1、互动课堂重难突破一、射影所谓射影，就是正投影.其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影.一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正投影.如图1-4-1，AB在AC上的射影是线段AC；BC在AC上的射影是点C；AC、BC在AB上的射影分别是AD、BD，这样，RtABC中的六条线段就都有了名称，它们分别是:两条直角边(AC、BC)，斜边(AB)，斜边上的高(CD)，两条直角边在斜边上的射影(AD、BD).图1-4-1二、直角三角形的射影定理由于角的关系，图1-4-1中，三个直角三角形具有相似关系，于是RtABC的六条线段之间存在着比例关
2、系.ACDCBD,有=，转化为等积式即CD2=ADBD；ACDABC,有=，转化为等积式即AC2=ABAD；BCDBAC,有=，转化为等积式即BC2=BABD.用语言来表述，就是在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.这一结论常作为工具用于证明和求值.如图1-4-2，在RtABC中，ACB90，CD是AB上的高.已知AD 4，BD 9，就可以求CD、AC.由射影定理，得CD2=ADBD=4936.因为边长为正值，所以CD 6,AC2=ADAB=4(49)52.所以AC213.我们还可以求出BC、AB，以及ABC的面积等
3、.图1-4-2三、刨根问底问题1在直角三角形中，我们已经学过三边之间的一个重要关系式，如图1-4-2，在RtABC中，ACB90，那么AC2+BC2=AB2，这一结论被称作勾股定理，同样是在直角三角形中，勾股定理和射影定理有什么联系？如何说明这种联系？探究:如图1-4-2，在RtABC中，ACB90，CD是AB上的高.应用射影定理，可以得到AC2BC2ADAB +BDAB=(AD +BD)AB =AB2.由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理.过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简洁明快，比面积法要方便得多.将两者结合起来，在直角三角形的六
4、条线段中，应用射影定理、勾股定理，就可从任意给出的两条线段中，求出其余四条线段的长度.问题2几何图形是最富于变化的，直角三角形更是如此，但不管怎样变化，其基本图形体现的规律却是相同的，如射影定理的基本图形,这时，从复杂图形中分离出基本图形，就成为解决问题的关键.那么从复杂图形中分离出基本图形有什么窍门吗？能举例说明吗？探究:在图形的变化中熟悉并掌握射影定理的使用方法，有助于快速发现解题思路,这当中的关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形.如:(1)在图1-4-3(c)中，求证:CFCA=CGCB.(2)在图1-4-3(a)中，求证:FGBC=CEBG.(3)在图1-4-3(d)中，求
5、证:CD3=AFBGAB；BC2AC2=CFFA;BC3AC3=BGAE.就可以这样来思考:在第(1)题中，观察图形则发现分别使用CD2=CFCA和CD2=CGCB即可得到证明.第(2)题可用综合分析法探求解题的思路:欲证FGBC=CEBG，只需证=，而这四条线段分别属于BFG和BEC，能发现这两个三角形存在公共角EBC，可选用“两角对应相等”或“两边对应成比例，夹角相等”来证明相似.图1-4-3或者在图1-4-3(a)中可分解出两个射影定理的基本图形:“RtBDE中DGBE”及“RtBDC中DFBC”，在两个三角形中分别使用射影定理中的BD2进行代换，得到BGBE =BFBC，化成比例式后，
6、可用“两边对应成比例，夹角相等”来证明含有公共角EBC的BFG和BEC相似.你可以来尝试分析第(3)小题.活学巧用【例1】直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为5和3,则两条直角边的长分别为()A.3和5B.9和25C.40和24D.和思路解析:直角三角形两直角边在斜边上的射影长分别为5和3,直接应用“射影定理”可求出两直角边的长分别为和.答案:D【例2】如图1-4-4(a)中，CD垂直平分AB，点E在CD上，DFAC，DGBE，F、G分别为垂足.求证:AFAC=BGBE.思路解析:将图1-4-4(a)分解出两个基本图形1-4-4(b)和(c)，再观察结论，就会发现，所要证的等积式的左、右两
7、边分别满足图1-4-4(b)和(c)中的射影定理:AFAC=AD2，BGBE =DB2，通过代换线段的平方(AD2=DB2)就可以证明所要的结论.图1-4-4证明:CD垂直平分AB，ACD和BDE均为直角三角形，并且AD =BD.又DFAC，DGBE，AFAC =AD2，BGBE =DB2.AD2=DB2,AFAC=BGBE.【例3】如图1-4-5，在ABC中，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F，求证:CEFCBA.图1-4-5思路解析:要证明CEFCBA，题设已具备了BCA =ECF，再找出一对角相等变得不容易，因此，考虑证明BCA与ECF的夹边成比例，即=，即证CECA =CFCB，
8、再从已知出发考虑问题，在RtADC中，DEAC，根据定理能推出CD2=CECA，同理可得CD2=CFCB,这样，CECA =CFCB就能得证.证明:ADC是直角三角形，DEAC，CD2=CECA.同理可得CD2=CFCB.CECA =CFCB,即=.又BCA =ECF，CEFCBA.【例4】如图1-4-6，已知RtABC中,ACB =90，CDAB于D，DEAC于E，DFBC于F.求证:AEBFAB=CD3.图1-4-6思路解析:分别在三个直角三角形RtABC、RtADC、RtBDC中运用射影定理，再将线段进行代换，就可以实现等积式的证明.证明:RtABC中,ACB=90，CDAB，CD2=ADBD.CD4=AD2BD2.又RtADC中，DEAC，RtBDC中，DFBC，AD2=AEAC，BD2=BFBC.CD4=AEBFACBC.又ACBC =ABCD，CD4=AEBFABCD.AEBFAB=CD3.【例5】如图,已知AD为ABC的高,垂足为D,DEAB于E,DFAC于F,求证: =.图1-4-7思路解析:要证=,只要证ABAE =AFAC即可,考虑题目的条件,应用射影定理得AD2=AEAB,AD2=AFAC,从而达到证明的目的.证明:在RtADB中,ADB=90,DEAB,AD2=AEAB.同理可证AD2=AFAC.AEAB =AFAC,即=.