大值为9.所以|OP|的最小值为1,最大值为3.12.已知曲线C:x2+y2-4mx+2my+20m-20=0.(1)求证:对任意mR,曲线C恒过一定点;(2)求证:当m
7、2时,曲线C是一个圆,且圆心在一条定直线上.证明(1)曲线C的方程可化为(x2+y2-20)+m(-4x+2y+20)=0,由x2+y2-20=0,-4x+2y+20=0解得x=4,y=-2,对任意mR,曲线C恒过一定点(4,-2).(2)令D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.m2,D2+E2-4F0.曲线C是一个圆.设圆心坐标为(x,y),由x=2m,y=-m消去m得x+2y=0,即圆心在定直线x+2y=0上.13.(2018江苏泰州阶段检测)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,
8、B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.解析(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.设M(x,y),则CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由题设知CMMP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于点P在圆C的内部,所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而ONPM.因为ON的
9、斜率为3,所以l的斜率为-13,故l的方程为y=-13x+83.又|OM|=|OP|=22,O到l的距离为4105,|PM|=4105,所以POM的面积为165.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.设集合A=-1,0,B=yy=12x2-1,xR,则AB=.答案-1,2解析集合B=(0,2,则AB=-1,2.2.已知平面向量a=(2,-1),向量b=(1,1),向量c=(-5,1).若(a+kb)c,则实数k的值为.答案12解析因为a+kb=(2+k,-1+k),所以由(a+kb)c得2+k=-5(-1+k),解得k=12.3.(2019江苏淮安淮海中学高三模拟)若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆
10、心角为65的扇形,则该圆锥的体积为.答案12解析该圆锥的母线长为5,设底面圆的半径为r,则2r=6,r=3,则圆锥的高为4,体积为13324=12.4.若实数x,y满足约束条件2x-y2,x-y-1,x+y1,则目标函数z=2x+y的最小值为.答案1解析约束条件对应的平面区域是以点(1,0)、(0,1)、(3,4)为顶点的三角形,当直线y=-2x+z经过点(0,1)时,z取得最小值1.5.(2019江苏宿迁模拟)在ABC中,AB=3,AC=1,B=30,ABC的面积为32,则C=.答案606.已知函数f(x)=x2-ax+1-a在区间(0,1)上有两个不同的零点,则实数a的取值范围是.答案(2
11、2-2,1)解析由题意可得0a20,1-a0,解得22-2a1.7.已知函数f(x)=-x2+2ax(x1),2ax-1(x1),若存在两个不相等的实数x1,x2,使得f(x1)=f(x2),则实数a的取值范围是.答案0,+)解析若函数f(x)单调,则只能单调递减,此时a1,a0a0,由题意可知该函数不单调,则实数a的取值范围是a0.8.(2018江苏兴化第一中学高三月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CDAB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角PAD所在平面底面ABCD,PABD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.求证:(1)PA平面QBD;(2)BDAD.证明(1)如图,连接OQ,因为ABCD,AB=2CD,所以AO=2OC.又PQ=2QC,所以PAOQ.又OQ平面QBD,PA平面QBD,所以PA平面QBD.(2)在平面PAD内过P作PHAD,交AD于H,因为侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PH平面PAD,所以PH平面ABCD.又BD平面ABCD,所以PHBD.又PABD,且APPH=P,PH平面PAD,PA平面PAD,所以BD平面PAD.又AD平面PAD,所以BDAD.