1、陕西省西安七十中2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、复数 （i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（ ） A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限2、f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是（ ） A、2 B、0 C、2 D、43、dx等于（ ） A、2ln2 B、2ln2 C、ln2 D、ln24、已知曲线C：f（x）=x3+1，则与直线 垂直的曲线C的切线方程为（ ） A、3xy1=0 B、3xy3=0C、3xy1=0或3xy+3=0 D、3xy1=0或3xy3=05、设a，b为实数，若复数 ，则（ ） A、 B、a=3，b
2、=1 C、 D、a=1，b=36、证明1+ + （nN*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（ ） A、1项 B、k1项 C、k项 D、2k项7、函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极大值点（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个8、定积分 xdx等于（ ） A、 B、1 C、 D、9、设f（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） A、 B、C、 D、10、已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2x）x2+8x8，则
3、曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是（ ） A、y=2x1 B、y=x C、y=3x2 D、y=2x+311、设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则 ，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ， 内切球半径为R，四面体SABC的体积为V，则R=（ ） A、 B、 C、 D、12、若0x ，则2x与3sin x的大小关系（ ） A、2x3sin x B、2x3sin x C、2x=3sin x D、与x的取值有关二、填空题13、复数z=1+i，为z的共轭复数，则 =_ 14、设函数 ，其中 ，则导数f（1）的取值范围
4、是_ 15、已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围为_ 16、已知a1=3，ananan+1=1（nN+），An表示数列an的前n项之积，则A2010=_ 17、f（n）=1+ + + （nN*），计算f（2）= ，f（4）2，f（8） ，f（16）3，f（32） ，推测当n2时，有_ 三、解答题18、设复数z= ，若z2+az+b=1+i，求实数a，b的值 19、已知函数f（x）= x2+lnx (1)求函数f（x）的单调区间； (2)求证：当x1时， x2+lnx x3 20、已知a0，求证： a+ 21、在各项为正的数列an中，数列的前n项和Sn满足
5、Sn= （an+ ）， (1)求a1 ， a2 ， a3； (2)由（1）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想 22、已知函数f（x）=x (1)讨论f（x）的单调性 (2)若f（x）在区间（1，2）上单调递减，求实数a的取值范围 答案解析部分一、选择题 1、【答案】D 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解： = = i复数在复平面对应的点的坐标是（ ， ）它对应的点在第四象限，故选D【分析】先将复数z进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理后得到代数形式，写出复数在复平面上对应的点的坐标，根据坐标的正负得到所在的象限
6、2、【答案】C 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】解：f（x）=3x26x=3x（x2）， 令f（x）=0可得x=0或2（2舍去），当1x0时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2故选C【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解 3、【答案】D 【考点】定积分 【解析】【解答】解：（lnx）= =lnx|24=ln4ln2=ln2故选D【分析】根据题意，直接找出被积函数 的原函数，直接计算在区间（2，4）上
7、的定积分即可 4、【答案】C 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：设切点M（x0 ， y0） 切线与直线 垂直切线的斜率为3，曲线在点M处的导数y=3x02=3，即x0=1当x0=1时，y0=2，利用点斜式得到切线方程：3xy1=0；当x0=1时，y0=0，利用点斜式得到切线方程：3xy+3=0综上所述：切线的方程为3xy1=0或3xy+3=0故选C【分析】利用切线与直线 垂直，得到切线的斜率，也就是曲线在切点处的导数，通过计算，得出切点的坐标，再利用点斜式求出切线方程 5、【答案】A 【考点】复数相等的充要条件 【解析】【解答】解：由 可得1+2i=（ab）+（a+b
8、）i，所以 ，解得 ， ， 故选A【分析】先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解 6、【答案】D 【考点】数学归纳法，数学归纳法 【解析】【解答】解：当n=k时不等式为： 成立 当n=k+1时不等式左边为 则左边增加2k+12k=2k项故选D【分析】首先分析题目证明不等式1+ + ，假设n=k时成立，求当n=k+1时，左端增加的项数故可以分别把n=k+1，n=k代入不等式左边，使它们相减即可求出项数 7、【答案】B 【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】解：如图，不妨设导函数的零点从小到大分别为x1 ， x2 ， x3 ， x4 由导函数的图象可知：当x（a，x1）时，f（x）
9、0，f（x）为增函数，当x（x1 ， x2）时，f（x）0，f（x）为减函数，当x（x2 ， x3）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（x3 ， x4）时，f（x）0，f（x）为增函数，当x（x4 ， b）时，f（x）0，f（x）为减函数，由此可知，函数f（x）在开区间（a，b）内有两个极大值点，是当x=x1 ， x=x4时函数取得极大值故选B【分析】根据题目给出的导函数的图象，得到导函数在给定定义域内不同区间上的符号，由此判断出原函数在各个区间上的单调性，从而判断出函数取得极大值的情况 8、【答案】A 【考点】定积分 【解析】【解答】解： dx表示以（1，0）为圆心，半径r=1的圆的面积
10、的四分之一，故 dx= ， xdx= | = ，故定积分 xdx= ，故选：A【分析】根据积分的几何意义和积分公式进行计算即可得到结论 9、【答案】D 【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解析：检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数，故选D 【分析】本题可以考虑排除法，容易看出选项D不正确，因为D的图象，在整个定义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=f（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不具有这样的函数 10、【答案】A 【考点】
11、利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：f（x）=2f（2x）x2+8x8，f（1）=2f（1）1f（1）=1 f（x）=2f（2x）2x+8f（1）=2f（1）+6f（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=2过（1，1）的切线方程为：y1=2（x1）即y=2x1故选A【分析】由f（x）=2f（2x）x2+8x8，可求f（1）=1，对函数求导可得，f（x）=2f（2x）2x+8从而可求f（1）=2即曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率k=f（1）=2，进而可求切线方程 11、【答案】C 【考点】类比推理 【解析】【解答
12、】解：设四面体的内切球的球心为O， 则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为 R= 故选C【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可 12、【答案】D 【考点】三角函数线 【解析】【解答】解：设g（x）=2x3sinx，则g（x）=23cosx， 当0xarccos 时，g（x）0，g（x）是减函数，g（x）g（0）=0，2x3sinx； 当arccos x 时，g（x）0，g（x
13、）是增函数，但g（arccos ）0，g（ ）0，在区间arccos ， ）有且仅有一点使g（）=0； 当arccos x时，g（x）g（）=0，2x3sinx； 当x 时，g（x）g（）=0，2x3sinx； 当 0x 时，2x3sinx； 当 x= 时，2x=3sinx； 当 x 时，2x3sinx 故选：D【分析】将不等式问题转化为函数问题，令f（x）=2x3sinx，用导数法判断即可 二、填空题 13、【答案】i 【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】【解答】解：复数z=1+i，为z的共轭复数 =1i =（1+i）（1i）（1+i）1=21i1=i故答案为：i【分析】先求出z的共轭复
14、数，再利用复数的乘法与减法，即可得到结论 14、【答案】 ，2 【考点】正弦函数的定义域和值域 【解析】【解答】解： ， f（x）=sinx2+ cosxf（1）=sin+ cos=2sin（+ ） ，+ ， sin（+ ） ，1f（1） ，2故答案为： ，2【分析】先对函数 进行求导，然后将x=1代入，再由两角和与差的公式进行化简，根据的范围和正弦函数的性质可求得最后答案 15、【答案】a3或a6 【考点】函数在某点取得极值的条件 【解析】【解答】解：函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函数f（x）=3x2+2ax+（a+6）， 因为函数有极大值和极小值，所以方程f（x）=0有
15、两个不相等的实数根，即3x2+2ax+（a+6）=0有两个不相等的实数根，0，（2a）243（a+6）0，解得：a3或a6故答案为：a3或a6【分析】先求出函数的导数，根据函数有极大值和极小值，可知导数为0的方程有两个不相等的实数根，通过0，即可求出a的范围 16、【答案】1 【考点】数列递推式 【解析】【解答】解：a1=3，ananan+1=1（nN+）， 33a2=1， ， ，a4=3，数列an是周期为3的数列，且a1a2a3= ，2010=6703，A2010=（a1a2a3）670=（1）670=1故答案为：1【分析】利用a1=3，ananan+1=1（nN+），得到33a2=1， ；
16、 ， ； ，a4=3；，所以数列an是周期为3的数列，且a1a2a3= ，由此能够求出A2010 17、【答案】f（2n） 【考点】归纳推理 【解析】【解答】解：观察已知中等式： 得 f（2）= ，即f（21）= f（4）2，即f（22） f（8） ，即f（23） f（16）3，即f（24） f（32） ，即f（25） 则f（2n） （nN*）故答案为：f（2n） 【分析】我们分析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系，归纳推断后，即可得到答案 三、解答题 18、【答案】解：z= = = = =1i z2+az+b=（1i）2+a（1i）+b=a+b（a+2）i=1+i 解得 【考点】复数的基
17、本概念，复数代数形式的混合运算 【解析】【分析】先将z按照复数代数形式的运算法则，化为代数形式，代入 z2+az+b=1+i，再根据复数相等的概念，列出关于a，b的方程组，并解即可 19、【答案】（1）解：依题意知函数的定义域为x|x0， f（x）=x+ ，f（x）0，f（x）的单调增区间为（0，+）（2）证明：设g（x）= x3 x2lnx， g（x）=2x2x ，当x1时，g（x）= 0，g（x）在（1，+）上为增函数，g（x）g（1）= 0，当x1时， x2+lnx x3 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，可
18、得导数的正负，即可得到函数的单调区间；（2）构造函数g（x）= x3 x2lnx，确定g（x）在（1，+）上为增函数，即可证得结论 20、【答案】证明：要证 a+ ， 只要证明 +2a+ + a0，只要证明（ +2）2（a+ + ）2 ， 只要证明2 （a+ ），只要证明 2，显然成立， a+ 【考点】不等式的证明 【解析】【分析】根据分析法的证明步骤，即可证明结论 21、【答案】（1）解：易求得 （2）解：猜想 证明：当n=1时， ，命题成立 假设n=k时， 成立， 则n=k+1时， = = ，所以， ， 即n=k+1时，命题成立由知，nN*时， 【考点】归纳推理，数学归纳法，数学归纳法 【
19、解析】【分析】（1）由题设条件，分别令n=1，2，3，能够求出a1 ， a2 ， a3 （2）由（1）猜想数列an的通项公式： ，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 22、【答案】（1）解：由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+）， 且f（x）=1+ = 设g（x）=x2ax+2，二次方程g（x）=0的判别式=a28，当=a280，即0a2 时，对一切x0都有f（x）0，此时f（x）在（0，+）上是增函数；当=a28=0，即a=2 时，仅对x= 有f（x）=0，对其余的x0，都有f（x）0，此时f（x）在（0，+）上也是增函数当=a280，即a2 时，g
20、（x）=x2ax+2=0有两个不同的实根 ， ，由f（x）0得，0x 或x ，由f（x）0得， x ，此时f（x）在（0， ），（ ，+）上单调递增，在（ ， ）是上单调递减（2）解：解：f（x）=1+ = ， 依题意f（x）0（等零的点是孤立的），即x2ax+20在（1，2）上恒成立，令g（x）=x2ax+2，则有 ，解得a3，故实数a的取值范围为3，+） 【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性 【解析】【分析】（1）求f（x）的定义域和导数f（x）= ，设g（x）=x2ax+2，因为在函数式中含字母系数，需要根据的符号进行分类讨论，分别在函数的定义域内解不式g（x）0和g（x）0确定的f（x）单调区间；（2）由条件确定f（x）0，再转化为x2ax+20在（1，2）上恒成立，由二次函数的图象列出不等式求解，避免了分类讨论