1、第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程素养目标定方向 课程标准学法解读1理解并掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程2掌握用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程 1了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用(数学建模)2掌握椭圆的定义和标准方程(数学抽象)3会求椭圆的标准方程(数学运算)必备知识探新知 知识点1 椭圆的定义1定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_常数_(大于|F1F2|)的点的轨迹2焦点：两个定点F1，F23焦距：两焦点间的距离|F1F2|4几何表示：|MF1|MF2|_2a_(常数)且2a_|F1F2|知识点2 椭圆的
2、标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_1(ab0)_1(ab0)_图形焦点坐标_F1(c,0)，F2(c,0)_F1(0，c)，F2(0，c)_a，b，c的关系_b2a2c2_思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示：能椭圆的焦点在x轴上标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上标准方程中含y2项的分母较大关键能力攻重难 题型探究题型一求椭圆的标准方程角度1待定系数法典例1根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，2)和点B(2，1)分析(
3、1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)解析(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)因为2a10，所以a5又c4，所以b2a2c225169故所求椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得故所求椭圆的标准方程为x21(3)方法1：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab
4、0)依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得因为不满足ab0，所以无解综上可知，所求椭圆的标准方程为1方法2：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1规律方法椭圆方程的求法1利用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤如下：(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程2当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2ny21(mn，m0，n0)因为焦点位置包括焦点在x轴上(mn)或焦点在y轴上(mn)两种情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算角
5、度2定义法典例2一个动圆与圆Q1：(x3)2y21外切，与圆Q2：(x3)2y281内切，试求这个动圆圆心的轨迹方程分析两圆相切时，圆心之间的距离与两圆的半径有关，由此可以找到动圆圆心满足的条件等式解析两定圆的圆心和半径分别为Q1(3,0)，r11；Q2(3,0)，r29设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，由题意有|MQ1|1R，|MQ2|9R，|MQ1|MQ2|10|Q1Q2|6由椭圆的定义可知点M在以Q1，Q2为焦点的椭圆上，且a5，c3，b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1规律方法1若动点轨迹满足椭圆的定义，则根据椭圆的定义来确定a，b，c，从而确定椭圆的标准方程，这种求轨迹方
6、程的方法称为定义法2一般步骤：(1)将条件转化为到两定点的距离之和为定值(该定值大于两定点之间的距离)；(2)判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴；(3)确定椭圆的基本量a，b，c，从而确定椭圆的标准方程【对点训练】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)经过两点(2，)，；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点解析(1)方法一：(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b2，与题设中ab0矛盾，舍去综上，所求椭圆的标准方程为1方法二：(待定系数法)设椭圆的方
7、程为Ax2By21(A0，B0，AB)将两点(2，)，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为1(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216又点(，)在椭圆上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1题型二对椭圆标准方程的理解典例3(1)若方程1表示椭圆，则实数m的取值范围是(B)A(9,25)B(9,8)(8,25)C(8,25)D(8，)(2)若方程x23my21表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是_解析(1)依题意有解得9m8或8m25，即实数m的取值范围是(9,
8、8)(8,25)(2)由题意知m0，将椭圆方程化为1，依题意有解得m，即实数m的取值范围是规律方法根据椭圆方程求参数的取值范围1给出方程1，其表示椭圆的条件是其表示焦点在x轴上的椭圆的条件是mn0，其表示焦点在y轴上的椭圆的条件是nm02若给出椭圆方程Ax2By2C，则应首先将该方程转化为椭圆的标准方程的形式1，再研究其焦点的位置等情况【对点训练】若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是_(4,0)(0,3)_解析方程化为1，依题意应有12aa20，解得4a0或0a3题型三椭圆中的焦点三角形问题典例4已知F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上的任一点(1)求|PF1|PF2|的最
9、大值；(2)若F1PF2，求PF1F2的面积分析(1)由|PF1|PF2|是定值，求|PF1|PF2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF1|PF2|2a及余弦定理先求|PF1|PF2|，再考虑用三角形面积公式求面积解析(1)由|PF1|PF2|2知，|PF1|PF2|22100，当且仅当|PF1|PF2|10时，等号成立，即|PF1|PF2|取到最大值100(2)c2a2b21006436，c6，则F1(6,0)，F2(6,0)P为椭圆上任一点，|PF1|PF2|2a20在PF1F2中，|F1F2|2c12，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2
10、|22|PF1|PF2|cos，即122|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|，122(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|，1222023|PF1|PF2|，|PF1|PF2|SPF1F2|PF1|PF2|sin规律方法焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L2a2c(2)在MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos (3)焦点三角形的面积SF1MF2|MF1|MF2|sin b2tan (选择题、填空题可直接应用此公式求解)【对点训练】如图，已知经过椭圆1的右焦
11、点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点(1)求AF1B的周长；(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长有变化吗？为什么？解析(1)由题意知A，B在椭圆1上，故有|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF2|BF2|AB|，AF1B的周长|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a101020，AF1B的周长为20(2)如果AB不垂直于x轴，AF1B的周长仍为20不变理由：|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a，和AB与x轴是否垂直无关易错警示典例5ABC的三边a、b、c(abc)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹方程错解设点B的坐标为(x，y)a、b、c成等差数列，ac2b，即|BC|BA|2|AC|，|BC|BA|4根据椭圆的定义易知，点B的轨迹方程为1辨析错误的原因是忽略了题设中的条件abc，使变量x的范围扩大，从而导致错误另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形正解ac，即，解得x0又点B不在x轴上，x2故所求的轨迹方程为1(2x0)规律方法要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x或y的取值范围