1、*3.3 垂径定理1理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点)2利用垂径定理及其推论解决实际问题(难点)一、情境导入如图某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧(如图所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你能算出大石头的半径吗？二、合作探究探究点一：垂径定理【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度 如图所示，O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD6cm，则直径AB的长是()A2cm B3cmC4cm D4cm解析：直径ABDC，CD6，DP3.连接OD，P是OB的中点，设OP为x，
2、则OD为2x，在RtDOP中，根据勾股定理列方程32x2(2x)2，解得x.OD2，AB4.故选D.方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，然后应用勾股定理解决问题变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 垂径定理的实际应用 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的)，点O是这段弧的圆心，C是上一点，OCAB，垂足为D，AB300m，CD50m，则这段弯路的半径是_m.解析：本题考查垂径定理，OCAB，AB300m，AD150m.设半径为R，根据勾股定理可列方程R2(R50)21502，解得R250.故答案为250.方法总结：将实际问题转化为
3、数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】 垂径定理的综合应用 如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CFAD.(1)请证明：点E是OB的中点；(2)若AB8，求CD的长解析：(1)要证明E是OB的中点，只要求证OEOBOC，即OCE30；(2)在直角OCE中，根据勾股定理可以解得CE的长，进而求出CD的长(1)证明：连接AC，如图，直径AB垂直于弦CD于点E，ACAD.过圆心O的直线CFAD，AFDF，即CF是AD的垂直平分线，ACCD，ACADCD，即ACD是等边三角形，FCD3
4、0.在RtCOE中，OEOC，OEOB，点E为OB的中点；(2)解：在RtOCE中，AB8，OCOBAB4.又BEOE，OE2，CE2，CD2CE4.方法总结：解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第5题探究点二：垂径定理的推论【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数 如图所示，O的弦AB、AC的夹角为50，M、N分别是、的中点，则MON的度数是()A100 B110C120 D130解析：已知M、N分别是、的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OMAB、ONAC，所以AEOAFO90，而BAC50，由
5、四边形内角和定理得MON360AEOAFOBAC360909050130.故选D.变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度 如图，点A、B是O上两点，AB10cm，点P是O上的动点(与A、B不重合)，连接AP、BP，过点O分别作OEAP于E，OFPB于F，求EF的长解析：运用垂径定理先证出EF是ABP的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF与AB建立关系，从而解决问题解：在O中，OEAP，OFPB，AEPE，BFPF，EF是ABP的中位线，EFAB105(cm)方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问
6、题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第2题【类型三】 动点问题 如图，O的直径为10cm，弦AB8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围解析：当点P处于弦AB的端点时，OP最长，此时OP为半径的长；当OPAB时，OP最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP的长解：作直径MN弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得ADDBAB4cm.又O的直径为10cm，连接OA，OA5cm.在RtAOD中，由勾股定理，得OD3cm.垂线段最短，半径最长，OP的长度范围是3cmOP5cm.方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解容易出错的地方是不能确定最值时的情况三、板书设计垂径定理1垂径定理2垂径定理的推论垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.