1、 高三数学试题（理科）答案 第 1 页（共 4 页）合肥市 2020 年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分.二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13.1 14.38 15.2yx 16.2，512(第一空2 分，第二空3 分)三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分.17.(本小题满分12 分)解：(1)设 na的公差为d，由21a ，714S 得11172114adad.解得111,22ad，所以2nna.212212322n nnnnb bbb，1212312n nnb bbb(2n)，
2、两式相除得2nnb(2n).当1n 时，12b 适合上式.2nnb.5 分(2)cos2 cos 2nnnnncba，23421222132cos2 cos2 cos2 cos 22cos2cos222nnnnTn 24622462=2 cos2 cos 22 cos 32cos222(1)2nnnn 14 1444145nn .12 分 18.(本小题满分12 分)解：(1)/CDAB.理由如下：连结CD，分别取 AFBE，的中点MN，连结DMCNMN，由图(1)可得，ADF与 BCE都是等腰直角三角形且全等，则DMAF，CNBE，DMCN，如图.平面 ADF 平面 ABEF，交线为 AF，
3、DM 平面 ADF，DMAF，DM 平面 ABEF.同理得，CN 平面 ABEF，/DMCN.又DMCN 四边形CDMN 为平行四边形 /CDMN.MN，分别是 AFBE，的中点 /MNAB /CDAB.5 分(2)在 AB 边上取一点P，使得 APDF.由图(1)可得，ADFP 为正方形，即 APFP.M 为 AF 的中点 MPMA.由(1)知，MD 平面 ABEF，MAMPMD，两两垂直.以M 点为坐标原点，直线MAMPMD，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyzM，如图.设2AF，则D(0，0，1)，A(1，0，0)，P(0，1，0)，F(-1，0，0)，FD(1，0，1)，FEAP(-1
4、，1，0).题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A D A B D A C D 高三数学试题（理科）答案 第 2 页（共 4 页）设平面DFE 的一个法向量为mxyz，.由00FD mFE m 得00 xzxy.令1x ，则11yz，m(1，1，-1).由平面 ADF 是坐标平面xMz 可得：平面 ADF 一个法向量为n(0，1，0).设平面 ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为，则 3coscos 3m nm nmn ，平面 ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为33.12 分 19.(本小题满分12 分)解:(1)设直线l 的方程为1
5、2yxm.设 A(11xy，)，B(22xy，).由2214312xyyxm得2230 xmxm，则212123xxmx xm，.由22430mm，解得 22m.又点P(31 2，)在直线l 的左上方，21m .若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F，则220AFBF，即 1122110 xyxy，化简得274110mm，解得117m ，或1m (舍).直线l 的方程为11127yx.5分(2)121212123331312222221111PAPByyxmxmkkxxxx12111111mxx 1212122111xxmxxx x 221113mmmm 222102mmmm，直线
6、1x 平分APB，即 PAB的内切圆的圆心在定直线1x 上.12 分 20.(本小题满分12 分)解:(1)0102101 31ppp ，解得103p.1400400 1200400400200E Apppp，1200300900100300200E Bpppp，104E AE Bp；14E AE Bp；1143E AE Bp.当104p时，应选择方案 A；当1143p时应选择方案B；当14p 时，既可以选择方案 A 也可以选择方案B.5 分(2)因为=0.2p，根据(1)的结果，应选择方案 A，所以新产品的年度总成本为 32128101603yxxx.设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的
7、年利润分别为1，2 和3，则 高三数学试题（理科）答案 第 3 页（共 4 页）1160 xy，213604 x xy，3160 x xy，的分布列为 11130.4600.4600.2604Exyx xyx xy 322155016032xxx.9 分 设 322155016032f xExxx，020 x，221550fxxx.0010fxx，01020fxx.f x 在(0，10)上单调递增，在10 20，上单调递减，当10 x 时，f x 取得最大值，即年产量为10 万件时，E 取得最大值，此时 max10423.3f xf(万元).由(1)知，预期平均年利润的期望 400200360
8、E Ap(万元).因为423.3360，所以在年产量为10 万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润.12 分 21.(本小题满分12 分)解：(1)sinxf xex，定义域为R.sincos2sin4xxfxexxex.由 0fx解得sin04x，解得372244kxk(kZ).f x 的单调递减区间为 372 244kk，(kZ).4 分(2)由已知()sinxg xexax，sincosxgxexxa.令 h xgx，则 2cosxhxex.0 x，当0 2x，时，0hx；当2x，时，0hx，h x 在 0 2，上单调递增，在 2，上单调递减，即 gx在 0 2，上单调递增，在
9、2，上单调递减.01ga，0gea.当10a，即01a 时，00g，02g 02x，使得00gx，当00 xx，时，0gx；当0 xx，时，0gx，g x 在00 x，上单调递增，在0 x，上单调递减.00g，00g x.又 0ga，由零点存在性定理可得，此时 g x 在0 ，上仅有一个零点.若13a时，0g 10a，又 gx在 0 2，上单调递增，在 2，上单调递减，又202gea,160 xy 13604 x xy 160 x xy p 0.4 0.4 0.2 高三数学试题（理科）答案 第 4 页（共 4 页）10 2x，22x，使得10gx，20gx，且当10 xx，、2xx，时，0gx
10、；当12xxx，时，0gx.g x 在10 x，和2x，上单调递减，在12xx，上单调递增.00g，10g x.2230222geae，20g x.又 0ga，由零点存在性定理可得，g x 在12xx，和2x，内各有一个零点，即此时 g x 在0 ，上有两个零点.综上所述，当01a 时，g x 在0，上仅有一个零点；当13a时，g x 在0，上有两个零点.12 分 22.(本小题满分10 分)(1)曲线C 的参数方程3cos4sin129cossin55xy消去参数 得，曲线C 的普通方程为221259xy.sin33，3 cossin2 30，直线l 的直角坐标方程为 32 30 xy.5
11、分(2)设直线l 的参数方程为12232xtyt(t 为参数)，将其代入曲线C 的直角坐标方程并化简得276630tt，121 2697ttt t，.M 点在直线l 上，212121 23630 2436497MPMQttttt t.10 分 23.(本小题满分10 分)(1)由题意知，32 为方程135xxm的根，391522m，解得1m .由1351xx 解得，3724x，74n.5 分(2)由(1)知1abc，222222222bccaabbcacababcabc.22222222222222222221a bb cc aa bb cb cc ac aa babcabc，222122222abcab cbc aca babcabcabc，2222222bccaababc成立.10 分