1、第一阶段 专题二 知识载体 能力形成 创新意识 配套课时作业 考点一 考点二 考点三 第三节 1掌握两个定理(1)向量共线定理：向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一组基底2熟记平面向量的两个充要条件若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0 x1x2y1y20.3活用平面向量的三个性质(1)若 a(x，y)，则|a|aa x2y2.(2)若 A(x1，y1)，B(
2、x2，y2)，则|AB|x2x12y2y12.(3)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为 a 与 b 的夹角，则 cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21x22y22.考情分析 平面向量的概念及线性运算在近几年高考中时常以选择题、填空题的形式出现，有时解答题的题设条件也以向量的形式给出，考查线性运算的运算法则及其几何意义以及两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点例 1(2012海淀模拟)如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点，那么EF()A.12 AB13AD B.14 AB12AD
3、C.13 AB12DA D.12 AB23AD思路点拨 利用三角形法则和共线向量定理求解解析 在CEF 中，有EF EC CF，因为点 E 为 DC的中点，所以EC 12DC.因为点 F 为 BC 的一个三等分点，所以CF 23CB.所以 EF 12DC 23CB 12 AB23DA12 AB23AD.答案 D类题通法平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的起点与终点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相
4、接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件解析：选 依题意得，ABDC，故ABCD0，即OB OAODOC 0，即有OAOBOC OD0，则 abcd0.冲关集训1(2012武汉适应性训练)已知OAa，OBb，OC c，ODd，且四边形 ABCD 为平行四边形，则()Aabcd0 Babcd0Cabcd0 Dabcd0A2(2012四川高考)设 a、b 都是非零向量，下列四个条件中，使 a|a|b|b|成立的充分条件是()AabBabCa2bDab 且|a|b|解析：选 对于 A，当 ab 时，a|a|b|b|；对于 B，注意当 ab 时，a|a|与 b|b|可能不相等；对于 C，当 a2b 时
5、，a|a|2b|2b|b|b|；对于 D，当 ab，且|a|b|时，可能有 ab，此时 a|a|b|b|.综上所述，使 a|a|b|b|成立的充分条件是 a2b.C考情分析 向量的数量积及运算律一直是高考数学的热点内容之一，对向量的数量积及运算律的考查多为选择题或填空题；另外作为工具在考查三角函数、立体几何、平面解析几何等内容时经常用到例 2(2012北京高考)已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E是 AB 边上的动点，则DECB的值为_；DEDC 的最大值为_思路点拨 建立平面直角坐标系，将向量数量积运算转化为向量的坐标运算求解解析 如图所示，以 AB、AD 所在的直线分别为 x 轴和
6、y 轴建立平面直角坐标系，由于正方形边长为 1，故 B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)又 E 在 AB 边上，故设 E(t,0)(0t1)，则DE(t，1)，CB(0，1)故DECB1.又DC(1,0)，DEDC(t，1)(1,0)t.又 0t1，DEDC 的最大值为 1.答案 1 1类题通法(1)准确利用两向量的夹角公式 cosa，b ab|a|b|及向量模的公式|a|aa.(2)在涉及数量积时，向量运算应注意：ab0，未必有 a0，或 b0；|ab|a|b|；a(bc)与(ab)c 不一定相等冲关集训3(2012河南三市调研)已知单位向量，满足(2)(2)1，则 与 夹角的余弦值为(
7、)A13 B.13C.12D.15解析：选 记 与 的夹角为，则依题意得 22223212212311cos 1，cos 13，即 与 的夹角的余弦值是13.B4(2012重庆高考)设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac,bc，则|ab|()A.5B.10C2 5D10解析：选 由题意可知2x40，42y0，解得x2，y2.故 ab(3，1)，|ab|10.B5已知平面向量，|1，|2，(2)，则|2|的值是_解析：(2)，(2)0，220，12，|2|2424242410，|2|10.答案：10考情分析 高考对本部分的考查，主要是选择题和填空题，即利用平面向量
8、的运算去解决向量的模、向量的坐标或平面几何中的向量的线性表示等，而解答题多为向量与解析几何、三角函数、平面几何中相结合的应用问题题目多为中低档题，一般不会出现高难度的问题例 3 已知向量 a(cos，sin)，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，其中 0 x.(1)若 4，求函数 f(x)bc 的最小值及相应 x 的值；(2)若 a 与 b 的夹角为3，且 ac，求 tan 2 的值思路点拨(1)应用向量的数量积公式可得 f(x)的三角函数式，然后利用换元法将三角函数式转化为二次函数式，由此可解得函数的最小值及对应的 x 值(2)由夹角公式及 ac 可得
9、关于角 的三角函数等式，通过三角恒等变换可得结果解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin，cos x2cos)，4，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x 2(sin xcos x)令 tsin xcos x(4x)，则 2sin xcos xt21，且1t 2.则 yt2 2t1t 22232，1t 2，t 22 时，ymin32，此时 sin xcos x 22，即 2sinx4 22，4x，2x454，x476，x1112.函数 f(x)的最小值为32，相应 x 的值为1112.(2)a 与
10、b 的夹角为3，cos3 ab|a|b|cos cos xsin sin xcos(x)0 x，0 x，x3.ac，cos(sin x2sin)sin(cos x2cos)0，sin(x)2sin 20，即 sin23 2sin 20.52sin 2 32 cos 20，tan 2 35.类题通法在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根
11、据向量或者三角函数的知识解决问题 冲关集训6(2012潍坊模拟)已知向量 a(cos x，sin x)，b(2，2)，ab85，且4x2，则 cosx4 的值为()A.45 B.35C45D35D解析：选 因为 ab 2cos x 2sin x2sinx4 85，所以 sinx4 45.又2x434，所以 cosx4 35.7已知向量 asin x，34，b(cos x，1)(1)当 ab 时，求 cos2xsin 2x 的值；(2)设函数 f(x)2(ab)b，已知在ABC 中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a3，b2，sin B 63，求 f(x)4cos(2A6)x0，3
12、 的取值范围解：(1)ab，34cos xsin x0，tan x34.cos2xsin 2xcos2x2sin xcos xsin2xcos2x12tan x1tan2x 85.(2)f(x)2(ab)b2sin2x4 32，由正弦定理，得asin Absin B，可得 sin A 22，A4.f(x)4cos2A6 2sin2x4 12，x0，3，2x44，1112.32 1f(x)4cos(2A6)212.巧解平面向量类试题向量是既有大小又有方向的量，具有几何和代数形式的“双重性”，常作为工具来解决其他知识模块的问题在历年高考中都会对该部分内容进行考查，解决这些问题多可利用平面向量的有关
13、知识进行解决，基于平面向量的双重性，一般可以从两个角度进行思考，一是利用其“形”的特征，将其转化为平面几何的有关知识进行解决；二是利用其“数”的特征，通过坐标转化为代数中的有关问题进行解决典例(2011辽宁高考)若 a，b，c 均为单位向量，且 ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为()A.21 B1C.2D2思路点拨 法一，由(ac)(bc)0 可计算出(ab)c 的取值范围，然后展开|abc|2，可求解法二，也可引入坐标转化为代数问题或几何问题解析 法一：|a|b|c|1，ab0，|ab|2a2b22ab2，故|ab|2.展开(ac)(bc)0，得 ab(ab)cc20，即 0
14、(ab)c10，整理，得(ab)c1.而|abc|2(ab)22(ab)cc232(ab)c，(ab)c1，32(ab)c3211，|abc|21，即|abc|1.法二：设 a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则 x2y21，ac(1x，y)，bc(x,1y)，则(ac)(bc)(1x)(x)(y)(1y)x2y2xy1xy0，即 xy1.又 abc(1x,1y)，|abc|1x21y2 x12y12，如图c(x，y)对应点在 AB上，而式的几何意义为 P 点到 AB上点的距离，其最大值为 1.另外一种方法为：|abc|x12y12 x2y22x2y2 32xy 32xy，xy1，|abc|321，最大值为 1.答案 B名师支招以上根据向量数与形的基本特征，结合题目的条件，层层递进，从两个方面提供了3种不同的解法，涉及向量的基本运算、向量的分解、坐标运算以及不等式、圆的有关知识等，这也是向量与其他知识相融合的一些常见考点高考预测已知ABC 的三边长 AC3，BC4，AB5，P 为 AB 边上任意一点，则CP(BABC)的最大值为_答案：9解析：以 C 为原点，建立平面直角坐标系如图，则CP(BABC)CPCA(x，y)(0,3)3y，当 y3 时，取得最大值 9.配套课时作业