1、第2课时向量平行的坐标表示学习目标1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线.3.掌握三点共线的判断方法知识点向量平行的坐标表示已知下列几组向量：(1)a(0，3)，b(0，6)；(2)a(2，3)，b(4，6)；(3)a(1，4)，b(3，12)；(4)a，b.思考1上面几组向量中，a，b有什么关系？答案(1)(2)中b2a，(3)中b3a，(4)中ba.思考2以上几组向量中，a，b共线吗？答案共线思考3当ab时，a，b的坐标成比例吗？答案坐标不为0时成比例梳理(1)向量平行的坐标表示条件：a(x1，y1)，b(x2，y2)，a0.结论：如果ab，那么
2、x1y2x2y10；如果x1y2x2y10，那么ab.(2)若，则P与P1，P2三点共线当(0，)时，P位于线段P1，P2的内部，特别地，当1时，P为线段P1P2的中点当(，1)时，P在线段P1P2的延长线上当(1，0)时，P在线段P1P2的反向延长线上1若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且ab，则.()提示当y1y20时不成立2若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y1x2y20，则ab.()3若向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，且x1y2x2y10，则ab.()类型一向量共线的判定与证明例1(1)下列各组向量中，共线的是_a(2，3)，b(4，6)；a(2，3)，b
3、(3，2)；a(1，2)，b(7，14)；a(3，2)，b(6，4)答案解析中(2)634240，a与b不平行；中22334950，a与b不平行；中114(2)7280，a与b不平行；中(3)(4)2612120，ab.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解(0，4)(2，1)(2，3)，(5，3)(1，3)(4，6)方法一(2)(6)340且(2)40，与共线且方向相反方法二2，与共线且方向相反反思与感悟此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断，特别是利用向量共线坐标的条件进行判断时，要注意坐标之
4、间的搭配跟踪训练1已知A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，1)，(1，2)，求证：.证明设E(x1，y1)，F(x2，y2)(2，2)，(2，3)，(4，1)，.(x1，y1)(1，0)，(x2，y2)(3，1)，(x1，y1)，(x2，y2).(x2，y2)(x1，y1).4(1)0，.类型二利用向量平行求参数例2已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？解方法一kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3，2k2)(10，4)得解得k.方法二由方法一知
5、kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，kab与a3b平行，(k3)(4)10(2k2)0，解得k.引申探究1若本例条件不变，判断当kab与a3b平行时，它们是同向还是反向？解由例2知当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，0，kab与a3b反向2在本例中已知条件不变，若问题改为“当k为何值时，akb与3ab平行？”，又如何求k的值？解akb(1，2)k(3，2)(13k，22k)，3ab3(1，2)(3，2)(6，4)，akb与3ab平行，(13k)4(22k)60，解得k.反思与感悟根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路，一是利用向量共线定理ab(b0)，列方程组求解
6、，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2x2y10求解跟踪训练2设向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_.答案2解析ab(1，2)(2，3)(2，23)，ab与c共线，(2)(7)(23)(4)20，2.类型三三点共线问题例3已知向量(k，12)，(4，5)，(10，k)当k为何值时，A，B，C三点共线？解(4k，7)，(10k，k12)，若A，B，C三点共线，则，(4k)(k12)7(10k)，解得k2或11，又，有公共点A，当k2或11时，A，B，C三点共线反思与感悟(1)三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个
7、向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：证明向量平行；证明两个向量有公共点(2)若A，B，C三点共线，即由这三个点组成的任意两个向量共线跟踪训练3已知A(1，3)，B，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线证明，(91，13)(8，4)，7480，且AB，有公共点A，A，B，C三点共线1已知a(1，2)，b(2，y)，若ab，则y的值是_答案4解析ab，(1)y220，y4.2与a(6，8)平行的单位向量为_答案或解析设与a平行的单位向量为e(x，y)，则或3已知三点A(1，2)，B(2，4)，C(3，m)共线，则m的值为_答案6解析A(2，4)(1，2)(1，2)A(3，m)
8、(1，2)(2，m2)A，B，C三点共线，即向量A，A共线，存在实数使得AA，即(1，2)(2，m2)(2，m2)即m6时，A，B，C三点共线4已知四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D的坐标依次是(3，1)，(1，2)，(1，1)，(3，5)求证：四边形ABCD是梯形证明A(3，1)，B(1，2)，C(1，1)，D(3，5)(2，3)，(4，6)2，即|，ABCD，且ABCD，四边形ABCD是梯形5已知A(3，5)，B(6，9)，M是直线AB上一点，且|3|，求点M的坐标解设点M的坐标为(x，y)由|3|，得3或3.由题意，得(x3，y5)，(6x，9y)当3时，(x3，y5)3(6x，9y
9、)，解得当3时，(x3，y5)3(6x，9y)，解得故点M的坐标是或.1两个向量共线条件的表示方法已知a(x1，y1)，b(x2，y2)，(1)当b0，ab.(2)x1y2x2y10.(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例2向量共线的坐标表示的应用(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据一、填空题1已知向量a(m，4)，b(3，2)，且ab，则
10、m_.答案6解析因为ab，所以由(2)m430，解得m6.2设向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，则x_.答案2解析因为a与b方向相反，所以bma，m0，则有(4，x)m(x，1)，所以解得m2.又m0，所以m2，xm2.3已知三点A(1，1)，B(0，2)，C(2，0)，若和是相反向量，则D点坐标是_答案(1，1)4已知向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，则实数x的值为_答案15已知a(2，1)，b(x，2)，且ab与2ab平行，则x_.答案4解析因为(ab)(2ab)，又ab(2x，1)，2ab(4x，4)，所以(2x)4(1)(4x)0，解得x4.6若三点A(2，2)，
11、B(0，m)，C(n，0)(mn0)共线，则的值为_答案解析因为A，B，C三点共线，所以，因为(2，m2)，(n2，2)，所以4(m2)(n2)0，所以mn2m2n0，因为mn0，所以.7已知e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，当ab时，实数_.答案2解析e1(1，0)，e2(0，1)，a2e1e2，be1e2，a2(1，0)(0，1)(2，1)，b(1，0)(0，1)(，1)又ab，2(1)10，解得2.8已知向量(k，6)，(4，5)，(1k，10)，且A，B，C三点共线，则k_.答案解析(4k，1)，(3k，5)A，B，C三点共线，即(4k)5(3k)0，k.9在平
12、面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知点A(2，0)，B(6，8)，C(8，6)，则D点的坐标为_答案(0，2)解析由条件中的四边形ABCD的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD是平行四边形设D(x，y)，则有，即(6，8)(2，0)(8，6)(x，y)，解得(x，y)(0，2)，即D点的坐标为(0，2)10已知A(1，4)，B(x，2)，若C(3，3)在直线AB上，则x_.答案2311已知向量a(1，2)，b(2，3)，若ab与ab共线，则与的关系是_答案12设(2，1)，(3，0)，(m，3)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围是_答案m|mR且m
13、6解析A，B，C三点能构成三角形，不共线又(1，1)，(m2，4)，141(m2)0.解得m6.m的取值范围是m|mR且m6二、解答题13设A，B，C，D为平面内的四点，且A(1，3)，B(2，2)，C(4，1)(1)若，求点D的坐标；(2)设向量a，b，若kab与a3b平行，求实数k的值解(1)设点D的坐标为(x，y)由，得(2，2)(1，3)(x，y)(4，1)，即(1，5)(x4，y1)，所以解得所以点D的坐标为(5，6)(2)因为a(2，2)(1，3)(1，5)，b(4，1)(2，2)(2，1)，所以kabk(1，5)(2，1)(k2，5k1)，a3b(1，5)3(2，1)(7，2)由
14、kab与a3b平行，得(k2)(2)(5k1)70，解得k.三、探究与拓展14已知直角坐标平面内的两个向量a(1，3)，b(m，2m3)，使得平面内的任意一个向量c都可以唯一的表示成cab，则m的取值范围是_答案m|mR且m3解析根据平面向量的基本定理知，a与b不共线，即2m33m0，解得m3.所以m的取值范围是m|mR且m315如图所示，已知在AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解(0，5)，C.(4，3)，D.设M(x，y)，则(x，y5)，.，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立，解得x，y2，故点M的坐标为.